湖北省十堰市部分重点中学2022-2023学年高二下学期5月联考数学试卷（含答案）

湖北省十堰市部分重点中学2022-2023学年高二下学期5月联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、抛物线的焦点到准线的距离是(   )

A. B. C.2 D.4

2、已知函数在处的导数为12，则(   )

A.-4 B.4 C.-36 D.36

3、的展开式中含项的系数为(   )

A.-24 B.24 C.-16 D.16

4、已知R上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为(   )

A.  B.

C.  D.

5、数列满足，，则(   )

A. B. C. D.3

6、已知随机变量，且，则的最小值为(   )

A.9 B.8 C. D.6

7、某公司安排甲、乙、丙、丁四位职员到A，B，C三个社区开展调研活动，每位职员必须到一个社区开展活动，每个社区至少有一位职员.由于交通原因，乙不能去A社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为(   )

A.36 B.24 C.20 D.14

8、若关于x的不等式对任意成立，则实数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、5月1日当晩，武当山举行无人机天幕秀，数百架无人机编队以天为幕，呈现精心设计的4个武当山的“地标”，分为“太和宫、龙头香、太子坡、宣武门”.按照以上排好的先后顺序进行表演，每个环节表演一次.假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则(   )

A.事件“成功表演太和宫环节”与事件“成功表演太子坡环节”互斥

B.“龙头香”、“宣武门”环节均表演成功的概率为

C.表演成功的环节个数的期望为3

D.在表演成功的环节恰为3个的条件下“宣武门”环节表演成功的概率为

10、已知数列的前n项和满足，则下列说法正确的是(   )

A.是为等差数列的充要条件

B.可能为等比数列

C.若，则为递增数列

D.若，则中，最大

11、现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有(   )

A.全部投入4个不同的盒子里，共有种放法

B.全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法

D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法

12、已知函数，是，是的导数，下列说法正确的是(   )

A.曲线在处的切线方程为

B.函数有唯一极小值

C.函数在上单调递增，在上单调递减

D.对于任意的，总满足

三、填空题

13、设，为双曲线的两个焦点，若双曲线C的两个顶点及原点O恰好将线段四等分，则双曲线C的离心率为______.

14、已知，则_______(用数字作答)

15、假设某地历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85.现此地距上一次发生特大洪水已经过去了30年，那么在末来10年内该地区仍无特大洪水发生的概率是______.

16、已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则a的取值范围是_________.

四、解答题

17、已知是等比数列，公比，前n项和为，且，数列满足:

(1)求数列，的通项公式;

(2)设数列的前n项和为，求证:.

18、已知等差数列的前n项和为，且满足，.

(1)求数列的通项公式;

(2)设，数列的前n项和为，求.

19、已知函数，.

（1）当时，求函数的极值;

（2）讨论函数的单调性.

20、甲、乙两队进行一场排球比赛，假设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为.

(1)第二局比赛结束时比赛停止的概率;

(2)设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望.

21、已知椭圆，的短轴长为2，且离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设与圆O相切的直线l交椭圆C于A，B两点(SO为坐标原点)，求线段AB长度的最大值.

22、已知a是实数，函数.

(1)讨论的单调性;

(2)若有两个相异的零点，且，求证:.

参考答案

1、答案：B

解析：抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是.

2、答案：B

解析：根据题意，函数在处的导数，则，

3、答案：B

解析：二项式展开式的通项公式为：

，，1，2，3，4，

所以含的项的系数为，故选：B.

4、答案：C

解析：由图象知的解集为，的解集为，或，所以或，解集即为.

5、答案：A

解析：，，，，数列是以3为周期的周期数列，

故选:A.

6、答案：B

解析：由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，

又因为，所以，所以.

当时，，

当且仅当，即时等号成立，故最小值为.

故选：B.

7、答案：C

解析：由于乙不能去A社区，则乙可以去B或C社区，共2种，剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况，

(1)分成1，2两组，去和乙不同的两个社区，有种，

(2)分成1，1，1三组，去三个社区且甲和乙不能同去一个社区，有种，所以不同的安排方法数为种，

8、答案：D

解析：根据题意知，，即，令，则在上恒成立，由，在上;在上，所以在上递增;在上递减，且，在上，上，而，当时，，成立;当时，根据在上单调递增，在上恒成立，综上所述:只需满足，即，令，则在上恒成立，即在上递增，故，综上所述:a的取值范围为.故选:D.

