浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023届高三下学期一模数学试卷（含答案）

浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023届高三下学期一模数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，()

A. B. C. D.

2、已知为虚数单位，复数则等于(   )

A. B.1 C. D.5

3、已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为(   )

A. B. C. D.

4、国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与.21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自100多个国家的4200多位数学家参加了本次大会.这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学䒴作《勾股圆设方图》。该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且大正方形与小正方形面积之比为则的值为(   )

A. B. C. D.

5、四位爸爸A、B、C、D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是(   )

A. B. C. D.

6、已知函数，若在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7、若，，则(   )

A. B. C. D.

8、空间中四个点A、B、C、M满足，且直线CM与平面ABC所成的角为，则三棱锥的外接球体积最大为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、如图，正四棱柱中，，、分别为，的中点，则(   )

A.

B.直线与直线所成的角为

C.直线与直线所成的角为

D.直线与平面所成的角为

10、下列说法正确的有(   )

A.若事件A与事件B互斥，则

B.若，，，则

C.若随机变量X服从正态分布，，

D.这组数据4，2，3，5，6的分位数为4

11、设为拋物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，过作与轴平行的直线，和过点且与垂直的直线交于点，与轴交于点，则(   )

A.为定值

B.当直线的斜率为1时，的面积为(其中为坐标原点)

C.若为的准线上任意一点，则直线的斜率成䇡差数列

D.点到直线的距离为

12、已知函数的零点为，函数的零点为，则(   )

A.

B.

C.

D.

三、填空题

13、的展开式中，常数项为_____________.

14、已知点，直线l与圆O：交于A、B两点，若为等腰直角三角形，则直线l的方程为__________________.（写出一条即可）

15、已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若与椭圆C无公共点的直线上存在一点P，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是_____________.

16、若点在函数的图像上，则的取值范围是______________.

四、解答题

17、已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足

(1)求角A;

(2)若b=2，BC边上中线，求的面积.

18、已知数列的前n项和为且

（1）求及数列的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等美数列，求数列的前n项和.

19、如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，平面PCD平面ABCD为棱PC上的点，且

(1)求证平面PAD：

(2)若二面角为求平面APB与平面PBC的夹角的余弦值.

20、中国男篮历史上曾l2次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队，第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办.

（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下：

依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？

（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第l次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即.

（i）求P3，，P4，并证明：为等比数列；

（ii）比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小.

参考公式：，其中为样本容量.

参考数据：

21、已知双曲线的离心率为，并且经过点

（1）求双曲线E的方程.

（2）若直线l经过点，与双曲线右支交于P、Q两点（其中P点在第一象限），点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N，证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN.

22、已知函数.

（1）若函数为增函数，求k的取值范围；

（2）已知，

（i）证明：

(ii)若证明：

参考答案

1、答案：C

解析：，故本题正确答案为：C.

2、答案：B

解析：复数则故答案为B.

3、答案：B

解析：由已知，因为，所以所以在方向上的投影向量为，故选：B.

4、答案：C

解析：设直角三角形较短的直角边长为a，则较长的直角边长为，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为，因为大正方形与小正方形面积之比为所以，，则，(1)因为则，(2)又因为，(3)由(1)(2)(3)可得故选C.

5、答案：A

解析：A、B、C、D四位爸爸的小孩分别是a、b、c、d则交谈组合有9种情况，分别为：(Ab,Ba,Cd,Dc)，(Ab,Bd,Ca,Dc)，(Ab,Bc,Cd,Da)，(Ac,Ba,Cd,Db)，(Ac,Bd,Ca,Db)，A的小孩与D交谈包含的不同组合有3种，分别为：(Ab,Bc,Cd,Da)，(Ac,Bd,Cb,Da)，(Ad,Bc,Cb,Da)，所以A的小孩与D交谈的概率是，故选A.

6、答案：D

解析：函数，因为所以，由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴.根据函数的图像，所以，整理得故选：D

7、答案：B

解析：令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为，所以，又，所以，所以，所以，故故本题正确答案为B.

8、答案：C

解析：设O是三角形ABC的外接圆的圆心，因为，所以是正三角形，则三棱锥的外接球的球心H在过O且与平面ABC垂直的直线OH上，由题意可得，过M作平面ABC于N，直线CM与平面ABC所成的角为，，故N的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，当球心H到CM的距离最大时，三棱锥的外接球体积最大，所以N在OC延长线上时，三棱锥的外接球体积最大，设CM的中点为G，连接GH，则，，又所以，，三棱锥的外接球体积最大为故选C.

