【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第9讲 3.1.2 等式的性质（含解析）

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第9讲 3.1.2 等式的性质

1、 掌握方程的解及解方程的概念；
2、 掌握等式的性质；
3、 掌握移项的定义；
4、 会有等式的性质初步解方程.

知识点01 方程的解及解方程
方程的解：
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；
注意：“方程的解就能代入”验算！
解方程：
求方程的解的过程叫做解方程。

1．下列方程中，解为x＝2的是(　　)
A．2x﹣1＝1 B．2x＝1 C．3x﹣4＝x D．3x+6＝0
2．下列方程中，其解为﹣1的方程是(　　)
A．2x﹣1＝4x+3 B．3x＝x+3 C． D．2(x﹣3)＝3
3．下列方程中，其解为x＝﹣2的是(　　)
A．3x﹣4＝2 B．3(x+1)﹣3＝0 C．2x＝﹣1 D．﹣1＝0
4．x＝3是下列方程的解的有(　　)
①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③(x﹣3)(x﹣1)＝0；④x＝x﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知x＝﹣1是方程2ax＝a﹣3的解，则a＝　 　．
6．方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是　 　．
知识点02 等式的性质及移项
等式的性质：
(1)等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
(2)等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：(1)移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；(2)系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

7．已知x＝y，字母m为任意有理数，下列等式不一定成立的是(　　)
A．x+m＝y+m B．x﹣m＝y﹣m C．mx＝my D．
8．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝b，则ac＝bc
B．若b＝1，则ab＝a
C．若，则a＝b
D．若(a﹣1)c＝(b﹣1)c，则a＝b
9．下列各式运用等式的性质变形，错误的是(　　)
A．若ac＝bc，则a＝b
B．若，则a＝b
C．若﹣a＝﹣b，则a＝b
D．若(m2+1)a＝(m2+1)b，则a＝b
10．下列等式变形正确的是(　　)
A．由a＝b，得4+a＝4﹣b
B．如果2x＝3y，那么
C．由mx＝my，得x＝y
D．如果3a＝6b﹣1，那么a＝2b﹣1
11．将方程x+3y＝8变形为用含y的式子表示x，那么x＝　 　．
12．如果将方程3x﹣2y＝25变形为用含x的式子表示y，那么y＝　 　．
13．在等式3a+5＝2a+6的两边同时减去一个多项式可以得到等式a＝1，则这个多项式是 　 　．

14．下列方程的解是x＝﹣1的是(　　)
A．x+2＝0 B．2x+2＝0 C．3x﹣2＝x D．
15．下列方程解为的是(　　)
A．2x﹣2＝0 B． C． D．2x+1＝0
16．已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是(　　)
A．3a+1＝2b+6 B．3a﹣5＝2b C．a＝b+ D．3＝+
17．下列变形错误的是(　　)
A．由x＝y得：﹣8x＝﹣8y B．由3x＝2得：x＝
C．由2﹣x＝3得：x＝3﹣2 D．由3x﹣4＝2x得：3x＝2x+4
18．若x＝y+2，则下列式子一定成立的是(　　)
A．x﹣y+2＝0 B．x﹣2＝﹣y C．2x＝2y+2 D．
19．写出一个以字母y为未知数且解为﹣2的方程：　 　．
20．将方程36x﹣2y＝56变形为用含x的式子表示y的形式是 　 　．
21．由3x＝2x+1变为3x﹣2x＝1，是方程两边同时加上　 　．
22．利用等式的性质解方程并检验：．
23．判断下列说法是否成立，并说明理由：
(1)由a＝b，得；


(2)由x＝y，y＝，得x＝；


(3)由﹣2＝x，得x＝﹣2．


24．利用等式性质解方程：
(1)5x﹣2＝﹣7x+8；



(2)3x+1＝x+9；



(3)．



25．利用等式的性质解方程，并检验．
(1)4x﹣6＝﹣10；



(2)﹣5x＝﹣15；



(3)10x＝5x﹣3；



(4)7x﹣6＝8x．

第9讲 3.1.2 等式的性质

5、 掌握方程的解及解方程的概念；
6、 掌握等式的性质；
7、 掌握移项的定义；
8、 会有等式的性质初步解方程.