9、答案：BCD

解析：事件“成功表演太和宫环节”与事件“成功表演太子坡环节”可以同时发生，故不互斥，A错误;“龙头香”、“宣武门”环节均表演成功的概率为，B正确;记表演成功的环节个数为X则，期望为，C正确;记事件M:“表演成功的环节恰为3个”，事件N:“宣武门环节表演成功”.，由条件概率公式，D正确，

10、答案：ABD

解析：，;当时，，当时，，满足通项公式，数列为等差数列;当为等差数列时，，，故A正确;当时，，是等比数列，B正确;，取，则，C错误;当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故，最大，D正确.故选:ABD

11、答案：ACD

解析：对于A，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A正确;对于B，带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1:4有种分法;若两组球个数之比为2:3有种分法，第三步将两组排给两个盒子有种排法，因此共有，故B不正确;对于C，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入)，第一步选4个球有种选法，第二步选一个盒子有种选法，共有种放法，故C正确;对于D，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2:1:1:1的四组共有种分法，第二步分给四个盒子有种排法，故共有种放法，故D正确;

12、答案：ABD

解析：，则，而f(0)=0，因此，曲线在点处的切线方程为，A正确;

，则，由于，故存在使得，可得有唯一极小值.B正确；

设，当时，，则函数在上单调递增，，因此对任意的恒成立，所以在上单调递增，C错误;

，设，则

由选项C知，在上单调递增，而，则，即有，因此函数在上单调递增，，即有，所以对任意的，，总满足，D正确.

综上，正确答案为ABD

13、答案：2

解析：由题意得，.

14、答案：15

解析：令，得，令，得，令，得，解得，故

15、答案：0.75

解析：设“在30年内发生特大洪水”为事件A，“在40年内发生特大洪水”为事件B，“未来10年内该地区将发生特大洪水”为事件，则.

在末来10年内该地区仍无特大洪水发生的概率是.

16、答案：

解析：当时，，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，且，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，从而，当时，，所以，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，.当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，从而，当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象如下:

函数的零点个数与方程的解的个数一致，方程，可化为，所以或，由图象可得没有解，所以方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知:当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.故答案为:.

17、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1）由题意得等比数列的公比，且故

解得

所以

(2)设，

18、答案：（1）

（2）

解析：(1)设数列的公差为d，，

，

，.

(2)由(1)可知，

数列的前n项和为，两式作差，得

19、答案：（1），.

（2）当时，，在单调递减.当时，在和上单调递减，在上单调递增.当时，在和上单调递减，在上单调递增

解析：（1），，，

则，

，

（2），当时，，在单调递减.

当时，和有，有，则在和上单调递减，在上单调递增.

当时，和.有，有，则在和上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，，在单调递减.

当时，在和上单调递减，在上单调递增.

当时，在和上单调递减，在上单调递增.

20、答案：（1）

（2）分布列见解析，

解析：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束.其概率为.故第二局比赛结束时比赛停止的概率.

（2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6.表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，表示前二局的比分为1:1，第三四局有一队连胜2局，，表示前二局的比分为1:1且前4局的比分为2:2，，所以随机变量的分布列为

所以

21、答案：（1）

（2）.

解析：（1）由题设:，，解得，

椭圆C的方程为;

（2）的面积，设，

①当轴时，，

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，

由已知，得，

把代入椭圆方程消去y，整理得，

有，

，当且仅当即时等号成立，又当时，，

22、答案：（1）当时，在上单调递减;当时，在上单调递增，在上单调递减

（2）证明见解析

解析：(1)的定义域为，

当时，恒成立，故在上单调递减;

当时，令得:，令得:，故在上单调递增，在上单调递减;

综上:当时，在上单调递减;当时，在上单调递增，在上单调递减;

(2)由(1)可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即，令，则，于是等价于证明成立，设，所以在上单调递增，故，即成立，所以，结论得证.