中考数学二轮复习重难点复习题型09 二次函数综合题 类型九 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2022·湖南湘潭）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图①，若抛物线图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一动点（与点 SKIPIF 1 < 0 不重合），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，同时与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以线段 SKIPIF 1 < 0 为边作菱形 SKIPIF 1 < 0 ，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，②存在，点P坐标为(2，-3)或（ SKIPIF 1 < 0 ，- SKIPIF 1 < 0 ），理由见解析
(2)b< SKIPIF 1 < 0 或b> SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．
(1)
①解：把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）
若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：m=2或m= SKIPIF 1 < 0 或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m= SKIPIF 1 < 0
∴点P坐标为(2，-3)或（ SKIPIF 1 < 0 ，- SKIPIF 1 < 0 ）
(2)解：把点D（-3，0）代入直线 SKIPIF 1 < 0 ，解得n=4，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ，
当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD= SKIPIF 1 < 0 =5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）
∵点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-94
解得：b> SKIPIF 1 < 0
综上所述，b< SKIPIF 1 < 0 或b> SKIPIF 1 < 0
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．
2．（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点Q．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，求当P点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
【答案】（1）b= SKIPIF 1 < 0 ，c= SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴b= SKIPIF 1 < 0 ，c= SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2 SKIPIF 1 < 0 ，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0