知识点01 方程的解及解方程
方程的解：
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；
注意：“方程的解就能代入”验算！
解方程：
求方程的解的过程叫做解方程。

1．下列方程中，解为x＝2的是(　　)
A．2x﹣1＝1 B．2x＝1 C．3x﹣4＝x D．3x+6＝0
【解答】解：A选项，当x＝2时，左边＝4﹣1＝3≠右边，不符合题意；
B选项，当x＝2时，左边＝4≠右边，不符合题意；
C选项，当x＝2时，左边＝6﹣4＝2＝右边，符合题意；
D选项，当x＝2时，左边＝6+6＝12≠右边，不符合题意；
故选：C．
2．下列方程中，其解为﹣1的方程是(　　)
A．2x﹣1＝4x+3 B．3x＝x+3 C． D．2(x﹣3)＝3
【解答】解：A、把x＝﹣1代入方程得：左边＝2×(﹣1)﹣1＝﹣3，右边＝4×(﹣1+3)＝﹣1，左边≠右边，故本选项不符合题意；
B、把x＝﹣1代入方程得：左边＝3×(﹣1)＝﹣3，右边＝﹣1+3＝2，左边≠右边，故本选项不符合题意；
C、把x＝﹣1代入方程得：左边＝＝﹣，左边＝右边，故本选项符合题意；
D、把x＝﹣1代入方程得：左边＝2×(﹣1﹣3)＝﹣8，右边＝3，左边≠右边，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．下列方程中，其解为x＝﹣2的是(　　)
A．3x﹣4＝2 B．3(x+1)﹣3＝0 C．2x＝﹣1 D．﹣1＝0
【解答】解：A．把x＝﹣2代入方程3x﹣4＝2得：左边＝3×(﹣2)﹣4＝﹣10，右边＝2，左边≠右边，
所以x＝﹣2不是方程3x﹣4＝2的解，故本选项不符合题意；
B．把x＝﹣2代入方程3(x+1)﹣3＝0得，左边＝3×(﹣2+1)﹣3＝﹣6，右边＝0，左边≠右边，
所以x＝﹣2不是方程3(x+1)﹣3＝0的解，故本选项不符合题意；
C．把x＝﹣2代入方程2x＝﹣1得：左边＝2×(﹣2)＝﹣4，右边＝﹣1，左边≠右边，
所以x＝﹣2不是方程2x＝﹣1的解，故本选项不符合题意；
D．把x＝﹣2代入方程﹣1＝0得：左边＝﹣1＝0，右边＝0，左边＝右边，
所以x＝﹣2是方程﹣1＝0的解，故本选项符合题意；
故选：D．
4．x＝3是下列方程的解的有(　　)
①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③(x﹣3)(x﹣1)＝0；④x＝x﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵﹣2x﹣6＝0，
∴x＝﹣3．

②∵|x+2|＝5，
∴x+2＝±5，
解得x＝﹣7或3．

③∵(x﹣3)(x﹣1)＝0，
∴x＝3或1．

④∵x＝x﹣2，
∴x＝3，
∴x＝3是所给方程的解的有3个：②、③、④．
故选：C．
5．已知x＝﹣1是方程2ax＝a﹣3的解，则a＝　1　．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：﹣2a＝a﹣3，
解得：a＝1．
故答案为：1．
6．方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是　2　．
【解答】解：把x＝2代入方程，得4+▲＝6，
解得▲＝2．
故答案为：2．
知识点02 等式的性质及移项
等式的性质：
(1)等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
(2)等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：(1)移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；(2)系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

