2022-2023学年贵州省铜仁市松桃民族中学高二下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年贵州省铜仁市松桃民族中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A．{1，3} B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的交集运算即可.

【详解】∵集合，，

所以，

故选：C.

2．若，则复数的虚部为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可.

【详解】,虚部为.

故选:.

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算和复数的基本概念,难度容易.

3． “”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】利用相等向量的概念，结合充分条件、必要条件的定义得到答案.

【详解】若成立，由向量相等得到两向量的长度方向都相同，即，

反之，若成立，若两向量的方向不同则推不到，

所以“”是“”的充分非必要条件，

故选：A.

4．已知点M是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求的值，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据二倍角的余弦公式即可求解的值．

【详解】因为点M是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，

所以，且，

由于，解得，

所以．

故选：B．

5．设，是两条不重合的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题：

①若，，则；②若，，，则；

③若，，，则；④若，，，则.

则正确的命题为(   )

A．①②③ B．②③ C．③④ D．②④

【答案】C

【分析】根据线面、面面平行垂直的判定和性质定理，依次判定即可

【详解】对于①，还可能有，故①错；

对于②，与还有可能异面，故②错；

对于③，即两平面的法向量垂直，可判断，正确；

对于④，即两平面的法向量平行，可判定，正确.

故选：C

6．为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（   ）

A．6种 B．8种 C．20种 D．24种

【答案】B

【分析】根据分类计数法将甲分为第一个出场和第二个出场两种情况，然后根据分步计数原理求出这两种情况下的排列方式，即可求解.

【详解】解：由题意知：

当甲第一个出场时，不同演讲的方法有（种）；

当甲第二个出场时，不同演讲方法有（种）.

所以所求的不同演讲方法有（种）

故选：B

7．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，

因为，

所以排除选项；

当时，有一零点，设为，当时，为减函数，

当时，为增函数．

故选：D.

8．若圆：上的点到直线：的最小距离为2，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆的性质可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式列方程解出即可．

【详解】圆C的圆心为，半径，

∴圆心C到直线l的距离，

∵圆C上的点到直线l的最小距离为2，

∴圆心到直线l的距离，可得.

故选：D

二、多选题

9．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（    ）.

A．若任意选择三门课程，则选法总数为

B．若物理和化学至少选一门，则选法总数为

C．若物理和历史不能同时选，则选法总数为

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为

【答案】ABD

【分析】利用组合和组合数公式，结合选项和限制条件解决本题.

【详解】对于A，若任意选择三门课程，则选法总数为，错误；

对于B，若物理和化学只选一门，则有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种方法，选法总数为；

若物理和化学都选，则有种方法，剩下的一门从剩余的五门中选，有种方法，选法总数为；

由分类加法计数原理知，选法总数为+，错误；

对于C，若物理和历史同时选,有种方法,则物理和历史不能同时选，采用排除法，选法总数为，正确；

对于D，有三种情况①只选物理且物理和历史不同时选，则有种方法；

②只选化学不选物理，则有种方法；

③物理化学都选且物理和历史不同时选，则有种方法选法；

由分类加法计数原理知，选法总数为=6+10+4=20，错误；

故选：ABD

10．下列关系中，能成立的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】利用排列数和组合数的计数公式，对选项进行一一验证，即可得答案.

【详解】对A，令，可得等式不成立，故A错误；

对B，利用组合数的计算公式知正确，故B正确；

对C，利用排列数与组合数的定义，故C正确；

对D，∵，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】本题考查排列数、组合数公式的推理与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

11．如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由向量的线性运算即可判断A，B,取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，计算可得，进而得出，计算可判断选项C,由C可知，两边平方，化简计算可判断选项D.

【详解】对于A，，故选项A不正确；

对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确；

对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以

，

所以，，故选项C正确；

对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确.

故选：BCD.

12．知函数，则下述结论中正确的是（    ）

A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点

B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增

C．若在有且仅有个零点，则的范是

D．若的图象关于对称，且在单调，则的最大值为

【答案】ACD

【分析】令，由，可得出，作出函数在区间上的图象，可判断A选项正误；根据已知条件求出的取值范围，可判断C选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D选项的正误.

【详解】令，由，可得出，

作出函数在区间上的图象，如下图所示：

对于A选项，若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点，A选项正确；

对于C选项，若在有且仅有个零点，则，解得，C选项正确；

对于B选项，若，则，

所以，函数在区间上不单调，B选项错误；

对于D选项，若的图象关于对称，则，.

，，，.

