上海市曹杨第二中学2023届高三三模数学试题

上海市曹杨第二中学2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，则集合_____.

2．已知为虚数单位，复数，则______.

3．已知角的终边过点，则的值为_________．

4．在的展开式中的系数为______．

5．某区4000名学生参加了高考模拟统一测试，已知数学考试成绩服从正态分市，统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为______.

6．若，，则在方向上的投影为______．

7．已知为抛物线的焦点，过点的直线l交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为 _____．

8．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．

9．一块边长为10cm的正方形铁片按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图(2)所示的正四棱锥容器，则当x=6cm时，该容器的容积为________cm3.

图(1)                  图(2)

10．已知函数，若（），则的最大值为______.

11．已知双曲线的离心率为2，C的左右焦点分别为，，点P在C的右支上，的中点N在圆上，其中c为半焦距，则______．

12．若数列满足，则称该数列为“切线-零点数列”，已知函数有两个零点1、2，数列为“切线-零点数列”，设数列满足，，，数列的前项和为，则________．

二、单选题

13．已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是（    ）

A． B． C． D．

14．在中，，．若，则（    ）．

A． B． C． D．

15．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如下表：

若与的线性回归方程为，预测当工作时间为小时时，工资大约为（    ）

A．元 B．元 C．元 D．元

16．已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列等式错误的是（    ）

A． B．

C．若、独立，则 D．若、互斥，则

三、解答题

17．设函数，其中.

(1)若的最小正周期为，求的单调增区间；

(2)若函数图像在上存在对称轴，求的取值范围.

18．如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，平面平面，且，，点分别是线段的中点.

(1)求证：直线平面；

(2)求直线与平面所成角的大小.

19．某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．

(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；

(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．

20．已知椭圆：，、是轴上不重合的两点，过点作不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点.

(1)若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；

(2)设为线段的中点，且，求证：；

(3)是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21．已知函数，.

(1)若存在极值，求的取值范围；

(2)若，求的值；

(3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案：

1．.

【分析】直接利用交集运算的概念得答案.

【详解】因为，

所以，

故答案为：.

2．

【分析】根据复数的乘法运算求得，可得，根据复数模的计算即得答案.

【详解】由可得，

故，

故答案为：

3．

【分析】根据三角函数的定义计算即可.

【详解】解：因为角的终边过点，

所以.

故答案为：-2.

4．

【分析】直接利用二项展开式的通项求解的系数.

【详解】的展开式中含的项为，

即在的展开式中的系数为.

故答案为：.

5．500

【分析】根据正态分布对称性求比例，再根据总数求结果.

【详解】因为成绩，所以正态分布曲线关于对称，

又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，

由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的，

所以此次考试成绩不低于120分的学生约有.

故答案为：500

6．

【分析】利用在方向上的投影即可得出．

【详解】在方向上的投影．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了向量投影的计算方法，属于基础题．

7．5

【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析即可．

【详解】如图，抛物线的焦点为，准线为，即．

分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有 .

过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，

，即到准线的距离为5．

故答案为：5

【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题．

8．；

【分析】依题意，不存在整数使不等式成立，设不等式的解集为，分情况讨论大于0且不等于1，等于1，小于0和等于0四种情况讨论，可得答案．

【详解】“存在整数使不等式成立”是假命题，即不存在整数使不等式成立．

设不等式的解集为，

当时，得，不合题意；

当且时，原不等式化为，

，，要使不存在整数使不等式成立，

须，解得：且；

当时，，合题意，

当时，原不等式化为，，不合题意，

综上所述，．

故答案为：

9．48

【详解】由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧高为5 cm，高为4 cm，所以所求容积为48 cm3.

10．

【分析】根据函数解析式判断其单调性，从而不妨设，可得，由此可求得，构造函数，利用导数即可求得最值.

【详解】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增，

不妨设，则，

可得，则，

令，则，

令，则，令，则，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，

故答案为：

11．/

【分析】连接,是的中位线，所以，再由双曲线的定义可得，又因为双曲线的离心率为2，所以，进而得，在中，利用余弦定理即可求得答案.

【详解】解：如图所示：

连接，

则是的中位线，

 又因为，

所以，

由双曲线的定义可得，

又因为双曲线的离心率为2，

所以，

所以，

在中，由余弦定理可得：.

故答案为：

12．

【分析】根据二次函数的零点可求得的值，求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得.

【详解】因为有两个零点1、2，由韦达定理可得，解得，

所以，，

由题意可得，

所以，

又因为，所以，

又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，

故答案为：

【点睛】本题的关键点在于由得到，再证明数列是首项为2，公比为2的等比数列.

