2023年甘肃省武威市中考数学一模试卷（含解析）

2023年甘肃省武威市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个等腰三角形的顶角是，则它的底角的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  代数式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4.  关于的方程的两个实数根分别为和，则分解因式等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，、分别是和上的点，，若，那么(    )

A.
B.
C.
D.

6.  垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有名同学参加了学校组织的年“生活垃圾分类回收”的考试考试规定成绩大于等于分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是(    )

A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 小高得分将排在甲班的前名
C. 甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 D. 甲班成绩优异的人数比乙班多

7.  生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是，则这个正六边形的半径和扳手的开口的值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  为响应承办“绿色奥运”的号召，某校计划组织七年级部分同学参加义务植树棵由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了，结果每人比原计划少栽了棵若设原计划有人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是半圆的直径，是的中点，过点作，交半圆于点，则与的长度的比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

10.  如图，在矩形的边上有一点，连结，点从顶点出发，沿以的速度匀速运动到点图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  因式分解： ______ ．

13.  若方程是关于的一元一次方程，则 ______ ．

14.  如图，已知矩形的对角线的长为，顺次连结各边中点、、、得四边形，则四边形的周长为______．

15.  如图，，，是上的三个点，，则的度数是______ ．

16.  某机器零件的尺寸标注如图所示，在其主视图，左视图和俯视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是______ ．

17.  “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的如图，水柱的最高点为，，，水嘴高，则水柱落地点到水嘴所在墙的距离是______

18.  如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
化简：．

21.  本小题分
如图，已知中，．
作图：在上找一点，使得点到、两边的距离相等；尺规作图，保留痕迹
若的垂直平分线交线段于点，且的周长是，，则 ______ ．

22.  本小题分
线上教学期间，很多同学采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时点是的对应点，用眼舒适度较为理想求此时顶部边缘处离桌面的高度的长结果精确到；参考数据：，，
 

23.  本小题分
对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的，，，四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
甲组抽到小区的概率是______ ；
请用列表或画树状图的方法求甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的概率．

24.  本小题分
受疫情影响，年下半学期很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动，为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑，手机，电视，其他”四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查；调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

请根据以上信息解答下列问题：
本次调查抽取的总人数是______ 人，在扇形统计图中，“电视”所对应的扇形的圆心角的度数为______ ；
补全条形统计图；
该校九年级共有名学生，估计有多少名同学用电脑上课？

25.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象交于，两点．
求的值；
在轴上找一点，连接，，使的值最小，求点的坐标．

26.  本小题分
如图，点、、在上，，直线，，点在上．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若的半径为，求弦的长．

27.  本小题分
如图，▱中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为，与的延长线相交于点．
若为中点，求证：；
若，，，当点在线段上运动时，的长度是否改变？若不变，求；若改变，请说明理由；
在的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成一个平行四边形，请用含的代数式表示．
 

28.  本小题分
二次函数图象的顶点在原点，经过点；点在轴上，直线与轴交于点．
求二次函数的解析式；
点是抛物线上的点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：；
当时等边三角形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
等腰三角形中，给出了顶角为，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得．
本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【解答】
解：代数式有意义，
，解得且．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两个实数根分别为和，
方程为：，
．
故选：．
由关于的方程的两个实数根分别为和，可得方程为：，继而求得答案．
此题考查了一元二次方程根的性质．此题难度不大，注意根据题意可得方程为：是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
．
故选：．
根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，所以乙班成绩稳定，此选项错误，不符合题意；
B.小明得分将排在甲班的前名，此选项正确，符合题意；
C.根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数，此选项错误，不符合题意；
D.乙班成绩的中位数大于甲班，所以乙班成绩不低于分的人数多于甲班，此选项错误，不符合题意；
故选：．
分别根据方差的意义、中位数意义、众数的定义及平均数的意义逐一判断即可．
本题考查了中位数、众数、平均数及方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是，则，
连接，过作于；

，
是等腰三角形，
；
此多边形为正六边形，
，
，
，，
．
故选：．
根据正六边形的性质，边长等于半径，可得，连接，作于；根据正六边形的特点求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值求出的长，进而可求出的长．
此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：若设原计划有人参加这次植树活动，那么原计划每人植树的数量为：，实际每人植树的数量为：．
方程应该表示为：．
故选：．
关键描述语为：“结果每人比原计划少栽了棵”，等量关系为：原计划每人植树的数量实际每人植树的数量．
本题考查了列分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，

