黑龙江省哈尔滨市2020年中考数学试卷【含答案】

黑龙江省哈尔滨市2020年中考数学试卷

一、单选题

1．-8的倒数是（　　）  

A． B．-8 C．8 D．

2．下列运算一定正确的是（　　）  

A． B．

C． D．

3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）  

A． B．

C． D．

4．五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（　　） 

A． B． C． D．

5．如图 是 直径，点A为切点， 交 于点C，点D在 上，连接 ，若 ，则 的度数为（　　） 

A． B． C． D．

6．将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（　　）  

A． B．

C． D．

7．如图，在 中， ，垂足为D， 与 关于直线AD对称，点的B对称点是 ，则 的度数是（　　）

A． B． C． D．

8．方程 的解是（　　）  

A． B． C． D．

9．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（　　）  

A． B． C． D．

10．如图，在 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 ，交AD于点F，过点E作 ，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．将数4790000用科学记数法表示为　          　．

12．在函数 中，自变量x的取值范围是　     　．  

13．已知反比例函数 的图像经过点 ，则k的值是　     　．  

14．计算： 的结果是　     　．  

15．把多项式 分解因式的结果是　        　．  

16．抛物线 的顶点坐标为　     　．  

17．不等式 的解集为　     　．  

18．一个扇形的面积为 ，半径为6cm，则扇形的圆心角是　     　度．

19．在 中， ， 为BC边上的高， ，则BC的长为　     　．  

20．如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若 ， ， ,则线段AE的长为　     　．

三、解答题

21．先化简，再求代数式 的值，其中

22．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出以AB为边的正方形 ，点E和点F均在小正方形的顶点上；  

（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形 ，点G在小正方形的顶点上，且 的周长为 ，连接EG，请直接写出线段EG的长．  

23．为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢的哪一类？的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的 ，请你根据图中提供的信息回答下列问题： 

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生；  

（2）请通过计算补全条形统计图；  

（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．  

24．已知，在 中， ，点D，点E在BC上， ,连接 ． 

（1）如图1，求证： ；  

（2）如图2，当 时，过点B作 ，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．  

25．昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元．

（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；  

（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪．  

26．已知 是 的外接圆，AD为 的直径， ，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F． 

（1）如图1，求证： ；  

（2）如图2，过点D作 ，交 于点G，点H为GD的中点，连接OH，求证： ；  

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若 的面积为 ，求线段CG的长．  

27．已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，  ，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为 ，过点C作 轴，垂足为 ． 

（1）如图1，求直线 的解析式；  

（2）如图2，点N在线段 上，连接ON，点P在线段ON上，过P点作 轴，垂足为D，交OC于点E，若 ，求 的值；  

（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若 ，求点P的坐标．  

1．A

2．C

3．B

4．C

5．B

6．D

7．A

8．D

9．A

10．C

11．

12．x≠7

13．﹣12

14．

15．

16．(1，8)

17．x≤-3

18．130

19．7或5

20．

21．解：原式

，

∵ ，

∴

，

∴原式

．

22．（1）解：如图所示，正方形ABEF即为所求； 

（2）解：如图所示，△CDG即为所求， 

由勾股定理，得EG= .

