甘肃省金昌市2023届高三二模数学（理）试题（含解析）

这是一份甘肃省金昌市2023届高三二模数学（理）试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
甘肃省金昌市2023届高三二模数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．若复数满足，其中为虚数单位，则（    ）A． B． C． D．3．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，若该圆台的体积为，则其母线长为（    ）A． B． C．4 D．4．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（    ）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.65．已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ）A． B． C． D．6．在的展开式中，的系数为（    ）A．4 B．－4 C．－60 D．607．已知是函数的一个零点，若，则（    ）A． B．C． D．8．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内的条件可以是（    ）A． B． C． D．9．设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ）A． B．C． D．10．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．11．已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．在底面是边长为4的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为（    ）A． B． C． D． 二、填空题13．曲线在点处的切线方程为______．14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题，“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为_________斤．15．若函数，又是函数的图象上的两点，且的最小值为，则的值为______.16．已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点E，过F的直线与C在第一象限的交点为A，则的最大值为______． 三、解答题17．在中，内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，求．18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．(1)证明：平面；(2)若，，且，，求二面角的余弦值．19．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：甲班　　8　　13　　28　　32　　39乙班　　12　 25　  26　　28　　31如果学生平均每周自我慗夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．(1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；(2)从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生总数为，写出的分布列和数学期望．20．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足（为坐标原点）？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的直角坐标方程和的普通方程；(2)求曲线上的点到直线距离的最小值．23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求证：．
参考答案：1．A【分析】先利用指数函数的单调性和对数函数的定义域得到，，即可得到.【详解】由，，则，所以．故选：A.2．C【分析】设复数，则，根据复数的加减法与复数相等求得结果.【详解】设复数，则，则，则，，所以．故选：C.3．A【分析】根据圆台体积公式求出圆台高，再由高及底面半径求圆台母线.【详解】设圆台的高为，则圆台的体积，解得，故圆台母线长．故选：A4．B【分析】由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设乙独立解出该题的概率为，由题意可得，∴．故选：B.5．A【分析】由两边平方求得，再根据两个向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】因为，所以，因为，，所以，所以，所以，所以．故选：A.6．C【分析】运用二项式定理的通项公式计算可得结果.【详解】，其展开式的通项为，若先满足中的次数，则，可得，其中展开式的通项为，令，得，所以，故的系数为．故选：C.7．B【分析】根据指数函数及一次函数的单调性确定函数递减，再由零点存在性确定零点范围，结合单调性判断大小.【详解】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，又，所以，因为，，由单调性知，即．故选：B8．C【分析】根据流程图逐步代入数据检验即可判断.【详解】，输出，则判断框内应填入“”．故选：C.9．D【分析】由递推关系求出，根据与其前项和的关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解.【详解】由，，得,即，解得.因为，所以，两式相减得，即.又，，所以，所以是首项为2，公比为3的等比数列，∴，．故选:D.10．D【分析】结合圆的垂径定理及点到直线距离公式求出焦点到准线的距离，求出离心率即可.【详解】因为，，所以三角形为正三角形，所以到直线的距离为，所以，因为，所以，所以，所以.故选：D11．B【分析】根据函数在上单调递增，利用函数导数性质求出的取值范围，在由在区间上既有最大值又有最小值求出的取值范围，然后求交集即可.【详解】1.因为，则，若在上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，则，解得；2.因为，则，①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，此时只有最大值，没有最小值不满足题意；②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，此时只有最小值，没有最大值不满足题意；③当时，令，解得；令，解得；则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，若在上既有最大值，又有最小值，则且，解得：；综上所述：．