湖北省武汉市武昌区2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试卷Word版含答案

武昌区2023届高三年级5月质量检测

数学

本试卷共6页，共22题．满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（    ）．

A．1 B． C．2 D．

3．已知不重合的平面，及不重合的直线m，n，则（    ）．

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

4．把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减（例如：1，3，5，4，2）的数列的个数是（    ）．

A．6 B．10 C．14 D．20

5．如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）．

A． B． C．3 D．9

6．已知，，，则（    ）．

A． B． C． D．

7．已知，分别为双曲线的左，右焦点，直线l过点，且与双曲线右支交于A，B两点，O为坐标原点，，的内切圆的圆心分别为，，则面积的取值范围是（    ）．

A．  B．

C． D．

8．设，，，，则a，b，c，d间的大小关系为（    ）．

A．  B．

C．  D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ）．

A．若数列为等差数列，则恒成立

B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列

C．若数列为等比数列，且，，则

D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列

10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与圆心在坐标原点，半径为2的圆交于点，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交该圆于点B，记点B的纵坐标y关于的函数为．则下列说法正确的是（    ）．

A．

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的单调递增区间为

D．若，，则

11．如图，已知正方体的棱长为2，P为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ）．

A．三棱锥的体积为定值

B．存在点P，使得

C．若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为

D．若点P是的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为

12．已知非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（    ）．

A．  B．

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知点，，动点M满足，则点M到直线的距离可以是__________．（写出一个符合题意的整数值）

14．已知函数，，则函数的最小值为__________．

15．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图（1）．卡塔尔世界杯球形金碗，它可以看成半球的一部分，若金碗碗口的直径为8，高为2，其直观图如图（2）所示，则利用祖暅原理可求得该球形金碗的体积为__________．

16．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接．若，则的最小值为__________．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

（1）求；

（2）若，求的面积．

18．（12分）记为数列的前n项和，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．

（ⅰ）求数列的通项公式；

（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．

19．（12分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．

（1）证明：；

（2）点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．

20．（12分）某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确．评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分．设此题正确答案为2个选项的概率为．已知该考生随机选择若干个（至少一个）．

（1）若，该考生随机选择2个选项，求得分X的分布列及数学期望；

（2）为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下三种方案中选一种，并说明理由．

方案一：随机选择一个选项；

方案二：随机选择两个选项；

方案三：随机选择三个选项．

21．（12分）已知椭圆过点，左焦点为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线，分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线，交于点N，求证：直线的斜率为定值．

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）求证：．

武昌区2023届高三年级5月质量检测

数学参考答案及评分细则

选择题：

填空题：

13．0或1     14．     15．     16．

解答题：

17．（10分）

解：因为，所以，

又因为，所以，故，

所以．（5分）

（2）由正弦定理可知：，

代入已知条件得，解得，

所以的面积为．（10分）

18．（12分）

解：（1）因为，所以，

所以，

整理得．

又因为，所以当时，，

所以，当时，不满足．

所以，．（4分）

（2）（ⅰ）设数列的公差为．

因为，，成等比数列，且，，，

所以，即．

又因为，所以．

所以数列的通项公式为，．（8分）

（ⅱ）．证明如下：

由（ⅰ）知，，，

所以．

当时，；

当时，

，

综上：，．（12分）

19．（12分）

（1）证明证明：在中，设，

因为，

由余弦定理可知：，解得．

所以，所以．

又因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面．（4分）

（2）连交于点M，连接，，设交于点H．

在中，过P作直线直线交的延长线于N，

易得：，

所以点H为线段中点．

在中，因为直线平面，平面平面，

所以直线直线，且直线过点H，

所以点E为线段中点．

以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设．

则，，，．

因为点E为线段中点，所以，

由，得．

设平面（平面）的法向量为，

因为，，

由，得，

令，则．

设平面（平面）的法向量为，

因为，，

由，得．

令，则．

所以，所以二面角的余弦值为0．（12分）

20．（12分）

解：设多选题正确答案是“选两项”为事件，正确答案是“选三项”为事件，

则．

考生得0分，2分，5分为事件，，，，．

（1）当时，，则

正确答案是“选两项”时，考生选2项，全对得5分，有选错得0分；

正确答案是“选三项”时，考生选2项，选出了2个正确选项得2分，有选错得0分．

因为，

所以

．

因为，

所以

，

．

所以，得分X的分布列为：

得分X的数学期望．（4分）

（2）方案一：随机选择一个选项

正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；

正确答案是“选三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分．

因为，

所以

．

因为，

所以

所以，随机选择一个选项得分的数学期望．

方案二：随机选择两个选项；

，

，

．

所以，随机选择两个选项得分的数学期望．

方案三：随机选择三个选项．

正确答案是“选两项”时，考生选3项，得0分；

正确答案是“选三项”时，考生选3项，选对得5分，有选错得0分．

，

，

所以，随机选择三个选项得分的数学期望．

因为，

．

所以选择方案一．（12分）

21．（12分）

解：（1）由已知得，解得，．

即椭圆C的方程为．（4分）

（2）由，得，．

设，，

则，

同理．

设，，则

由直线过点得：．    ①

由直线过点N得：．     ②

①×②得：．    ③

同理，由直线过点M得：．    ④

由直线过点N得：．    ⑤

③×④得：．    ⑥

③－⑥得：，进而．

所以直线的斜率为定值．（12分）

22．（12分）

解：（1）因为，

所以，

①当时，，所以函数在上单调递减；

②当时，由得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

综上：当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（4分）

（2）（ⅰ）方程可化为，

即．

令．

因为函数在上单调递增，结合题意，关于t的方程（*）有两个不等的实根．

又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为．

令，则．

易得函数在和上单调递减，在上单调递增．

结合函数的图象可知，实数a的取值范围是．（8分） 

（ⅱ）要证，只需证．

因为，所以只需证．

由（ⅰ）知，不妨设．

因为，所以，即，．

所以只需证，即只需证．

令，只需证．

令，，则，

所以在上单调递增，

故，即在上恒成立．

所以原不等式得证．（12分）