2023届高考数学二轮复习微专题9平面向量数量积的常见求法学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题9平面向量数量积的常见求法学案，共6页。

例题：(1)设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54eq \r(2)，求a与b的夹角θ；
(2)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2.如果向量a＋kb与5a＋b垂直，求实数k的值；
(3)已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a，b的夹角的大小．
变式1已知|a|＝2，|b|＝4，向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，若向量ka＋b，a－2b的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
变式2已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝1，则λ的值为________________．
串讲1已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：x－3y＋3＝0与圆O交于A，B两点，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的值．
串讲2已知椭圆O：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，直线l：y＝x－1与圆O交于A，B两点，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的值．
(2018·南京三模)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为BC上一点．若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝5，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的值为________________．
在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2DB，求eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
答案：－eq \f(8,3).
解法1eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)[|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－2|eq \(AB,\s\up6(→))|2]＝eq \f(1,3)[1＋2×1×cs120°－2×4]＝－eq \f(8,3).6分
解法2如图以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
微专题9
例题
答案：(1)135°；(2)eq \f(19,4)；(3)60°.
解析：(1)csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－54\r(2),12×9)＝－eq \f(\r(2),2)，∵0°＜θ＜180°，∴θ＝135°.
(2)由题意a·b＝|a||b|cs120°＝4×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4，∵(a＋kb)⊥(5a＋b)，
∴(a＋kb)·(5a＋b)＝0，即5a2＋(5k＋1)a·b＋kb2＝0，
∴5|a|2＋(5k＋1)·(－4)＋k|b|2＝0，∴5×16－(20k＋4)＋4k＝0，∴k＝eq \f(19,4).
(3)因为a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a＋3b）·（7a－5b）＝0，,（a－4b）·（7a－2b）＝0，))
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(7a2＋16a·b－15b2＝0①，,7a2－30a·b＋8b2＝0 ②，))
①－②得：2a·b＝b2③，将③代入①得a2＝b2即|a|＝|b|.∴csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2).又∵0°＜θ＜180°，
∴θ＝60°.
变式联想
变式1
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
解析：因为向量ka＋b，a－2b的夹角为钝角，所以(ka＋b)·(a－2b)＜0且排除ka＋b，a－2b共线反向．
(ka＋b)·(a－2b)＝ka2－2b2＋(1－2k)a·b＝4k－32＋4(1－2k)＜0，所以k＞－7.
设ka＋b＝λ(a－2b)，所以λ＝k＝－eq \f(1,2).所以实数λ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，))
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(＋∞)).
变式2
答案：2.
解析：由题意可知eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,λ)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,λ)eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AE,\s\up6(→))·
eq \(AF,\s\up6(→))＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,λ)\(AB,\s\up6(→))))＝1，即
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3λ)))eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,λ)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))2＝1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3λ)))×2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \f(1,λ)×4＋eq \f(1,3)×4＝1，解之得λ＝2.
串讲激活
串讲1
答案：－eq \f(11,5).
解析：如图，过点O作OC垂直于AB于点C，由点到直线的距离公式可得OC＝eq \f(3,\r(10))，
在Rt△OAC中，cs∠AOC＝eq \f(3,2\r(10))，则cs∠AOB＝
2cs2∠AOC－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2\r(10))))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(11,20)，从而eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB＝2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,20)))＝－eq \f(11,5).
串讲2
答案：－eq \f(17,7).
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝x－1，))得7x2－8x－8＝0，Δ＞0，由韦达定理可知x1＋x2＝eq \f(8,7)，x1·x2＝－eq \f(8,7)，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－eq \f(16,7)－eq \f(8,7)＋1＝－eq \f(17,7).
新题在线
答案：－3.
解析：因为D为边BC上一点，故可设eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))，两边分别同乘eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))，得到一个关于eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))与λ的方程组，进而解得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－3.
平面向量数量积是江苏省高考数学中的C级知识点，每年均以不同形式来考查．试题以中档题和压轴题为主，偶尔也会出现在13题、14题位置，解决问题的方法灵活多变，能力要求较高，主要方法有运用数量积定义，运用坐标计算等.