2023年山东省济宁市任城区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济宁市任城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列熟悉的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A. 等腰直角三角形 B. 正五边形
C. 平行四边形 D. 矩形

4.  若二次根式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于，的二元一次方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，以为圆心，的长为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系，中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，一架梯子靠墙而立，梯子顶端到地面的距离为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离与顶端下滑的距离满足的函数关系是(    )
 

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系

10.  在平面直角坐标系中，点在直线上上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为，给出如下定义：若线段，和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形点，，顺时针排列，则称矩形为直线的“理想矩形”例如，图中的矩形为直线的“理想矩形”，若点，则直线的“理想矩形”的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  将数字科学记数法可表示为______．

12.  已知一组数据从小到大依次为，，，，，其中中位数为则众数为______ ．

13.  某圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的面积为______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点、点分别落在轴和轴上，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数图象经过点，交于点，点为轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点的坐标为______ ．

15.  将数个，个，个，，个为正整数顺次排成一列：，，，，，，，，，记，，，，，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅统计图．

求本次调查共抽取了多少名学生的征文；
将上面的条形统计图补充完整；
如果该校九年级共有名学生，请估计选择以“爱国”为主题的九年级学生有多少名；
本次抽取的份以“诚信”为主题的征文分别是小明、小强和小红的，若从中随机选取份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求小明和小强同学的征文同时被选中的概率．

18.  本小题分
我国为了维护队钓鱼岛的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同，当轮船航行到距钓鱼岛的处时，飞机在处测得轮船的俯角是；当轮船航行到处时，飞机在轮船正上方的处，此时轮船到达钓鱼岛时，测得处的飞机的仰角为试求飞机的飞行距离结果保留根号．
 

19.  本小题分
随着某市养老机构养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等建设稳步推进，拥有的养老床位及养老建筑不断增加．
该市的养老床位数从年底的万个增长到年底的万个，求该市这两年从年底到年底拥有的养老床位数的平均年增长率；
该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养名老人，建筑投入平均万元人，且计划赡养的老人每增加人，建筑投入平均减少元人，那么新建该养老中心需申报的最高建筑投入是多少？

20.  本小题分
如图，为的直径，点在上，连结、，过点的切线与的延长线交于点，，与交于点．
求证：；
当的半径为，时，求的长．

21.  本小题分
在正方形中，为上一点，点在上，点在上，且，垂足为点．
如图，当点与点重合时，求证：；
将图中的向上平移，使得为的中点，此时与相交于点，
依题意补全图；
用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

 

22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左边，与轴交于点，且．
求抛物线的解析式；
如图，若点是线段不与，重合上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当和相似时，求此时点的坐标；
若点是直线不与，重合上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，将沿对折，如果点的对应点恰好落在轴上，求此时点的坐标；

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值，属于基础题．
根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】
解：，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是长方形．
从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可得圆柱的侧面展开图是长方形．
【解答】
解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数可求出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义，被开方数是非负数是关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出的度数．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【解答】
解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
表示，
表示的是，
故选：．
首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长度，再由点表示的数为可得答案．
此题主要考查了勾股定理，实数与数轴，关键是正确计算出的长．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上且经过原点，
当时，抛物线顶点为原点，时随增大而增大，不满足题意，
当时，抛物线对称轴在轴左侧，同理，不满足题意，
，抛物线对称轴在轴右侧，时，时，
即抛物线和轴的个交点，一个为，另外一个在和之间，
抛物线对称轴在直线与直线之间，
即，
点与对称轴距离最近，点与对称轴距离最远，
．
解法二：点和点在抛物线上，
，，
，
，
与异号，
，
，
，，
，，在该抛物线上，
，，，
，
，
，
，
．
故选B．
分类讨论的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间，再根据各点到对称轴的距离判断值大小．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，

设梯子中点为，下滑后为，过作，
，，
，
为中点，，
，
，为一次函数．
故选：．
设梯子中点为，下滑后为，过作，易得，根据三角形的中位线定理可得，进而得出与的函数关系式，本题得以解答．
本题考查了函数关系式，利用三角形的中位线定理得出相关线段的数量关系是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，连接、，如图．