7．已知x＝y，字母m为任意有理数，下列等式不一定成立的是(　　)
A．x+m＝y+m B．x﹣m＝y﹣m C．mx＝my D．
【解答】解：A、等式两边同时加上m，依据等式的基本性质1，式子成立，故本选项不符合题意；
B、等式两边同时加上﹣m，依据等式的基本性质1，式子成立，故本选项不符合题意；
C、等式两边同时乘以m，依据等式的基本性质2，式子成立，故本选项不符合题意；
D、等式两边同时除以1+m，等式不一定成立，故本选项符合题意．
故选：D．
8．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝b，则ac＝bc
B．若b＝1，则ab＝a
C．若，则a＝b
D．若(a﹣1)c＝(b﹣1)c，则a＝b
【解答】解：(D)当c＝0时，则a不一定等于b，故D错误；
故选：D．
9．下列各式运用等式的性质变形，错误的是(　　)
A．若ac＝bc，则a＝b
B．若，则a＝b
C．若﹣a＝﹣b，则a＝b
D．若(m2+1)a＝(m2+1)b，则a＝b
【解答】解：A．当c＝0时，由ac＝bc不能推出a＝b，故本选项符合题意；
B．∵＝，
∴乘以c得：a＝b，故本选项不符合题意；
C．∵﹣a＝﹣b，
∴a＝b，故本选项不符合题意；
D．∵(m2+1)a＝(m2+1)b，
∴a＝b，故本选项不符合题意；
故选：A．
10．下列等式变形正确的是(　　)
A．由a＝b，得4+a＝4﹣b
B．如果2x＝3y，那么
C．由mx＝my，得x＝y
D．如果3a＝6b﹣1，那么a＝2b﹣1
【解答】解：A、由a＝b，等式左边加上4，等式的右边也应该加上4，等式才会仍然成立，故此选项不符合题意；
B、如果2x＝3y，等式的左右两边同时乘以﹣3，可得﹣6x＝﹣9y，等式的左右两边同时加上2，可得2﹣6x＝2﹣9y，等式的左右两边同时除以3，可得，故此选项符合题意；
C、由mx＝my，当m≠0时，等式左右两边同时除以m，可得x＝y，故此选项不符合题意；
D、由3a＝6b﹣1，等式左右两边同时除以3，可得a＝2b﹣，故此选项不符合题意；
故选：B．
11．将方程x+3y＝8变形为用含y的式子表示x，那么x＝　8﹣3y　．
【解答】解：x+3y＝8，
x＝8﹣3y．
故答案为：8﹣3y．
12．如果将方程3x﹣2y＝25变形为用含x的式子表示y，那么y＝　　．
【解答】解：移项，得：﹣2y＝25﹣3x，
方程两边同时除以﹣2，得：y＝，
故答案为：．
13．在等式3a+5＝2a+6的两边同时减去一个多项式可以得到等式a＝1，则这个多项式是 　2a+5　．
【解答】解：等式两边同时减去(2a+5)，可得a＝1．
故答案为：2a+5

