北师大版九年级上册6 应用一元二次方程第1课时教案设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

知识回顾

【复习回顾】

教师活动：学生已学过列一元一次方程解应用题，通过想一想环节让学生说出列方程解应用题的一般步骤，再选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入新课的学习.

想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？

预设：

①审：审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；

②设：设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；

③列：根据题中的等量关系列方程；

④解：求出所列方程的解；

⑤验：“检验”，即验证是否符合题意；

⑥答：回答题目中要解决的问题.

【情境导入】

你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？

原题：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？

(1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？

预设：

设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.

  (8-x)2+(6+x)2 =102.

    x2-2x = 0.

x1= 0(舍)，x2 = 2.

因此，梯子底端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.

(2) 如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

预设：

设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.

(12-x)2+(5+x)2 =132.

x2-7x = 0.

x1= 0(舍)，x2= 7.

因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等为7m.

思考并举手回答.

尝试列方程，独立解决

复习回顾已学知识，并为新课的学习做准备.

选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入用一元二次方程解决实际问题的内容.

环节二 典例探究

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标C.小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 中点.一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.

已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于点E，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile）

分析：

(1)要求 DE 的长，需要如何设未知数？

预设：一般求什么设什么，可设DE的长为x n mile.

(2)怎样建立含 DE 未知数的等量关系？

预设：根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系.

(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？

预设：连接DF，由三角形中位线得AB∥DF，从而DF⊥EF，构造出Rt△DEF.

(4)构造出Rt△DEF 后，三条边长DE，DF，EF 分别是多少？

预设：DF=100 n mile，DE=x n mile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x) n mile.  

解：连接 DF.

∵AD = CD，BF = CF，

∴DF 是△ABC 的中位线.

∴DF∥AB，且 DF =AB.

∵AB⊥BC，AB=BC= 200 n mile，

∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile.

设相遇时补给船航行了 x n mile，那么

DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile，

EF = AB + BF -(AB + BE)=(300-2x) n mile.

在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程       

x2 = 1002 + (300-2x)2，

整理，得    

3x2 -1200x + 100 000 = 0.

解这个方程，得    =200-,

=200+.

所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile.

例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm， BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？

分析：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，则AP=t cm，BQ=2t cm，所以PB=(6-t)cm

由S五边形APQCD =S矩形ABCD- S△PBQ，可得：64 = 6×12 - 2t(6-t) ÷2.从而求得满足条件的解即可.

解：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，

根据题意，得

             64=6×12-2t(6-t) ÷2

整理得   t2- 6t+8 = 0.

解方程，得 t1= 2 ，  t2 =4 .

因此，在第2秒和第4秒时五边形的面积都是 64cm2.

明确例题的做法

尝试用式子表示边的关系，并找到等量关系

在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性.

环节三 总结归纳

【方法归纳】

通过上述两个例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨，列一元二次方程解实际问题的一般步骤.

想一想：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？

注意： 在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.

独立思考，交流讨论

明确列一元二次方程解决实际问题的步骤，培养学生的总结概括能力.

环节四 巩固练习

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3.乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？

2.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？

3.如图：在 Rt△ACB 中，∠C = 90°，点 P、Q 同时由A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半？

4.如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m2，上口比渠底宽 0.6 m，渠深比渠底少 0.4 m，求渠深.

答案：

1.解：如图所示，甲、乙二人同时从点O出发，在点B处相遇.

设甲乙两人走的时间为x，则甲走的路程为3x，乙走的路程为7x，依题意得：

102+(3x)2=(7x-10)2

解得：

x1＝，x2＝0(舍去)

所以，相遇时，甲走了10.5步，乙走了24.5步.

2.解: 设较多的钱为 x，则较少的为20-x.

由题意，可得 x(20- x)＝96，

解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)．

所以，赛义德得到的钱数为12.

3.解: 设经过 t s，△PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半．根据题意，得

    (8－t)(6－t)＝×6×8× ，

解方程，得 t1＝2，t2＝12 (舍去)．

所以，2s后△PCQ面积为Rt△ACB面积的一半．

4.解：设渠深为 x m，则渠底为 (x＋0.4) m．

S ＝[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]x ＝ 0.78，

解得 x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．

所以，渠深 0.6 m．

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第55页 习题2.9   第4题.

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.