2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二下期期中考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二下期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数即可求解.

【详解】关于轴对称点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，

对称点为.

故选：C.

2．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数公式判断各项正误即可.

【详解】由，，，，

所以A、B、D错，C对.

故选：C

3．，，若//，则（    ）

A．0 B． C．4 D．2

【答案】B

【分析】根据向量共线的条件进行求解

【详解】由//，则，使得，即，解得.

故选：B

4．已知函数的导函数 的图像如图所示，则函数（   ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】D

【分析】根据导函数的符号确定单调性.

【详解】由图可知：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，当 时， 单调递增；

故选：D.

5．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.

【详解】，，令法向量为，则，

，可取.

故选：A.

6．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值求解即可.

【详解】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为，

，，.

故选：C

7．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求导，得到即切线的斜率，然后根据点斜式写出直线方程.

【详解】，，即切线的斜率为，又，切线方程为，即.

故选：A

8．已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ）

A．2 B．

C． D．6

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.

【详解】因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，，

所以

.

故选：C

9．已知函数的单调递减区间为，则的值为（    ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，依题意的解集为，即可求出参数的值.

【详解】由，所以，

单调递减区间是，的解集为，

即的解集为，

，，经检验符合题意.

故选：D.

10．如图，将的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角即可.

【详解】

如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

令，，，，，

则，，

，

，所成角的余弦值为.

故选：.

11．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】A

【分析】函数有两个不同的极值点，在有两个不相同的实数解，转化为二次函数在有两个不同的实数解，求解即可.

【详解】解：有两个不同的极值点，

在有两个不相同的实数解，

即在有两个不相同的实数解，

，.

故选：A.

12．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用的单调性可判断，利用的单调性可判断，故可得三者之间的大小关系.

【详解】设，则有，

当时，在上单调递减；

，即有，；

令，则，

当时，，当且仅当时等号成立，故在上单调递减；

，即有，，

综上所述，则有，

故选：B.

二、填空题

13．__________．

【答案】1.

【分析】由题意利用微积分基本定理求解定积分的值即可.

【详解】由微积分基本定理有：

.

故答案为1．

【点睛】本题主要考查微积分基本定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．已知直线l在平面外，直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是___________（填“平行”或“相交”）

【答案】平行

【分析】根据题意可得，进而可得结果.

【详解】因为，则，

且直线l在平面外，所以//.

故答案为：平行.

15．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于_____.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系，则，，，，

，，设平面的一个法向量为，

，即，取，又，

所以点到面的距离，

故答案为：.

16．已知不等式恰有2个整数解，则实数k的取值范围为___________.

【答案】

【分析】转化为，构造函数，利用导数研究单调性可作出大致图象，数形结合即可得解.

【详解】原不等式等价于，

设，，

，令，得.

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

当时，取极大值1.

又，且时，

与的图象如下，

直线恒过点，

当时，显然不满足条件；

当时，只需要满足，解得，

的取值范围为，

故答案为：.

三、解答题

17．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.

(1)用，，表示；

(2)计算.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；

（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.

【详解】（1）；

（2）

.

18．已知函数在点处的切线与直线垂直.

(1)求a的值

(2)求函数的极值.

【答案】(1)

(2)极小值 ，极大值 .

【分析】（1）求导，根据条件求出a；

（2）根据导函数的符号确定单调性，再根据单调性确定极值.

【详解】（1）易得 ，

又函数在点处的切线与直线垂直，∴ ，得；

（2）由（1）得， ，

令 有或，可得

在 处取得极大值，在 处取得极小值；

综上，极大值，极小值 .

19．如图，在长方体中，，，，交于点E.

(1)证明：直线平面；

(2)求AD与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用长方体的结构特征，证明平面平面，可得直线平面；

（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法求AD与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：如图，连接，，

长方体中，且，四边形为平行四边形，

则有，又平面，平面，

平面，

同理可证， 平面，

又，平面，平面平面，

又平面，直线平面；

（2）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建系如图：

得，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

由，令，得，

可得平面的一个法向量为，

设AD与平面所成角大小为，

则，

与平面所成角的正弦值为.

20．一艘渔船在进行渔业作业的过程中，产生的主要费用有燃油费用和人工费用，已知渔船每小时的燃油费用与渔船速度的立方成正比，已知当渔船的速度为10海里/小时时，燃油费用是600元/小时，人工费用是4050元/小时，记渔船的航行速度为v（海里/小时），满足，渔船每航行1海里产生的主要费用为p元

(1)列出航行1海里产生的主要费用p（元）关于航行速度v（海里/小时）的关系式；

(2)求航行1海里产生的主要费用p（元）的最小值，及此时渔船的航行速度v（海里小时）的大小.

【答案】(1)，；

(2)当航行速度为15海里/小时，航行1海里产生的主要费用有最小值405元.

【分析】（1）由题先求出每小时燃油费用与与渔船速度的关系，再求得p与v的关系式；

（2）对函数求导数，得函数的单调性，求出最值.

【详解】（1）设渔船每小时的燃油费用为y元，

由题可设，又当渔船的速度为10海里/小时，燃油费用是600元/小时，

得，即，航行一小时的主要费用为（元），

，

（2）易得，，

令，即，得，

令，即，得

可得函数的增区间为，减区间为，

所以当时，，

即当航行速度为15海里/小时，航行1海里产生的主要费用有最小值405元.

21．如图，四边形ABCD为等腰梯形（如图①），，，点E，F为垂足，满足，将和分别沿BE，CF折起，使A，D两点重合于点P（如图②）

(1)证明：平面平面BCFE；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）先证明平面PEF，再证明平面平面BCFE.

（2）建立空间直角坐标系，求平面PBC和平面BCE的法向量，计算法向量的夹角绝对值，即为所求.

【详解】（1）证明：由图①知，，，

所以图②中有，，

又，平面PEF，平面PEF，

所以平面PEF，

又平面BCFE，所以平面平面BCFE.

（2）

取EF中点O，BC中点，连接OQ，易得，

又平面平面BCFE，平面平面，

平面PEF，可得平面BCFE，又易得，

，可得OQ，OF，OP两两垂直，建系如图，

得，，，

设平面PBC的一个法向量为，，，

由，即，

令，得平面PBC的一个法向量为，

易得平面BCE的一个法向量为，

由，

二面角的余弦值为.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性：

(2)若，是函数的两个不同极值点，且满足：，，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，就、、、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性；

（2）求出，，则原不等式等价于，利用导数可证明该不等式.

【详解】（1）易知

可得，，

①当时，由，，

此时在上为增函数，在上为减函数；

②当时，恒成立，此时在上为增函数；

③当时，由或，，

此时在上为增函数，在上为减函数；

④当时，由或，，

此时在上为增函数，在上为减函数；

综上所述：当时，在上为增函数，在上为减函数；

当时，在上为增函数；

当时，在上为增函数，在上为减函数；

当时，在上为增函数，在上为减函数；

（2）证明：由（1）可得：，

，

由得，欲证，

即证，只需证，

记，

可得，即在为减函数，

即得证.