13．C

【分析】根据余弦函数的性质得到，在根据对数函数的性质判断A，正弦函数的性质判断B，不等式的性质判断C，幂函数的性质判断D.

【详解】因为在上单调递减，又实数，，且满足，

所以，即，

对于A：因为在定义域上单调递增，所以，故A错误；

对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误；

对于C：因为，所以，故C正确；

对于D：因为在定义域上单调递增，所以，故D错误；

故选：C

14．B

【分析】根据向量的线性运算，将转化为，结合数量积的运算，即可求得答案.

【详解】由题意可得,

即,

即，即，

解得，

故选：B

15．B

【分析】由样本中心点可求得，将代入回归直线即可求得结果.

【详解】由表格数据知：，，

，线性回归方程为，

，即当工作时间为小时时，工资大约为元.

故选：B.

16．A

【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断.

【详解】由，

故选项A错误，选项B正确；

若、独立，则,

，故C正确；

若、互斥，则，

，D正确.

故选：A

17．(1)，

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出，然后利用正弦函数的单调性求解；

（2）利用正弦函数的对称轴公式求参数的范围.

【详解】（1）由题意，，

又，于是，则，则，

根据正弦函数的单调递增区间，令，

解得，,即为的单调递增区间.

（2）当，，

注意到题干，则，

根据正弦函数的对称轴，

显然只有时一条对称轴，

于是，解得，

结合可得

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接可得为的中位线，再利用线面平行的判定定理即可得出证明；

（2）利用四棱锥的结构特征以及线面垂直的判定定理，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，利用空间向量和线面角的位置关系，即可求得直线与平面所成角的大小为.

【详解】（1）根据题意可知，连接，则交与；如下图所示：

在中，为的中点，又点是线段的中点，

所以，

又平面，平面，

所以直线平面；

（2）由平面平面，且平面平面，

又四边形是正方形，所以，又平面，

所以平面；

过点作直线平行于，又，

所以以为坐标原点，分别以直线，直线，直线为轴建立空间直角坐标系；如下图所示：

由正方形的边长为2，，可得，；

所以；

；

又点分别是线段的中点，所以；

即；

设平面的一个法向量为；

所以，可得，令，解得；

即

设直线与平面所成的角为，则

，解得；

所以直线与平面所成角的大小为.

19．(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等

(2)应选择第二种方案；理由见解析

【分析】(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；

(2)根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.

【详解】（1）用X表示员工所获得的奖励额．

因为，，

所以，

故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．

（2）第一种方案为，

设员工所获得的奖励额为，则的分布列为

所以的数学期望为，

的方差为；

第二种方案为，

设员工所获得的奖励额为，则的分布列为

所以的数学期望为，

的方差为，

又因为（元），

所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，

故应选择第二种方案．

20．(1)

(2)证明见解析

(3)存在，

【分析】（1）写出直线和直线的方程，将直线与椭圆方程联立，可得点坐标，由直线方程知点的坐标，可得直线的方程，令，即可求得结果.

（2）由两点间距离公式，写出，再化简运算，即可得证.

（3）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，写出韦达定理，再由直线的方程分别可得点的坐标，最后代入，化简运算，使其结果与无关即可.

【详解】（1）由，

知直线的方程为，

直线的方程为，

在中，令，则，即，

联立，解得或，

所以点，

所以直线的方程为，

令，则，

故点的坐标为.

（2）因为为线段的中点，

所以，

所以，

，

因为，所以，

即，

所以，

所以，

故.

（3）设直线的方程为，

联立得，

易得，所以，，

由，

知直线方程为，

令，则，即，

同理可得，点，

所以，

而，

，

所以，

故当，即时，是定值.

【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，灵活应用韦达定理，熟练写出直线方程是解题的关键，有一定的计算量，考查逻辑推理能力和运算能力.

21．(1)

(2)

(3)3

【分析】（1）通过用导数求出函数的单调性结合极值的定义即可求解；

（2）求出函数的最小值即可求解；

（3）由（2）可得不等式恒成立，则，下面把的值放缩到中，从而可得的最小值.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

当时，恒成立，此时在上单调递增，无极值；

当时，令得，

时，，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

此时有极小值为，无极大值.

综上所述，若存在极值，则的取值范围是.

（2），

由（1）可知，当时，恒成立，此时在上单调递增，

与恒成立矛盾；

当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，

所以，则需，

若，则，符合题意；

若，则，不合题意舍去；

若，则，不合题意舍去.

综上所述，.

（3）由（2）可知当时，即，

所以恒成立，当且仅当时取等号，

所以，，

一方面，，

即，

另一方面，，

从而当时，，

因为为正整数，且对于任意正整数，恒成立，

故的最小值为3.

【点睛】关键点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键.