14．下列方程的解是x＝﹣1的是(　　)
A．x+2＝0 B．2x+2＝0 C．3x﹣2＝x D．
【解答】解：将x＝﹣1分别代入各个方程可得，
A．左边＝×(﹣1)+2＝1.5，右边＝0，左边≠右边，因此选项A不符合题意；
B．左边＝2×(﹣1)+2＝0，右边＝0，左边＝右边，因此选项B符合题意；
C．左边＝3×(﹣1)﹣2＝﹣5，右边＝﹣1，左边≠右边，因此选项C不符合题意；
D．左边＝5×(﹣1)＝﹣5，右边﹣＝，左边≠右边，因此选项D不符合题意；
故选：B．
15．下列方程解为的是(　　)
A．2x﹣2＝0 B． C． D．2x+1＝0
【解答】解：A．当x＝时，2×﹣2＝﹣1≠0，故方程解不是，故选项不合题意；
B．当x＝时，×＝≠0，故方程解不是，故选项不合题意；
C．当x＝时，×＝，故方程解是，故选项符合题意；
D．当x＝时，2×+1≠0，故方程解不是，故选项不合题意；
故选：C．
16．已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是(　　)
A．3a+1＝2b+6 B．3a﹣5＝2b C．a＝b+ D．3＝+
【解答】解：由等式3a＝2b+5，可得：3a+1＝2b+6，3a﹣5＝2b，a＝b+，
在a≠0的前提下，两边都除以a可得3＝+，故此式不一定成立．
故选：D．
17．下列变形错误的是(　　)
A．由x＝y得：﹣8x＝﹣8y B．由3x＝2得：x＝
C．由2﹣x＝3得：x＝3﹣2 D．由3x﹣4＝2x得：3x＝2x+4
【解答】解：A．∵x＝y，
∴﹣8x＝﹣8y，故本选项不符合题意；
B．∵3x＝2，
∴x＝，故本选项不符合题意；
C．∵2﹣x＝3，
∴﹣x＝3﹣2，
∴x＝﹣3+2，故本选项符合题意；
D．∵3x﹣4＝2x，
∴3x＝2x+4，故本选项不符合题意；
故选：C．
18．若x＝y+2，则下列式子一定成立的是(　　)
A．x﹣y+2＝0 B．x﹣2＝﹣y C．2x＝2y+2 D．
【解答】解：A．∵x＝y+2，
∴x﹣y﹣2＝0，故本选项不符合题意；
B．∵x＝y+2，
∴x﹣2＝y，故本选项不符合题意；
C．∵x＝y+2，
∴2x＝2y+4，故本选项不符合题意；
D．∵x＝y+2，
∴＝+1，
∴﹣＝1，故本选项符合题意；
故选：D．
19．写出一个以字母y为未知数且解为﹣2的方程：　y+2＝0(答案不唯一)　．
【解答】解：满足题意的方程为y+2＝0，
故答案为：y+2＝0(答案不唯一)．
20．将方程36x﹣2y＝56变形为用含x的式子表示y的形式是 　y＝18x﹣28　．
【解答】解：∵36x﹣2y＝56，
∴2y＝36x﹣56，
∴y＝18x﹣28，
故答案为：y＝18x﹣28．
21．由3x＝2x+1变为3x﹣2x＝1，是方程两边同时加上　﹣2x　．
【解答】解：由3x＝2x+1变为3x﹣2x＝1，在此变形中，方程两边同时加上﹣2x．
故答案为：﹣2x．
22．利用等式的性质解方程并检验：．
【解答】解：根据等式性质1，方程两边都减去2，
得：，
根据等式性质2，方程两边都乘以﹣4，
得：x＝﹣4，
检验：将x＝﹣4代入原方程，得：左边＝，右边＝3，
所以方程的左右两边相等，故x＝﹣4是方程的解．
23．判断下列说法是否成立，并说明理由：
(1)由a＝b，得；
(2)由x＝y，y＝，得x＝；
(3)由﹣2＝x，得x＝﹣2．
【解答】解：(1)不一定成立，须有x≠0．
(2)成立，根据等式传递性．
(3)成立，根据等式的对称性．
24．利用等式性质解方程：
(1)5x﹣2＝﹣7x+8；
(2)3x+1＝x+9；
(3)．
【解答】解：(1)移项合并得：12x＝10，
解得：x＝；
(2)移项合并得：2x＝8，
解得：x＝4；
(3)去分母得：﹣a﹣6＝10，
解得：a＝﹣16．
25．利用等式的性质解方程，并检验．
(1)4x﹣6＝﹣10；
(2)﹣5x＝﹣15；
(3)10x＝5x﹣3；
(4)7x﹣6＝8x．
【解答】解：(1)方程两边加上6得：4x＝﹣10+6，即4x＝﹣4，
方程两边除以4得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入方程左边得：﹣4﹣6＝﹣10，右边为﹣10，左边＝右边，
则x＝﹣1是方程的解；

(2)方程两边除以﹣5得：x＝3，
将x＝3代入方程左边得：﹣15，右边为﹣15，左边＝右边，
则x＝3是方程的解；

(3)方程两边减去5x得：10x﹣5x＝﹣3，即5x＝﹣3，
两边除以5得：x＝﹣，
将x＝﹣代入方程左边得：10×(﹣)＝﹣6，右边为﹣6，左边＝右边，
则x＝﹣是方程的解；

(4)方程两边减去7x得：7x﹣6﹣7x＝8x﹣7x，即x＝﹣6，
将x＝﹣6代入方程左边得：﹣42﹣6＝﹣48，右边为﹣48，
左边＝右边，即x＝﹣6是方程的解．