点的坐标为，
，，．
点在直线上，
，
解得．
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，．
在中，．
在中，．
所求“理想矩形”面积为；
故选：．
过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，，根据勾股定理可求出、、的值，从而可求出“理想矩形”面积．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将数字科学记数法可表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，，，这组数据的中位数是，
，
解得，
该组数据的众数为．
故答案为：．
根据中位数的概念可列出关于的方程，，解方程可求出的值；一组数据出现次数最多的数值叫众数，据此，不难求出该组数据的众数．
本题考查了众数和中位数的概念和性质，根据中位数的性质求出的值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：底面半径为，则底面周长，侧面面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的的关键是牢记公式，难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据旋转可得，
是矩形，
，
，
，
，
∽，
：：，
点的坐标为，
，，
，
，
反比例函数图象经过点，
，
反比例函数为，
把代入，得，
，
作点关于轴对称的点，
连接，交轴于点，此时，取最小值，
设直线的解析式为，
，解得，
直线为，
令，则，
解得，
点的坐标为．
故答案为：．
根据旋转和矩形的性质，易证∽，根据相似三角形的性质，即可求出的值，然后待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，作点关于轴的对称点，求得直线的解析式，进一步即可求得直线与轴的交点．
本题考查了反比例函数的综合应用，涉及矩形的性质，旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，综合性较强．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
前个数里面包含：个，个，个，，个，个，
．
故答案为：．
由结合，可得出前个数里面包含：个，个，个，，个，个，进而可得出的值．
本题考查了规律型：数字的变化类，根据数列中数的排列规律找出“前个数里面包含：个，个，个，，个，个”是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式先计算除法运算，再计算减法运算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
 

17.【答案】解：本次调查共抽取的学生有名；
选择“友善”的人数有名，
条形统计图如图所示，

“爱国”占，名；
记小明、小强和小红分别为、、．
树状图如图所示：

共有种情形，小义和小玉同学的征文同时被选中的有种情形，
小义和小玉同学的征文同时被选中的概率． 

【解析】用“诚信”的人数除以“诚信”所占的百分比，即可得到总人数；
用总人数减去其它人数，即可得出“友善”的人数，然后补全统计图即可；
 用乘以“爱国”的百分比即可；
 列出表格，得出共有多少种可能，再得出小明、小强和小红同时被选中的可能，结合概率公式即可得解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力以及求随机事件的概率；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

18.【答案】解：作，，垂足分别为、，
由题意得：，，
在中，，
则，
，
，
，
在中，，即，
，
则．
答：飞机的飞行距离为． 

【解析】作，，在和中分别求出、的值，继而可求得的值．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，难度一般．
 

19.【答案】解：设该市这两年从年底到年底拥有的养老床位数的平均年增长率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该市这两年从年底到年底拥有的养老床位数的平均年增长率为．
设在人的基础上增加人时，建筑总投入为元，
依题意，得：，
，
当时，取得最大值，最大值为．
答：新建该养老中心需申报的最高建筑投入为元． 

【解析】设该市这两年从年底到年底拥有的养老床位数的平均年增长率为，根据该市年底及年底拥有的养老床位数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设在人的基础上增加人时，建筑总投入为元，根据总投入人数人均投入，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

20.【答案】证明：连接，如图，
与相切，
，
，
为直径，
，即，
，
，
，
而，
，
；
解：由知，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，

． 

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
连接，如图，利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，然后证明得到；
由知，，在中，利用正弦的定义计算出，再利用三角形中位线性质得到，接着在中利用正弦定义计算出，然后计算与的差即可．
 

21.【答案】证明：四边形是长方形，
，，
，
，
，
在和中

≌，
；
过的中点作，分别与、、交于点、、，如图即为补全的图形；

，理由如下：
如图，在上截取，连接交于点，作交于点，

，
四边形是平行四边形，
，
，
，
由知：，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
证明≌便可得出结论；
过的中点作，分别与、、交于点、、即可；
在上截取，连接交于点，作交于点，结合证明≌，可得，然后证明≌，可得，，所以，证明是等腰直角三角形，所以，然后证明≌，可得，进而可以解决问题．
 

22.【答案】解：在中，
令，得：，
解得：，，
，，
，
，
，
，
，
，
抛物线解析式为：；
设直线解析式为，
，，
，解得：，
直线解析式为：，
设点坐标为，
轴，
，
，
，，
，
，
，，，
，，，
，
若和相似，分两种情况：
当∽，
，即，
解得：，
；
当∽，
，即，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或；
设点坐标为，
当点在的上方时，由知，，

沿对折，点的对应点恰好落在轴上，
，
轴，
，
，
，
，
整理得：，
解得：舍去，，
当时，，

当点在点下方时，，
同理可得，
解得舍去，，
，
综上所述，点的坐标为或 

【解析】在抛物线中，令，得出点、坐标，再根据，建立方程求的值即可求出函数的关系式；
分∽、∽两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可；
分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案．
本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质，二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折叠的性质，数形结合思想是解题的关键．