2023年湖北省恩施州鹤峰县中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省恩施州鹤峰县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我县人口约为人，用科学记数法可表示为(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是某公园的进口，，，是三个不同的出口，小明从处进入公园，那么从，，三个出口中恰好在出口出来的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图所示，直线、、、的位置如图所示，若，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  函数中自变量的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是一个正方体的展开图，则原正方体“数”字的对面的字是(    )

A. 核
B. 心
C. 素
D. 养

10.  右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

11.  如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线：在轴下方的图象沿轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线在轴上方的图象记为，已知直线：与图象有两个公共点，求的取值范围甲同学的结果是，乙同学的结果是下列说法正确的是(    )
 

A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确
C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  一个正数的平方根分别是和，则这个正数为______．

14.  分解因式：          ．

15.  如图，在中，，，，以为直径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为______ ．

16.  观察下列各等式：
第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：
根据上述等式反映出的规律直接写出第四个等式为______；猜想第个等式用含的代数式表示为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在等边中，线段为边上的中线动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接．
填空： ______ 度；
若点在线段上时，求证：≌；

19.  本小题分
在精准扶贫政策的扶持下，贫困户老李今年试种的百香果获得大丰收，共收获千克．扶贫小组帮助他将百香果按照品质从高到低分成，，，，五个等级，并根据数据绘制了如下的扇形统计图和频数分布表：

请根据图表信息解答下列问题：
______；______；______；
求扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数；
为了帮助贫困户老李销售百香果，扶贫小组联系了甲、乙两位经销商．他们分别给出如下收购方案：
甲：全部按元千克收购；
乙：按等级收购：等级单价为元千克，每提高一个等级单价提高元千克，剩下的，两个等级单价均为元千克．
请你通过计算，判断哪个经销商的方案使老李盈利更多．

20.  本小题分
某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过即，交通管理部门在离该公路处设置了一速度检测点，在如图所示的坐标系中，位于轴上，测速路段在轴上，点在的北偏西方向上，点在点的北偏东方向上．
在图中直接标出表示和的角；
写出点、点坐标；
一辆汽车从点匀速行驶到点所用时间为请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？本小问中取

21.  本小题分
如图，为坐标原点，点和点均在反比例函数图象上
求，的值；
当满足什么条件时，；
为轴上一点，若的面积是面积的倍，直接写出点的坐标．

22.  本小题分

随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买型和型新能源公交车共辆，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元，

求购买型和型公交车每辆各需多少万元？

预计在该条线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．若该公司购买型和型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？

23.  本小题分
如图，已知是圆的直径，线段，是上的任意一点，与圆相切于点，连接与圆相交于点，是上一点，，垂直于并与的延长线交于点．
当点处于图中的位置时，与圆相切于点，求证：≌；
当点处于图中的位置时，：：，求角的大小；
图中，若，与的距离为，那么的面积与点的位置有没有关系，请说明理由．
 

24.  本小题分
如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为抛物线经过点、，与交于点．
求抛物线的函数解析式；
点为线段上一个动点不与点重合，点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．
求关于的函数表达式；
当最大时，在抛物线的对称轴上，若存在点，使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
或，
故选：．
通过可得、异号，再由，，可得，或者，；就可以得到的值
本题主要考查了绝对值的运算，先根据题意确定绝对值符号中数的正负再计算结果，比较简单．
 

2.【答案】 

【解析】解：人用科学记数法可表示为人．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意，
故选：．
原式各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：小明从处进入公园，那么从，，三个出口出来共有种等可能结果，
其中从出口出来是其中一种结果，
恰好在出口出来的概率为，
故选：．
直接利用概率公式可得答案．
本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示，，，
，
，
又，
，
，
故选：．
先依据同位角相等，判定，再根据平行线的性质，即可得出．
本题考查了平行线的判定和性质的应用，能求出是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
   根据分母不等于，可以求出的范围．
【解答】
解：由题意知，
则，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：不等式整理得：，
由不等式组的解集为，
得到的范围是，
故选：．
不等式整理后，由已知解集确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：“数”与“养”是相对面，
“学”与“核”是相对面，
“素”与“心”是相对面；
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可．
本题考查了正方体的表面展开图，明确正方体表面展开图的特点是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设洗发水的原价为元，由题意得：
，
解得：
故选：。
设出洗发水的原价是元，直接得出有关原价的一元一次方程，再进行求解。
此题主要考查了一元一次方程的应用中打折问题，设出原价即可列出有关方程。
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，又，
∽，
，，
，即，
解得，，
，
解得，，
，
故选：．
证明∽，根据相似三角形的性质求出、，根据勾股定理求出．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，解得，
将点，代入直线，得，；
，
翻折后的抛物线的解析式为，
由，消去得到，
当时，，解得：，
当时，直线与图象有两个公共点，
综上所述，或时直线与图象有两个公共点．
故选：．
当直线过抛物线与轴的右侧交点时，恰有一个交点；直线向上平移，在经过左侧交点之前均为两个交点；此时；继续向上平移，直到翻折后得到的图象与直线：只有一个交点时，，则当时，直线与图象有两个公共点，则可得到的范围．
本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
直接利用平方根的定义得出，进而求出的值，即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得：，
解得：，
正数，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，过作于，
则由垂径定理得：，
在中，，，，
，
由勾股定理得：，
即，
在中，，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
为圆的直径，
，
在中，由勾股定理得：，
阴影部分的面积