当时，，当时，，

此时，函数在区间上单调递减，合乎题意，D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．

三、填空题

13．已知向量a=(2，1)，b=(1，−2)．若ma＋nb=(9，−8)(m，n∈R)，则m−n的值为________．

【答案】−3

【详解】由a=(2，1)，b=(1，−2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n，−2n)=(2m＋n，m−2n)，

由已知可得，解得，从而m−n=−3.

14．已知的展开式中的系数为5，则______．

【答案】

【分析】根据产生的两种可能分别得到其系数的等式解出．

【详解】因为的展开式中的系数为5，则，即，解得；

故答案为：．

15．已知，则的取值范围为_______.

【答案】

【分析】由，可得,再将同乘可得答案.

【详解】因为，所以，

所以，.

将不等式,同乘以,

则，即.

故答案为.

【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.

16．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m、高为4m的正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg.（最后结果保留整数，其中，石料的密度，质量）

【答案】

【分析】求出正四棱柱的体积，和正四棱锥、球的体积，从而得出需去除的石料的体积，再由公式计算出质量．

【详解】依题意知，正四棱柱的体积.四棱锥的底面为正方形，高，所以其体积.球M的半径r最大为1，此时其体积.故该雕刻师需去除的石料的体积.又，所以该雕刻师需去除的石料的质量为.

【点睛】本题考查棱柱、棱锥、球的体积，掌握体积公式是解题基础．

四、解答题

17．开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．

（1）求的值，并估计本班参考学生的平均成绩；

（2）已知抽取的名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．

【答案】（1）；（分）；（2）．

【分析】（1）根据频率分布直方图得到成绩在内的频率，再根据成绩在内的频数为3，求得样本容量，再利用平均数公式求解；

（2）根据频率分布直方图得到学生中成绩在的人数，然后利用古典概型公式求解.

【详解】（1）由频率分布直方图知，成绩在内的频率为

．

因为成绩在内的频数为3，

所以抽取的样本容量．

所以参考学生的平均成绩为（分）．

（2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在的人数为，

因为有甲、乙两名女生，所以有两名男生．

用，表示两名男生，

从4人中任取2人的所有情况为甲乙，甲，甲，乙，乙，，共6种，

其中女学生甲被抽到的情况共3种．

所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为．

18．已知的内角所对的边分别为，且满足．

(1)求角B的大小；

(2)若，设的面积为S，满足，求b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得角大小；

（2）由三角形面积公式得，再由正弦定理可求得．

【详解】（1）由，得，

根据正弦定理，得．

因为，

所以，

所以．

因为，所以，所以，则．

（2）由，得．

又由正弦定理得，

所以，解得．

19．设正项等比数列且的等差中项为．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式．

（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．

【详解】（1）设等比数列的公比为，

由题意，得，解得，

所以.

（2）由（1）得，

∴，

∴，

∴.

【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．

20．如图，在直三棱柱中，.

(1)求证:平面平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，证明法向量垂直；

（2）在（1）的基础上，求出平面的法向量，然后用夹角公式求解.

【详解】（1）

根据直棱柱性质，平面，由平面，故，，又，故两两垂直.

下以为原点，为轴，建立空间直角坐标系：于是，，，.

，，设平面的法向量，由，则，

则是其中一条法向量；

，，设平面的法向量，由，则，

则是其中一条法向量.

于是，即，则平面平面

（2）由（1）知平面的法向量.

，，，故，.

设平面的法向量，由，则，则是其中一条法向量.

于是，结合图形可知是钝二面角，故二面角的余弦值为-

21．已知展开式的二项式系数和为512，且．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求被6整除的余数．

【答案】(1)，（2）2，（3）5

【分析】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案；

（2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案；

（3）根据题意，可得，变形可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案

【详解】解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，

所以，解得，

因为，所以，

（2）在中，令，则，

令，可得，

所以

（3）

，

，

因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，

所以被6整除的余数为5

【点睛】易错点睛：此题考查二项定理的运用，易错点为在（3）中，对求余数，根据，即被6整除余数为5，考查计算能力，属于中档题

22．已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，其离心率，为椭圆上的动点，的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知椭圆的右顶点为，点（在第一象限）都在椭圆上，若，且，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆的定义及离心率计算公式即可求得；

（2）设直线方程为与椭圆联立，得，直线的方程为与椭圆联立得，利用坐标求解即可.

【详解】（1）因为的周长为，

所以，①，

由题意②，

联立①②解得，

∴，

所以椭圆的方程为；

（2）设直线的斜率为，则直线方程为，

代入椭圆方程并整理得，

∴，

所以，

又直线的方程为，

代入椭圆方程并整理得，

∵，

∴，

因为，

所以，

所以，

因为在第一象限，所以，

∴，

因为，

，

由，得，

∵，

∴.