山东省淄博市2023届高三三模数学试题及答案

山东省淄博市2023届高三三模

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z是一元二次方程的一个根，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

3．甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人．若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（    ）

A．36 B．72 C．144 D．288

4．在中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D．若，则（    ）

A． B． C．3 D．2

5．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形，如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为（    ）

A． B． C．1 D．

6．已知椭圆C：的左焦点F，直线y＝kx（k＞0）交椭圆于A，B两点，且．若∠ABF＝30°，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第二个正方形；然后再以第二个正方形的对角线长为边长，各边均经过第二个正方形的顶点，作第三个正方形；依此方法一直持续下去．若视阴影正方形为第一个正方形，第n个正方形面积为，则（    ）

A．1011 B．－1011 C．1012 D．－1012

8．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且∠AOB＝60°，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：

用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（    ）

A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植

B．若种下12粒A类种子，则有9粒种子5天内发芽的概率最大

C．从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145

D．若种下10粒B类种子，5至8天发芽的种子数记为X，则

10．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（    ）

A．事件A与事件B相互独立 B．

C．  D．

11．已知抛物线的焦点为点F，准线与对称轴的交点为K，斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB的中点为，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则点M到x轴的最小距离是3

B．当直线l过点时，

C．当时，直线FM的斜率最小值是

D．当直线l过点K，且AF平分∠BFK时，

12．如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面，CD是直径，，AB＝6，点A，B，C，D在上底面的射影分别为，，，，点M，N分别是线段，上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（    ）

A．若面DMN交线段于点R，则

B．若面DMN过点，则直线MN过定点

C．的周长为定值

D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面圆所成角分别为，，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______．

14．已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为______．

15．已知函数的零点是以为公差的等差数列．若在区间上单调递增，则m的最大值为______．

16．已知函数的定义域，且对任意的，都有，若在上单调递减，且对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．

（1）求角A的大小；

（2）给出以下三个条件：①，b＝4；②；③．

若以上三个条件中恰有两个正确，求的值．

18．（12分）已知数列中，，且点在直线x－y＋1＝0上．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，表示数列的前n项和．试问：是否存在关于n的整式，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．

19．（12分）在长方体中，AB＝BC＝2，过，，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10．

（1）求棱的长；

（2）求平面和平面夹角的余弦值．

20．（12分）有一大批产品等待验收，验收方案如下：

方案一：从中任取6件产品检验，次品件数大于1拒收；

方案二：依次从中取4件产品检验；若取到次品，则停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍无次品，通过验收．

（1）若本批产品次品率为20%，选择“方案二”，求需要抽取次数X的均值；

（2）若本批产品次品率为p（0＜p＜1），比较选择哪种方案容易通过验收？

21．（12分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值．

22．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：当x＞0时，．

参照秘密级管理★启用前

高三仿真试题（2023.05）

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C；2．D；3．B；4．B；5．B；6．A；7．B；8．D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．CD；10．CD；11．ABD；12．ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．10.8；14．；15．；16．．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）解：(1)因为，

若，则，不满足，所以，

因为，所以．                      ………………3分

(2)由及①，由余弦定理可得，

即，由，解得；             ………………4分

由及②，由余弦定理可得，

由可得，可得;     ……………5分

由及③，由三角形的面积公式可得，

可得．                                    ……………………6分

经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，

故，．                             ………………………8分

代入②可得可得．           ………………9分

在中，由正弦定理，故．………10分

18．（12分）解：(1)由点P在直线上，

即，且，

数列{}是以为首项，为公差的等差数列．      …………………………3分

，所以．                    …………………6分

(2)，可得，；…………8分

，

……

；    …………………………10分

，．

．              ……………………………………………………12分

19．（12分）解析：(1)设，

由题设；       ……………………2分

，即，解得．

故的长为.……………………………………………………………………4分

(2)以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

由已知及（1），可知，，，，………6分

设平面的法向量为，有，，

其中，，则有即解得，，取，得平面的一个法向量，………………………8分

设平面BDC1的法向量为，有，

其中，，即，

解得，得平面的一个法向量，……………10分

平面和平面夹角的余弦值为：

           …………………12分

20．（12分）解析：(1)随机变量需要抽取次数   ………1分

其分布列为：

，，，

；            …………………………………3分

     ……………5分

需要抽取次数的均值为

(2)按照方案一：通过验收的概率为：

         ……………7分

按照方案二：通过验收的概率为：           ……………9分

当时，即，解得，

此时选择方案一更容易通过验收；                    …………………10分

当时，，此时选择方案一、方案二结果相同；      ……11分

当时，即，解得，

此时选择方案二更容易通过验收；                    ………………12分

21．（12分）解：(1)由题意可知：△ARS是正三角形，

所以点A到渐近线的距离为           ………………1分

所以，解得，        ……………………………2分

所以双曲线标准方程是：          ……………………………3分

(2)方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为的角平分线．

设点，，则

所以直线的方程是：，

即：     ……………………………………………………5分

由点到直线的距离公式得： …………6分

直线方程：，即：………………7分

由，得：

所以，由都在双曲线右支上，得：

所以

所以……………9分

所以，令，则     ……………………………………………10分

当，即时，的最大值为．……………………………12分

方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设，则．

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，

记，又为的平分线，则．

因为，，所以，

同理，又，

代入，得，

化简得．又，，所以，

由，，得，，

所以，．

所以直线的方程为，，………………………………5分

由点到直线的距离公式得：，……6分

又直线MN的斜率为，且过点M，所以直线的方程为：

，…………………………………………………………………7分

将其与联立得．

设，则，．

易知点N在第四象限，所以，得：，

．…9分

故，          ……………………11分

当且仅当，即时，等号成立，

所以当且仅当时， 的最大值为．               ………………12分

22．（12分）解证：(1)函数的定义域为．

．                    ………………………1分

令函数，．      …………………2分

当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以即，故的单调递增区间是和．         ……………………………………4分

(2)当时，，

即当时，．                ………………5分

令，             ………………………………6分

，

令，，

令，． …………………7分

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

又，，

所以存在，使得．        ……………………8分

当时，；

当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．

又因为，所以当时，；当时，，

即当时，；当时，，故在上单调递减，

在上单调递增．                ………………………………9分

于是，，所以．……10分

令函数，．

当时，；当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，则．  ……………11分

因为，所以，故，得．

综上，当时，．