2023年安徽省芜湖市南陵县桃园中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年安徽省芜湖市南陵县桃园中学中考数学一模试卷（含答案），共20页。
2023年安徽省芜湖市南陵县桃园中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
2．（4分）“学习强国”平台上线的某天，全国约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为（　　）
A．1246×105 B．124.6×106 C．1.246×107 D．1.246×108
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x4+x2＝x6 B．x2•x3＝x6
C．（x2）3＝x6 D．（2x）3÷x2＝2x
4．（4分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（　　）

A． B．
C． D．
5．（4分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（4分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
7．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（　　）

A．2cm B．2cm C．cm D．2cm
8．（4分）“五一”劳动节期间，某快餐店统计了5月1日至5月5日每天的用水量（单位：吨），并绘制成如图所示的折线统计图．下列结论正确的是（　　）

A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是8
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
10．（4分）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同剪法，那么AP长的取值范围（　　）

A．3＜AP＜4 B．3≤AP＜4 C．2＜AP＜3 D．2≤AP＜3
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若点N（2，a﹣4）在第四象限，则a的取值范围是　 　．
12．（5分）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则k＝　 　．
13．（5分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是　 　．

14．（5分）已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2﹣x﹣4a上，当m≥﹣2时，总有n≤2成立，则a的取值范围是　 　．
三．解答题（共9小题，满分90分，每小题10分）
15．（10分）计算：．
16．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出将△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）在网格内画出以B为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，并写出C2的坐标．

17．（10分）甲仓库和乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存量的60%，从乙仓库运出存粮的40%，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．求甲、乙仓库原来各存粮多少吨？
18．（10分）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，

按照以上规律，解决下列问题：
（1）第⑤个图中有 　 　个黑色圆点；第⑩个图中有 　 　个黑色圆点；
（2）第几个图中有210个黑色圆点？

19．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若直径AD＝10，cosB＝，求FD的长．

20．（10分）如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）

21．（10分）新角度•概率、几何结合如图（1），线段AE和BD相交于点C，连接AB，DE．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率是 　 　；
（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
22．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连结PD，点O为线段AC中点．
【感知】如图①，当点P在线段AO上时，
①易证：△ABP≌△ADP（不需要证明）．进而得到PE与PD的数量关系是 　 　．
②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD（不需要证明）．进而得到PE与PD的位置关系是 　 　．
【探究】如图②，当点P在线段OC上（点P不与点O、C重合）时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点P在线段AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝时线段DE的长．


23．（10分）如图①，小明和小亮分别站在平地上的C、D两地先后竖直向上抛小球A、B（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．A、B两球到地面的距离y1（m）和y2（m）与小球A离开小明手掌后运动的时间x（s）之间的函数图象分别是图②中的抛物线C1、C2．已知抛物线C1经过点P（0，2），顶点是Q（1，7），抛物线C2经过M（1，2）和N（2，5）两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为　 　时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？


2023年安徽省芜湖市南陵县桃园中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1． 解：2023的相反数是﹣2023．
故选：C．
2． 解：124600000＝1.246×108．
故选：D．
3． 解：A、x4与x2不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝x5，故B不符合题意．
C、原式＝x6，故C符合题意．
D、原式＝8x3÷x2＝8x，故D不符合题意．
故选：C．
4． 解：的俯视图为．
故选：B．
5． 解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，
∴∠DEF＝30°．
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DEF＝30°，
∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
6． 解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
7． 解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，
∵PB＝AB，
∴∠POB＝60°，OB⊥AP，
∵⊙O的半径为2cm，
∴OP＝2cm，
∴AH＝PH＝OP•sin∠POB＝2×＝（cm），
∴AP＝2AH＝2（cm）．
故选：B．

8． 解：由折线图知：1日用水5吨，二日用水7吨，三日用水11吨，四日用水3吨，5日用水9吨，
数据5、7、11、3、9的平均数是＝7，
中位数是7，
由于各数据都出现了一次，故其众数为5、7、11、3、9．
方差是S2＝[（5﹣7）2+（7﹣7）2+（11﹣7）2+（3﹣72）+（9﹣7）2]
＝8．
综上只有选项D正确．
故选：D．
9． 解：观察二次函数图象可得出：a＞0，﹣＞0，c＞0，
∴b＜0．
∴反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
10． 解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；

如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；

如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即22＝CP×4，
∴CP＝1，AP＝3，
∴此时，3≤AP＜4；

综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11． 解：∵点N（2，a﹣4）在第四象限，
∴a﹣4＜0，
则a＜4，
故答案为：a＜4．
12． 解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
13． 解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD＝CG＝AB＝6，∠ACD＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠FCD＝∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF＝GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG＝DF＝CD＝3．
故答案为3．

14． 解：抛物线y＝ax2﹣x﹣4a可知对称轴为直线x＝，
当＜﹣2时，有，
解得：﹣＜a＜0；
当≥﹣2时，有，
解得：a＝﹣．
综上所述：﹣≤a＜0．
故答案为：﹣≤a＜0．

三．解答题（共9小题，满分90分，每小题10分）
15． 解：原式＝
＝
＝4．
16． 解：（1）△A1B1C1如图所示：A1（﹣4，﹣1）．

（2）△A2B2C2如图所示：C2（﹣1，﹣3）．

17． 解：设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：甲仓库原来存粮240吨，乙仓库原来存粮210吨．
18． 解：第一个图形的数量是1，可以表示为；
第二个图形的数量是3，可以表示为；
第三个图形的数量是6，可以表示为；
第四个图形的数量是10，可以表示为，根据此规律可以得到第n个图形的圆圈数量为，
（1）第⑤个图中有个黑色圆点；第⑩个图中有＝55个黑色圆点；
故答案为：15，55；
（2）设第x个图中有210个黑色圆点，可得：，
解得：x＝20，
所以第几个图中有210个黑色圆点．
19． （1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．

