2023年浙江省杭州市萧山区宁围初级中学中考数学一模拟试卷

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这是一份2023年浙江省杭州市萧山区宁围初级中学中考数学一模拟试卷，共27页。

2023年宁围初级中学第二学期
数学第一次学情调研试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列各数中最大的是（）
A． B． C．0 D．1
设x=15，则x的取值范围是（　　）
A． 2 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是(　　　)

A．文 B．羲 C．弘 D．化
下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（　　）

A．115° B．118° C．120° D．125°
下列计算正确的是（）
A． B．
C. D．
不等式组的非负整数解的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．140° B．130° C．120° D．110°
如图，矩形ABCD中，AB= 8,BC=4，点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC
上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）
A． B． C．5 D．6

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为　　cm2．
用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为　　．

当a=2016时，分式的值是　　　　　　．
“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需　　元．
如图，在四边形ABCD中，，，AD=AC，，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接，EF，BF，若CD=8，则的面积是_________．

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A,C均落在格点上，点B在网格线上，且AB=53．

（Ⅰ）线段AC的长等于___________；
（Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P,Q分别为边AC,BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,Q，并简要说明点P,Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
解不等式，并在数轴上表示解集．
如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=
（1）点D的横坐标为　　　　　　（用含m的式子表示）；
（2）求反比例函数的解析式．

已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%

根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．
（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．

答案解析
一、选择题
【考点】有理数的大小比较
【分析】把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
解：
由于－3<－2<0<1，则最大的数是1
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
【考点】估算无理数的大小
【分析】根据无理数的估计解答即可．
解：∵9＜15＜16，
∴，
故选：B．
【点评】此题考查估算无理数的大小，关键是根据无理数的估计解答．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“羲”，与“伏”字所在面相对面上的汉字是“化”，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握解答的要点：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，建立空间观念是关键．
【考点】三角形内角和定理，随机事件
【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意，
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意，
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意，
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
【考点】圆内接四边形的性质，等边三角形的性质．
【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．
解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．
【考点】完全平方公式，同类项，单项式除以单项式，幂的乘方
【分析】A．根据完全平方和公式计算即可判断错误；
B.根据同类项定义：所含字母相同，相同字母指数也相同，再由合并同类项法则计算即可判断错误；
C.根据单项式除以单项式法则计算，即可判断错误；
D.根据幂的乘方计算即可判断正确；
解：A．∵（a+b）2=a2+2ab+b2 ，故错误，A不符合题意；
B.∵a2+2a2=3a2 ，故错误，B不符合题意；
C.∵x2y÷ =x2y×y=x2y2 ，故错误，C不符合题意；
D.∵（-2x2）3=-8x6 ，故正确，D符合题意；
故答案为D：.
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
解：
∵解不等式①得：x≥﹣，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为﹣≤x＜5，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，
故选B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．　
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1•x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣1．
x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系找出两根之积与两根之和．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系，找出两根之和与两根之积是关键．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，垂线．
【分析】根据垂线的性质可得∠ACB＝90°，进而得出∠ABC与∠1互余，再根据平行线的性质可得答案．
解：∵AC⊥BC于点C，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠1＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵m∥n，
∴∠2＝180°﹣∠ABC＝120°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质
【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=1212AC=2√55，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．
解；连接EF交AC于O，

∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，

∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC==4，
∴AO=AC=2，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=5．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．
二、填空题
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的面积＝对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．
解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，
∴菱形的面积是＝24（cm2），
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积＝对角线乘积的一半．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连OA，OP，AP，求出AP直线和AP弧面积，即阴影部分面积，从而求解．
解：如图，设的中点我P，连接OA，OP，AP，
△OAP的面积是：×12=，
扇形OAP的面积是：S扇形=，
AP直线和AP弧面积：S弓形=﹣，
阴影面积：3×2S弓形=π﹣．
故答案为：π﹣．

【考点】分式的值．
【分析】首先将分式化简，进而代入求出答案．
解： ==a+2，
把a=2016代入得：
原式=2016+2=2018．
故答案为：2018．
【点评】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，根据“1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入x+y中，即可得出结论．
解：设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y=20+28=48．
故答案为：48．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．　
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理
【分析】由题可得△ACD为等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC=，点E和点F分别是AC和CD的中点，根据中位线定理和直角三角形斜边中线定理可得到EF=12AD，BE=12AC，从而得到EF=EB，又，得∠CAB=15°，∠CEB=30°进一步得到∠FEB=120°，又△EFB为等腰三角形，所以∠EFB=∠EBF=30°，过E作EH垂直于BF于H点，在Rt△EFH中，解直角三角形求出EH，FH,以BF为底，EH为高，即可求出△BEF的面积．
解：∵，AD=AC，
∴△ADC为等腰直角三角，
∵CD=8，
∴AD=AC=22CD=，
∵E,F为AC，DC的中点，
∴FE∥AD，EF=12AD=22，
∴BE=12AC=22，
∵AD=AC，
∴EF=EB，△EFB为等腰三角形，
又∵EF∥AD，
∴EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
又EB=EA，
∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°，
∴∠CEB=30°，
∴∠FEB=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
过E作EH垂直于BF于H点，
∴BH=FH，
在Rt△EFH中，
∵∠EFH=30°，
∴EH=EF·sin30°=22×12=2 ，
FH=EF·cos30°=32×22=6 ，
∴BF=2×6=26，
∴SBEF=12BF·EH=12×26×2=23 ，
故答案为：23．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，解直角三角形。正确的运用解题方法求出相关线段长度是解题的关键．
【考点】勾股定理,作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题
【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；
（2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B'；连接B'C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B'P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC=CE2+AE2=32+22=13；