故选：B.12．C【分析】依题意可得为正四棱锥，由可得异面直线与所成的角为，取中点，连接、，即可求出、，再求出四棱锥的表面积与体积，从而求出内切球的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解.【详解】由题可得四棱锥为正四棱锥，即有．因为，所以异面直线与所成的角为，取中点，连接、，则，所以，所以，．从而可以求得四棱锥的表面积和体积分别为，，所以内切球的半径为．设四棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，则，则，解得，所以．    故选：C13．【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】对函数求导可得，所以，所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.故答案为：.14．15【分析】根据题意，每节重量构成等差数列，由等差数列求和公式得解.【详解】由题意知每节的重量构成等差数列，设首项为2，则第5项为4，所以总重量为斤．故答案为：1515．【分析】先根据最大值点和对称中心的最小距离求出周期，再求出函数解析式，代入解析式结合诱导公式及特殊角的函数值求解即可.【详解】因为，所以，则，所以，此时点A、B为函数上相邻的最高点和对称中心，所以，所以，解得，所以，所以.故答案为：16．【分析】先根据抛物线定义转化为，再联立直线和抛物线得出切线斜率即可求出最大值.【详解】由题意可知，，．如图所示，过作，垂足为，因为，所以．只要最小，满足题意，即最小，结合图形可知，与相切时，最小．设直线的方程为．由得，，由，解之得或（舍去），此时，取得最大值．  故答案为：17．(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）由正弦定理化简后再由两角和正弦公式及辅助角公式化简得解.【详解】（1）由已知及正弦定理得，因为．所以，因为，所以，因为，所以．（2）因为，由正弦定理化简得，又，所以．所以．所以，因为，所以，所以．18．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，再得线线垂直，由线面垂直的判定定理得证；（2）取中点为，以为坐标原点，OB，OF，OP所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以．因为，，，平面，所以平面．（2）如图，取中点为，连接，由平面，平面，知，又，，所以且，平面平面，平面平面，平面，则平面，取中点，连接，则，由（1）知平面，于是以为坐标原点，OB，OF，OP所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．则C（1,3,0），P（0,0,1），D（－1,3,0），E（1,2,0），，，，．设平面的法向量为，平面的法向量为，则由得取得一个法向量为，由得取得一个法向量为，设二面角的平面角大小为，可知是一个锐角，则．19．(1)估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时(2)分布列见解析；期望为2 【分析】（1）由表即可估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）计算取不同值时的概率，即可得出的分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，甲班样本数据的平均值为：，乙班样本数据的平均值为：，∴甲班学生每周平均熬夜时间24小时，乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．（2）由题意及（1）得，从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生，∴的可能取值为 0，1，2，3，4．， ，，，．的分布列是：X01234P.20．(1)(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）设椭圆方程为，将已知点坐标代入解方程组即可；（2）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程消去y，利用韦达定理表示，再根据直线与圆相切列方程，联立求解即可判断.【详解】（1）设椭圆的方程为．因为过两点，所以解得，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线满足题意．（ⅰ）当直线的斜率不存在时，此时的方程为．当时，，同理可得，当时，．（ⅱ）当直线的斜率存在时，设的方程为，设，因为直线与圆相切，所以，即①，联立方程组整理得，，由根与系数的关系，得因为，所以．所以，所以，整理得②，联立①②，得，此时方程无解．由（ⅰ）（ⅱ）可知，不存在直线满足题意．21．(1)单调递增区间为；单调递减区间为(2) 【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性；（2）由题意分析可得，求导，分类讨论判断原函数的单调性及最值，结合存在性问题分析运算.【详解】（1）时，则且，可得，令，得；令，得；所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为．（2）若存在，使成立，等价于当时，有．因为且，可得，故当，即时，，则有：①当时，则在上恒成立，所以在上为减函数，可得，故；②当时，由于在上为增函数，故的值域为，且，由的单调性和值域知：存在唯一，使，且满足：当时，，则在上为减函数；当时，，则在上为增函数；所以，，所以，与矛盾，不合题意；③当时，由（1）知在上单调递增，所以，不满足题意；综上所述：实数的取值范围．【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解．22．(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程(2) 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标转化公式求直角坐标方程，消参可得直线普通方程；（2）根据抛物线方程设出点的坐标，由点到直线距离公式配方后求最值.【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，所以，所以．由消去得．故曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程．（2）设曲线上任意一点，则到直线的距离为．所以当时，．23．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）分情况去绝对值符号进行求解；（2）用分析法证明.【详解】（1）解：当时，，解得．当时，，解得．当时，，解得．综上，的解集为．（2）证明：由（1）知，所以，要证．只需证，即．只需证，即．由，得．故原不等式成立．