23．（1）解：15÷30%＝50（名）， 

答：本次调查共抽取了50名学生；

（2）解：50﹣15﹣20﹣5＝10（名）， 

补全条形统计图如图所示：

（3）解：800× ＝320（名），  

答：估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有320名．

24．（1）证明：如图1， 

，

，

在 和 中，

，

∴ （SAS），

∴ ；

（2）解：顶角为45°的等腰三角形有以下四个： 、 、 、 ．  

 证明：∵ ， ，

∴ ， ，

∵ ， ，即： 是等腰三角形， ；

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 、 即： 、 是等腰三角形， ，

∵

∴∠DBF=∠C=45°， ，

又∵ ，

∴ ，

∴ 、即： 是等腰三角形， ．

25．（1）解：设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元， 

由题意可得 ，

解得： ，

答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；

（2）解：设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个， 

根据题意得52m+28(30-m)≤960

解得m≤5

∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪．

26．（1）证明：∵AD为 的直径， ，  

∴ ，BE=CE，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=2∠CAD，

∵∠BOD=∠AOF，

∴∠AOF=2∠CAD，

∵∠BFC=∠AOF+∠CAD，

∴∠BFC=2∠CAD+∠CAD=3∠CAD；

（2）解：连接OG， 

∵点H为GD的中点，OG=OD，

∴DH=GH，OH⊥DG，

∵AD⊥BC，

∴∠AEB=∠OHD=90°，

∵DG∥BF，

∴∠BOH=∠OHD=90°，

即∠DOH+∠BOD=90°，

∵∠BOD+∠OBE=90°，

∴∠OBE=∠DOH，

又∵OB=OD，

∴△OBE≌△DOH，

∴BE=OH；

（3）解：如图，连接AG，过A点作AM⊥CG于点M，过F点作FN⊥AD于点N， 

由（2）可知DH=OE，

∵DG=2DH=2OE，DG=DE，

∴DE=2OE，

设OE=m，则DE=2m，

∴OB=OD=OA=3m，

∴AE=4m，

在Rt△OBE中，BE= = ，

∴CE=BE= ，tan∠BOE= = = ，tan∠EAC= = = ，

∵tan∠AOF=tan∠BOE= ，

∴ = ，

设ON=a，则NF= a，

∴tan∠EAC= ，

∴AN=4a，

∵AN+NO=AO，

∴4a+a=3m，

∴a= m，

∴FN= × m= m，

∵S△AOF= ·OA·FN= ，

∴ ·3m· m= ，

∴m2=1，

∴m=±1，

∵m>0，

∴m=1，

∴DH=1，OD=3，由（2）得BE=CE=OH= ，AE=4，

在Rt△AEC中AC = ，

∵OD=OA，DH=HG，

∴AG=2OH= ，

∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°，

∴∠ADG=∠ACM，

∴cos∠ADG=cos∠ACM，

∴ ，

∴ ，

∴CM= ，

在Rt△ACM中，AM= = ，

在Rt△AGM中，GM= = ，

∴CG=GM-CM= ．

27．（1）解：∵CM⊥y轴，OM=9， 

∴当y=9时， ，解得：x=12，

∴C（12,9），

∵CA⊥x轴，则A（12,0），

∴OB=OA=12，则B（0，-12），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴ ；

（2）解：由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°， 

∴四边形MOAC为矩形，

∴MC=OA=12，

∵NC=OM，

∴NC=9，则MN=MC-NC=3，

∴N（3,9）

设直线ON的解析式为 ，

将N（3，9）代入得： ，解得： ，

∴y=3x，

设P（a，3a）

∵PD⊥x轴交OC于点E，交x轴于点D，

∴ ， ，

∴PE= ，OD=a，

∴ ；

（3）解：如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T， 

∵GF∥x轴，

∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR，

∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，

则四边形OSRA为矩形，

∴OS=AR，SR=OA=12，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，

∴∠FAR=∠AFR，

∴FR=AR=OS，

∵QF⊥OF，

∴∠OFQ=90°，

∴∠OFS+∠QFR=90°，

∵∠SOF+∠OFS=90°，

∴∠SOF=∠QFR，

∴△OFS≌△FQR，

∴SF=QR，

∵∠SFB=∠AFR=45°，

∴∠SBF=∠SFB，

∴BS=SF=QR，

∵∠SGB=∠RGQ，

∴△BSG≌△QRG，

∴SG=RG=6，

设FR=m，则AR=m，

∴QR=SF=12-m，

∴AF= ，

∵ ，

∴GQ= ，

∵QG2=GR2+QR2，即 ，解得：m=4，

∴FS=8，AR=4，

∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，

∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，

∴四边形OSFT为矩形，

∴OT=FS=8，

∵∠DHE=∠DPH，

∴tan∠DHE=tan∠DPH，

∴ ，

由（2）可知，DE= ，PD=3a，

∴ ，解得：DH= ，

∴tan∠PHD= ，

∵∠PHD=∠FHT，

∴tan∠FHT= ，

∴HT=2，

∵OT=OD+DH+HT，

∴ ，

∴a= ，

∴