，
故答案为：．
连接、，过作于，求出和的度数，求出不记得长度，再求出阴影部分的面积即可．
本题考查了圆周角定理和扇形的面积公式等知识点，本题的关键是从图中的图形关系看出阴影部分的面积可以简化成一个三角形的面积，然后通过已知条件求出面积．
 

16.【答案】  

【解析】解：观察规律第四个等式为：

根据规律，每个等式左侧分母恒为，分子前两项分别是，
则第个等式为：
故答案为：，
比较每个对应项找到变化规律即可．
本题为规律探究题，考查了整式的计算知识．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
 

18.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
．
线段为边上的中线，
，
．
故答案为：；
证明：与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
≌．
根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出≌．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质并确定出全等三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，；
扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数是：，
即扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数是；
甲方案：元，
乙方案：元，
因为，
所以老李应选择乙经销商方案盈利更多． 

【解析】解：，，，
故答案为：，，；
见答案．
根据题意和扇形统计图中的数据，可以分别求得、、的值；
根据频数分布表中的数据可以求得扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数；
根据题意可以分别计算出两种方案下卖的总钱数，然后比较大小即可解答本题．
本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：如图所示，，；

在直角三角形中，，度，
，
点的坐标是；
是等腰直角三角形，
，
的坐标是；

．
．
，
该汽车在这段限速路上超速了． 

【解析】根据方向角的定义即可表示和的角；
已知，求、的坐标就是求、的长度，可以转化为解直角三角形；
先求出的长，除以时间就得到汽车的速度，再与即比较就可以判断是否超速．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

21.【答案】解：点和点均在反比例函数图象上，
，；

，是直线与反比例函数的交点，
观察图象可知：或时，；

设，
直线交轴于，
，
解得或，
或； 

【解析】利用待定系数法即可解决问题；
观察图象直线的图象在反比例函数的图象的上方时，对应的自变量的取值范围就是不等式的解集；
构建方程即可解决问题；
本题考查反比例函数系数的几何意义，一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 
解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，
由题意得：
解得
答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元．
设购买型公交车辆，则型公交车辆，
由题意得
解得：，
因为是整数，
所以，；
则共有两种购买方案：
购买型公交车辆，则型公交车辆：万元；
购买型公交车辆，则型公交车辆：万元；
购买型公交车辆，型公交车辆费用最少，最少总费用为万元． 

【解析】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“型公交车辆，型公交车辆，共需万元；型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题；
设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“购买型和型公交车的总费用不超过万元”和“辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
 

23.【答案】证明：F、都是圆的切线，
，
又，
；
，
，
≌．

解：连接，则；
，且：：，
：：，即，；
设，则，；
在中，：：：，
，
．

解：当与圆相切时，由可知：≌，
此时；

当与圆相交时，设与圆的另一个交点为，连接，；
由可得：：：：，
由切线长定理：，
得：：：，
：：，
，
，
，
由于点在平行于的直线上运动，因此的面积为定值，且；
故的面积与的位置无关，且恒为． 

【解析】由于F、都是圆的切线，由切线长定理知：，由此可得，再加上公共角E、一组直角，即可证得所求的三角形全等．
连接，则，已知：：，即：：，由此可求得，；首先用未知数表示出C、的长，在中，根据的度数可表示出的值，进而可在中，根据、的值求出的度数，由此得解．
此题应分两种情况讨论：
如图的情况，即与圆相切，此时≌，因此的面积等于的面积；
如图、的情况，即与圆相交，设与圆的另一个交点为，连接、，由可得：：：：，
由切线长定理：，由于点在直线上运动，所以的面积是不变的，因此的面积也不变，即与的位置无关．
此题主要考查了切线的性质、相似三角形以及全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法等知识，难度较大．
 

24.【答案】解：将、两点坐标代入抛物线，得
，
解得：，
抛物线的解析式为；

，，
，
过点作与点，则，
，
，
；

，
当时，取最大值；
在抛物线对称轴上存在点，使为直角三角形，
抛物线的解析式为的对称轴为，
的坐标为，，
当时，，
当时，则，
当时，设，
则，
即，
解得：，
，，
满足条件的点共有四个，坐标分别为
，，， 

【解析】将、两点坐标代入抛物线，即可求得抛物线的解析式；
先用表示出的长度，进而求出三角形的面积关于的函数；
直接写出满足条件的点的坐标即可，注意不要漏写．
本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．