20． 解：过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，如图所示：
则∠ACD＝45°，∠ABD＝53°，
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴CD＝＝＝AD，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴BD＝≈＝AD，
由题意得：AD﹣AD＝75，
解得：AD＝300（m），
∵此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，
∴此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为：20℃﹣×0.6℃＝18.2℃，
答：此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为18.2℃．

21． 解：∵AB＝DE，∠ACB＝∠DCE，
∴当抽中∠A＝∠D时，由AAS能判断△ABC≌△DEC，①符合题意；
当抽中∠B＝∠E时，由AAS能判断△ABC≌△DEC，②符合题意；
当抽中BC＝CE时，由SSA不能判断△ABC≌△DEC，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明△ABC≌△DEC成立的情况有2种
能证明△ABC≌△DEC概率是，
故答案为：；
（2）补全树状图，如图，

∵∠ACB＝∠DCE，
∴当抽中①∠A＝∠D，②∠B＝∠E，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中①∠A＝∠D，③AB＝DE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中①∠A＝∠D，④BC＝CE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B＝∠E，①∠A＝∠D，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B＝∠E，③AB＝DE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B＝∠E，④BC＝CE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB＝DE，①∠A＝∠D，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB＝DE，②∠B＝∠E，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB＝DE，④BC＝CE，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC＝CE，①∠A＝∠D，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC＝CE，②∠B＝∠E，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC＝CE，③AB＝DE，不能判断△ABC≌△DEC；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率＝．
22． 解：【感知】①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP＝45°，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴PB＝PD，
∵PB＝PE，
∴PE＝PD，
故答案为：PE＝PD；
②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，如图①所示：
则∠PNE＝∠PMD＝∠PMC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PC平分∠MCN，∠NCM＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，PN＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在Rt△PNE和Rt△PMD中，
，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD（HL），
∴∠EPN＝∠DPM，
∵∠MPN＝∠MPN+∠EPN＝90°，
∴∠MPN+∠DPM＝90°，
即∠DPE＝90°，
∴PE⊥PD，
故答案为：PE⊥PD；
【探究】PE与PD的数量关系和位置关系为：PE＝PD，PE⊥PD，理由如下：
设PE交CD于F，如图②所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，B与D是一对对应点，BC＝CD，
∴PD＝PB，
∵PB＝PE，
∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，
在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SSS），
∴∠PBC＝∠PDF，
∴∠PDF＝∠PEB，
∵∠PFD＝∠CFE，
∴180°﹣∠PFD﹣∠PDC＝180°﹣∠CFE﹣∠PEB，
即∠DPF＝∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECF＝∠BCD＝90°，
∴∠DPF＝90°，
∴PD⊥PE；
【应用】设PD交BE于H，如图③所示
∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，B与D是一对对应点，BC＝CD，∠ACB＝45°，BC＝AB＝3，
∴PD＝PB，
∵PB＝PE，
∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，
在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SSS），
∴∠PBC＝∠PDC，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PHE＝∠CHD，
∴180°﹣∠CHD﹣∠PDC＝180°﹣∠PHE﹣∠PEB，
即∠DPE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝∠BCD＝90°，
∴∠DPE＝90°，
∴△DPE是等腰直角三角形，
过点P作PQ⊥BE于Q，
∵PB＝PE，
∴BQ＝EQ，
∵∠PCQ＝∠ACB＝45°，
∴△CQP是等腰直角三角形，
∴CQ＝PQ＝CP＝1，
∴EQ＝BQ＝BC+CQ＝3+1＝4，
∴PE＝＝＝，
∴DE＝PE＝×＝．



23． 解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝a（x+m）2+k．
∵顶点Q的坐标是（1，7），
∴y1＝a（x﹣1）2+7，
因为点P（0，2）在抛物线C1上，
所以点P（0，2）的坐标满足y1＝a（x﹣1）2+7，即2＝a（0﹣1）2+7．
解得a＝﹣5，
∴y1＝﹣5（x﹣1）2+7，
∵两抛物线的开口大小相同，
∴设y2与x之间的函数表达式为y2＝﹣5x2+bx+c，
因为点M（1，2）和N（2，5）都在抛物线C2上，
所以点M（1，2）和N（2，5）的坐标满足y2＝﹣5x2+bx+c，
即，解得，
∴y2＝﹣5x2+18x﹣11；

（2）①令y1＝y2，则﹣5（x﹣1）2+7＝﹣5x2+18x﹣11，解得x＝，
故答案为：；

②令y1＝0，则0＝﹣5（x﹣1）2+7．
解方程得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意，舍去），
在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+．
当1≤x≤时，两球到地面的距离之差y1﹣y2＝﹣8x+13，
∵﹣8＜0，
∴y1﹣y2随x的增大而减小．
∴当x＝1时，y1﹣y2有最大值，最大值是5，
当≤x≤1+时，两球到地面的距离之差y2﹣y1＝8x﹣13，
∵8＞0，
∴y2﹣y1随x的增大而增大．
∴当x＝1+时，y2﹣y1有最大值，最大值是﹣5，
∵﹣5＜5．
∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是5m．