广东省湛江市第二十一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.设，其中为实数，则（）
A. B. C. D.
3．的展开式中常数项是（）
A． B． C． D．
4.曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为( )
A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3
5.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是( )
A．x＝－2是函数y＝f(x)的极大值点
B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点
C．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值
D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
6.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
7．若，，则（）
A． B．
C． D．
8.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）
A．B．
C．D．
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列给出的式子中正确的有（）.
A． B． C． D．
10．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）
A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
11.函数的图象以中心对称，则（）
A. 在单调递减 B. 在有2个极值点
C. 直线是一条对称轴 D. 直线是一条切线
12．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）
A．、为对立事件B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从甲、乙等6名同学中随机选4名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的
情况有______种
14．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则数列{an}的通项公式为
an＝_________．
16. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为
右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆
的离心率为___________．
解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（10分）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
已知a1＝b1＝1，b4＝64，q ＝2d.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝a2n－1＋b2n，求数列{cn}的前n项和Sn.
18.（12分）三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．(1)求角C； (2)若点E满足，求的长．
19.（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求：
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望．
20.（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．
(1)求证：C1M⊥B1D；
(2)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
21.（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
22.（12分）已知函数f(x)＝ax ln x＋b(a，b为实数)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)求实数a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝ eq \f(f（x）＋1,x) ，证明：当g(x1)＝g(x2)(x12.