（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B'；连接B'C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B'P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．

【点评】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题
【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集
【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可．
解：
去括号：
移项：2x=3-1+2
合并同类项：
化系数为1：x≤2
解集表示在数轴上：

【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，数轴上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系数为1的时候，不等号是否要改变方向；正确的计算和在数轴上表示出解集是解题关键．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．
【分析】（1）由点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，可求得点C的坐标，又由过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=，即可表示出点D的横坐标；
（2）由点D的坐标为：（m+2，），点A（m，4），即可得方程4m=（m+2），继而求得答案．
解：（1）∵A（m，4），AB⊥x轴于点B，
∴B的坐标为（m，0），
∵将点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为：（m+2，0），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标为：m+2；
故答案为：m+2；
（2）∵CD∥y轴，CD=，
∴点D的坐标为：（m+2，），
∵A，D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴4m=（m+2），
解得：m=1，
∴点a的横坐标为（1，4），
∴k=4m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及平移的性质．注意准确表示出点D的坐标是关键．

【考点】解一元一次方程组，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定
【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组
的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．
解：由题意列方程组：
解得
将，分别代入和
解得，
∴，
（2）
解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵
∴该三角形是等腰直角三角形．
【点评】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．
【考点】统计表，扇形统计图，众数，中位数，方差，用样本估计总体
【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解a，b的值，由扇形统计图可解得m的值；
（2）先计算在10个班中，八年级A等级的比例，再乘以30即可解题；
（3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可．
解：（1）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中，出现的此时最多，即众数是；
由扇形统计图可知，
八年级的A等级的班级数为10×20%=2个，八年级共调查10个班，故中位数为第5个和第6个数的平均数，A等级2个班，B等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0，故八年级10个班的餐厨垃圾质量的中位数为（1.0+1.0）÷2=1.0

；
（2）∵八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%，
∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）；
答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．
（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0；
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级的20%；
八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1；
②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．
【点评】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【考点】几何变换综合题．.
【分析】（1）延长ED交交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
②当旋转到A．O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．
解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠AGO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°，
即α=30°；
（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°﹣30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A．O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本题的难点．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；
（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．
解：
（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4；
（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），
则BN=n+2，CN=8﹣n．
∵B（﹣2，0），C（8，0），
∴BC=10，
在y=﹣x2+x+4中令x=0，可解得y=4，
∴点A（0，4），OA=4，
∴S△ABN=BN•OA=（n+2）×4=2（n+2），
∵MN∥AC，
∴，
∴==，
∴，
∵﹣＜0，
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；
（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，
∵MN∥AC，
∴M为AB边中点，
∴OM=AB，
∵AB===2，AC===4，
∴AB=AC，
∴OM=AC．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到△AMN和△ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的中间“桥梁”是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．　
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠A的范围；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；
（3）分三种情况分别讨论计算AB的长，从而得出当AD=2时，AB最长，最后计算出对角线AC的长．
解：（1）∵∠A=∠B=∠C，
∴3∠A+∠ADC=360°，
∴∠ADC=360°﹣3∠A．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，
∴60°＜∠A＜120°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形
（3）①当60°＜∠A＜90°时，如图1，

过点D作DF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC=∠B=∠DEA，
∴EB=DF，DE=FB，
∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，
∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，
设AD=x，AB=y，
∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，
∵△DAE∽△DCF，
∴，
∴，
∴y=x2+x+4=﹣（x﹣2）2+5，
∴当x=2时，y的最大值是5，
即：当AD=2时，AB的最大值为5，
②当∠A=90°时，三等角四边形是正方形，
∴AD=AB=CD=4，
③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如图2，

∵AE=4﹣AB＞0，
∴AB＜4，
综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；
此时，AE=1，如图3，

过点C作CM⊥AB于M，DN⊥AB，
∵DA=DE，DN⊥AB，
∴AN=AE=，
∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，
∴△DAN∽△CBM，
∴，
∴BM=1，
∴AM=4，CM==，
∴AC===．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了四边形的内角和是360°，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是分类画出图形，也是解本题的难点．　