是半圆的直径，是的中点，
，
，
，
，
与的长度的比为，
故选：．
连接，利用直角三角形的性质和弧长计算解答即可．
此题考查弧长的计算，关键是利用直角三角形的性质和弧长计算解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
由图象可知，当、重合，，，
可得：，
当时、重合，，可得：，
则：．
故选：．
抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为，横坐标为，得的最大面积为，此时、重合，，，通过图象知道点到终点时，的面积是，此时、重合，，得，即可求得的长．
本题考查的是动点问题的函数图象，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算即可求解．
本题考查了实数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值以及绝对值的意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
由可得原式利用平方差公式即可分解．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元一次方程，
，
解得：，
．
故答案为：．
利用一元一次方程的定义，可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：、是与的中点，
是的中位线，
，
同理，根据矩形的对角线相等，
连接，
得到：，
四边形的周长为．
故答案是：．
根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理先求出，再利用三角形内角和为和等腰三角形的性质求解即可．
本题考查了圆周角定理，掌握“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题关键．
 

16.【答案】俯视图 

【解析】解：其三视图分别为

主视图是轴对称图形，不是中心对称图形；
左视图为长方形，是轴对称图形不是中心对称图形；
俯视图为长方形，是轴对称图形和中心对称图形；
故答案为：俯视图．
分别根据主视图，左视图和俯视图的图形形状进行判断即可．
本题考查三视图，解题的关键是正确判别三视图的图形形状．
 

17.【答案】 

【解析】解：设抛物线的解析式为，
顶点，
，
把代入得，
，
，
抛物线的解析式为，
当时，即，
解得，不合题意舍去，
水柱落地点到水嘴所在墙的距离是；
故答案为：．
根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可．
本题主要考查了二次函数的应用，根据实际问题求出点的坐标，恰当选择抛物线解析式的形式是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，进而得到的长，再设，则，，再在中利用勾股定理可得方程：，解出的值，可得答案．
【解答】

解：，，
，，
根据折叠可得：，
，
设，则，，
在中：，
解得：，
故答案为：．

 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】根据二次根式的乘法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，
选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

20.【答案】解：原式



． 

【解析】先计算括号内的加减法，再计算乘法即可．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，点即为所求，
；

的垂直平分线交线段于点，
，
的周长是，
，即，
，，
，

故答案为：．
根据角平分线的作法，作出的平分线，交于点即可；
根据线段垂直平分线的性质结合的周长即可求解．
本题考查了作图复杂作图，角平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

22.【答案】解：，
，
在中，，
，
由题意得：
，
，
，
在中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 

【解析】利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】；
根据题意画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的结果数为，
甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的概率为． 

【解析】解：共有，，，，个小区，
甲组抽到小区的概率是，
故答案为：．
见答案．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】   

【解析】解：本次调查抽取的总人数是：名，
“电视”所对应的扇形的圆心角的度数为：．
故答案为：；；
使用手机的人数为名，
补全条形统计图如下：

名．
答：大约有名同学用电脑上课．
根据使用电脑的人数和所占的百分比即可求出总人数；用使用电视的人数所占的百分比乘以即可求出圆心角；
利用总人数减去其他选项的人数，得到使用手机的人数，补全条形统计图即可；
用九年级总人数乘以样本中使用电脑的人数所占的百分比，即可进行估算．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，从图表中正确识别信息是解题关键．
 

25.【答案】解：，在直线上，
，，
解得，．
，．
点在函数的图象上，
．
．
由知点，，
点关于轴的对称点为．
如图，要使值最小，连接，交轴于点，则点即为所求的点．

设直线的表达式为，
得解得
直线的表达式为．
当时，，解得，
点的坐标为． 

【解析】先将点，分别代入一次函数的解析式即可求出、的值，再将代入反比例函数解析式即可求出，进而解题；
根据轴对称性、两点之间线段最短，确认最小时，即连接，交轴于点，即为所求的点，最后利用一次函数的性质求解即可得．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合、两点之间线段最短等知识点，较难的是题，正确找出最小时，点的位置是解题关键．
 

26.【答案】解：直线与圆相切．
理由如下：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
直线与圆相切；
连接，作于，
，
，
，
在中，，
． 

【解析】由切线的判定定理，可证明；
连接，作于，由等腰三角形的性质得到，由含度直角三角形的性质求出，根据勾股定理即可求出．
本题考查圆的切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握切线的判定方法．
 

27.【答案】证明：如图中，

四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
．

解：结论：的长度不变．．
理由：如图中，连接．

，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．

解：如图中，当点在线段上时，作于．

在中，，，
，，
．
当点在的延长线上时，同法可得，
综上所述，的长为或． 

【解析】证明≌即可解决问题．
结论：的长度不变．证明，再证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题．
分两种情形：如图中，当点在线段上时，作于当点在的延长线上时，分别求解即可．
本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

28.【答案】解：二次函数图象的顶点在原点，
设二次函数的解析式为，
将点代入得：，
二次函数的解析式为；

设，
，
，
，且点在直线上，
，
；

当是等边三角形时，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
满足条件的点的坐标为或． 

【解析】根据题意可设函数的解析式为，将点代入函数解析式，求出的值，继而可求得二次函数的解析式；
过点作轴于点，利用勾股定理求出，表示出，可得；
首先可得，设点的坐标为，根据，可得关于的方程，求出的值即可得出答案．
本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．