考点09 指数与指数函数6种常见考法归类-备战高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

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考点09 指数与指数函数6种常见考法归类


考点一 指数幂的运算
考点二 指数型函数的定义域和值域问题
考点三 指数函数的图象及应用
（一）判断指数函数图象的形状
（二）根据指数型函数图象判断参数的范围
（三）指数型函数恒过定点问题
（四）指数函数图象应用
考点四 指数函数的性质及应用
（一）指数函数的单调性
(1)判断函数的单调性
(2)比较指数式的大小
(3)解不等式
(4)由函数的单调性求参数
（二）指数函数的最值
(1)求函数的最值
(2)根据最值求参数
(3)函数的最值与不等式的综合问题
（三）指数函数的奇偶性
(1)已知函数奇偶性求值
(2)由函数的奇偶性求解析式
(3)已知函数的奇偶性求参数
(4)函数的奇偶性与单调性的综合
考点五 指数函数的综合问题
考点六 指数函数的实际应用


1、正确区分与()n
(1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
2、有限制条件根式的化简
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
3、根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
4、指数幂运算的常用技巧
指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. ②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. ③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. ④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
5、利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2.
6、判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求．
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求．
7、求指数函数的解析式或函数值
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
8、指数函数的图象和性质





图象




性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
注：指数函数常用技巧
(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线.
(2)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(3)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(4)指数函数与的图象关于轴对称．
9、指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，．
10、指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．




11、函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
12、处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
注：①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到. 特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. ②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
13、比较幂值大小的3种类型及处理方法

14、简单的指数不等式的解法
利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x) 15、指数型复合函数的单调性
(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．
(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0 16、解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．


考点一 指数幂的运算

1．（2023·全国·高三专题练习）化简：（    ）
A．0 B． C．或0 D．
2．（2023·全国·高三专题练习）_________.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为__________．
5．（2023·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
6．（2023·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：
（1）；
（2）已知，，求.
考点二 指数型函数的定义域和值域问题
7．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是___________．
8．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）函数的定义域是_______．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
12．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为__________.
14．（2023春·上海虹口·高三统考期中）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
16．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
18．（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
考点三 指数函数的图象及应用
（一）判断指数函数图象的形状
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
20．（2023·全国·高三专题练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ）

A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，

21．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
22．（2023·天津河北·统考一模）函数的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
23．（2023·广西南宁·统考二模）函数的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．.
24．【多选】（2023·湖北武汉·统考二模）函数的图像可能是（    ）
A． B．
C． D．
25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）函数的大致图象为（    ）
A． B．
C． D．
（二）根据指数型函数图象判断参数的范围
26．（2023秋·吉林白城·高三校考期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________.
27．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ）
A．且 B．且
C．且 D．且
28．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．， C．， D．，
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
（三）指数型函数恒过定点问题
30．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ）
A． B． C． D．
31．（2023·全国·高三专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（    ）
A．4 B．6 C．7 D．8
33．（2023·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
（四）指数函数图象应用
34．【多选】（2023春·四川绵阳·高三校考开学考试）若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（    ）
A．2 B． C． D．
35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2020 B．1010 C．1012 D．2023
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
考点四 指数函数的性质及应用
（一）指数函数的单调性
（1）判断函数的单调性
38．（2023·全国·高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（    ）．
A． B． C． D．
39．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知函数，则（    ）
A．图象关于原点对称，且在上是增函数
B．图象关于原点对称，且在上是减函数
C．图象关于轴对称，且在上是增函数
D．图象关于轴对称，且在上是减函数
40．（2023·全国·高三专题练习）设函数且，那么是（    ）．
A．奇函数，且在上是严格增函数 B．奇函数，且在上是严格减函数
C．偶函数，且在上是严格增函数 D．偶函数，且在上是严格减函数
41．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.
（2）比较指数式的大小
42．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
43．（2023·天津·一模）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
44．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
45．（2023·河南洛阳·校联考三模）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ）．
A． B．
C． D．
46．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设函数，若，，，则（    ）
A． B．
C． D．
（3）解不等式
47．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知集合或，则（    ）
A．或 B．或
C．或 D．
48．（2023·河北·高三学业考试）不等式的解集是___________.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为__________．
50．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
51．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是____________.
（4）由函数的单调性求参数
52．（2023·全国·高三专题练习）“”是“函数在R上为增函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
53．（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
54．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
55．（2023·全国·高三专题练习）若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ）
A．（1，3）； B．（2，3）；
C．； D．；
56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
57．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
58．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则__________.
（二）指数函数的最值
（1）求函数的最值
59．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（    ）
A． B． C． D．
60．（2023·高三课时练习）已知函数在上的最小值是，最大值是，求的值.
61．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）若函数 的图像经过点 ， 则（    ）
A． B． 在 上单调递减
C． 的最大值为 81 D． 的最小值为
（2）根据最值求参数
62．【多选】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
63．（2023·全国·高三专题练习）已知的最小值为2，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
64．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
（3）函数的最值与不等式的综合问题
65．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
66．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
67．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．
68．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若时，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
（三）指数函数的奇偶性
（1）已知函数奇偶性求值
69．（2023秋·贵州黔东南·高三统考期末）已知函数，若，则（    ）
A．4 B．6 C． D．
70．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则等于（    ）
A．0 B．2 C．4 D．8
（2）由函数的奇偶性求解析式
71．（2023·全国·高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ）
A． B． C． D．
72．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________．
73．（2023·全国·高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
（3）已知函数的奇偶性求参数
74．（2023·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
75．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__．
76．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若函数为偶函数，则__________.
77．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则（    ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
（4）函数的奇偶性与单调性的综合
78．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________.
79．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
80．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为___________.
81．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________
82．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
考点五 指数函数的综合问题
83．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数（且）图像恒过的定点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）．
A． B．
C． D．
84．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若，则的最小值为_________．
85．（2023·全国·高三专题练习）关于“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（    ）
A．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项
B．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项
C．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项
D．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项
考点六 指数函数的实际应用
86．（2023·全国·高三专题练习）生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论：
①该生物种群的数量不超过40000只；
②该生物种群数量的增长速度逐年减小；
③该生物种群数量的年增长量不超过10000只．
其中所有正确说法的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
87．（2023·全国·高三专题练习）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
88．（2023春·新疆昌吉·高三校考阶段练习）日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为，其中的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为，其中为就餐人数（本窗口），为餐品新鲜度，则当，时，近似等于（    ）（已知）
A．470 B．471 C．423 D．432
89．（2023·全国·高三专题练习）某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在储藏温度为时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为时的保鲜时间是（    ）
A． B． C． D．