9、答案：ACD

解析：对A选项，如图，取的中点G，连接GE，GA，，又E、F分别为的中点，，且，

四边形ABGE为平行四边形，，又易知，，选项正确；对B选项，在正侧面内的射影为，而与不垂直，根据三垂线定理可得与不垂直，B选项错误；对C选项，在左侧面内的射影为，又根据题意易知，

根据三垂线定理可得，直线与直线所成的角为，所以C选项正确；对D选项，由A选项分析可知，直线与平面ABCD所成的角为，又根据题意易知，D选项正确，故本题正确答案为ACD.

10、答案：BC

解析：

11、答案：ACD

解析：A.，设直线l的方程为，，，，为定值，因此A正确.

B.当直线的斜率为1时，直线l的方程为，代入椭圆方程可得，，点O到直线的距离，的面积为，因此B不正确.

C.设，则

通分后分子则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列，因此C正确.

D.如图所示，过点M作，垂足为H，，又因此D正确，故本题正确答案为ACD.

12、答案：ABD

解析：由题意可得，，令，则，代入方程可得变形为，令，，可知函数在上单调递减，又，由，即，因此A正确；，因此B正确；，因此C不正确；令，则，函数在上单调递增，，因此D正确，故本题正确答案为ABD.

13、答案：11

解析：先求的展开式中常数项以及含的项；，由得由得，即的展开式中常数项为，含的项为，的展开式中常数项为故答案为11.

14、答案：或或

解析：由圆，得圆心，半径，，

P在圆O上，若可得AB过圆心且，又，，直线的方程为，即；

若，可得AP过圆心且，则可得OB的直线的方程为，联立圆方程，解得或，可得B的坐标为或，根据圆的对称性易知直线AB的方程为或，即或；若，由A；B的等价性可知该情况与一致；综上：直线l方程为或或，故答案为(或或).

15、答案：

解析：不妨设，，，设直线倾斜角为，直线倾斜角为，

若的最大值为，则有最小值，又，当且仅当，即时取等号，，解得，

又椭圆C与直线无公共点，

椭圆离心率的取值范围是故本题正确答案为.

16、答案：

解析：由可得因为恒成立，所以即，

设，因为所以即在递减，所以则即则的取值范围是故答案为.

17、答案：答案：（1）.

（2）.

解析：（1），由正弦定理得，，，，.

（2）故，，.

18、答案：答案：（1）.

（2）.

解析：（1）时，，，时，，，时，，，作差得故是公比为2的等比数列，

（2）由（1）得，在与之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，得，设为数列的前n项和，，作差得，，.

19、答案：答案：（1）平面PAD

（2）.

解析：（1）证明：设点F为PD的一个三等分点，且连接EF，AF，，又，且，从而可得，四边形ABEF是平行四边形，，平面PAD，平面PAD，平面PAD

（2）平面ABCD平面PCD

平面ABCD平面PCD，平面PCD

，为二面角的平面角.如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则

设平面的法向量为，

则，令得

同理，平面PBC的法向量为，故平面APB与平面PBC的夹角的余弦值为.

20、答案：答案：（1）犯错误的概率不超过0.001.

（2）(i)，(ii)第15次触球者是甲的概率大.

解析：（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关，

，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.

（2）(i)由题意，第n次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为1-，则，从而，又，是以为首项，公比为的等比数列，故.

(ii)设第n次触球者是乙的概率记为，当时，，，所以第15次触球者是甲的概率大.

21、答案：答案：（1）.

（2）点P处的切线平分线段MN.

解析：（1）依题意，离心率，，解得，，故双曲线E的方程为

（2）方法一:设，直线为，代入双曲线方程得：则且，，

直线AP方程为，令得：，，直线PQ为令得：，即，设线段MN的中点坐标为，则，过点P的切线方程为：要证双曲线在点P处的切线平分线段EF，即证点P处的切线经过线段MN的中点T

所以点P处的切线经过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN.方法二：设，则，由题意可知，点M在直线PA上，且纵坐标为，设由可得:，整理得：，同理可得，设线段MN的中点坐标为，则又过点P的切线方程

为：要证双曲线在点P处的切线平分线段EF即证点P处的切线经过线段MN的中点T，，

，所以点P处的切线经过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN.

22、答案：答案：（1）

（2）(i)

(ii)

解析：（1），若是增函数，则恒成立，令，则，故在上递增，在递减，.

（2）(i)时，，单调递增，

(ii)依题意；有两个不同实数根由(1)知，令，则当时，；当时，，故在上单调递减，.