黑龙江省2022-2023学年高三上学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

黑龙江省2022-2023学年高三上学期第二次模拟考试

数学试卷

一、单选题

1．已知集合，若，则a的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

2．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．给出如下几个结论:

①命题“”的否定是“”;

②命题“”的否定是“”;

③对于;

④，使.

其中正确的是（   ）

A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④

4．已知、为正实数，，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．

5．函数的大致图象是（   ）

A． B．

C． D．

6．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）

A． B．

C．或 D．

7．若，，，则（   ）

A． B．

C． D．

8．已知函数是定义在上的函数,.若对任意的,且有,则不等式的解集为

A． B． C． D．

9．已知，且，则下列结论正确的是（   ）

A． B．

C． D．

10．已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（    ）

A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称

C．在上单调递增 D．在上单调递增

11．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数若函数有三个零点，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若对恒成立，则实数a的取值范围为___.

14．已知实数，函数，若，则a的值为________

15．已知，则的值为______．

三、双空题

16．若函数的导数存在导数，记的导数为.如对任意，都有成立，则有如下性质：.其中，，，…，.若，则___________；根据上述性质推断：当且时，的最大值为___________.

四、解答题

17．已知幂函数在上为减函数.

(1)试求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.

18．已知函数.

（1）当时，讨论函数的零点存在情况；

（2）当时，证明：当时，.

19．已知函数.

（1）求的最小正周期和最大值；

（2）讨论在上的单调性.

20．已知函数．

求在区间上的最大值和最小值；

若，求的值．

21．已知函数.

(1)当时，试写出函数的单调区间；

(2)当时，求函数在上的最大值.

22．已知函数.

(1)若，判断函数的单调性；

(2)证明：.

参考答案

1．C

【详解】，，，即，

则实数a的取值范围是，

故选:C.

2．C

【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.

【详解】 时，, 为偶函数；

为偶函数时，对任意的恒成立，

，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.

【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

3．B

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，

知①不正确，

命题“”的否定是“或 ”,故②不正确；

因为，

当且仅当即 时取等号，③正确；

由，比如时,,

故，使，④正确，

故选：B

4．D

【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】由已知条件可得.

当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值是.

故选：D.

5．D

【分析】判断函数的奇偶性可排除B，C；利用特殊值可判断A,D,即得答案.

【详解】因为函数的定义域为 ，且

故是偶函数，排除选项B，C；

当时，，对应点在第四象限，故排除A，

故选：D.

6．A

【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.

【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，

所以解得：.

故选：A.

7．D

【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c的范围，即可比较大小，可得答案.

【详解】由函数为增函数可知，

由为增函数可得，由由为增函数可得，

，

，

故选:D

8．C

【解析】因为等式可化为,即,令函数,根据函数是上的增函数,即可求得答案.

【详解】 不等式可化为

即

令函数,由

可得,结合

函数是上的增函数

又

不等式

,即

不等式的解集为:.

故选:C.

【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题.

9．A

【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简，由此得出正确结论.

【详解】有，得，，，由于，所以，故选A.

【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题.

10．C

【分析】根据函数图象相邻的最高点之间的距离为，得到，易得.将函数的图象向左平移个单位长度后，可得，再根据是奇函数，得到，然后逐项验证即可.

【详解】因为函数图象相邻的最高点之间的距离为，

所以其最小正周期为，则.

所以.

将函数的图象向左平移个单位长度后，

可得的图象，

又因为是奇函数，令，

所以.又，

所以.

故.

当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；

当时，，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；

在上，，单调递增，故C正确；

在上，，单调递减，故D错误.

故选：C

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11．A

【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.

【详解】根据函数的图象，可得，可得，

所以，

又由，可得，即，

解得，

因为，所以.

故选：A.

12．C

【分析】将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围.

【详解】由题意，与图象有三个交点，

当时，，则，

∴在上，递增，在上，递减，

∴时，有最大值，且在上，在上.

当时，单调递增，

∴图象如下

∴由图知：要使函数有三个零点，则.

故选：C.

13．

【分析】根据一元二次不等式对恒成立，可得 ，即可求得答案.

【详解】对恒成立，,

故答案为：

14．

【解析】分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.

【详解】当时，，所以，

解得，不满足，舍去；

当时，，所以解得，满足.

故答案为：.

【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．

15．

【分析】由已知条件，利用诱导公式化简即可求解.

【详解】解：因为，

所以，

故答案为：.

16．         

【分析】对求导可得，由正弦函数的图象可知成立，

根据函数的性质，即可求得的最大值.

【详解】设，，则，

则，，由于恒成立

故有如下性质：.

则，

∴的最大值为，

故答案为：，.

17．(1)

(2)奇函数，其单调减区间为，

【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可；

（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.

【详解】（1）由题意得，，解得或，

经检验当时，函数在区间上无意义，

所以，则.

（2），要使函数有意义，则，

即定义域为，其关于原点对称.

，

该幂函数为奇函数.

当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，

函数是奇函数，在上也为减函数，

故其单调减区间为，.

18．（1）两个零点；（2）证明见解析.

【分析】(1)将代入可得，求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；

(2)根据已知条件构造函数，证明在时恒成立即可得解.

【详解】(1)当时，，显然，即1是的一个零点，

求导得，在上单调递增，且，

则在上存在唯一零点，当时，，当时，，

因此，函数在上单调递减，在上单调递增，而，，

从而得在上函数存在一个零点，

所以函数存在两个零点；

(2)令，，则，由(1)知在上单调递增，且在上存在唯一零点，即，

当时，单调递减，当时，单调递增，

因此，，即，则，

而，有，于是得，

所以当，时，.

19．（1）最小正周期为，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减.

【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；

（2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性.

【详解】（1）

，

则的最小正周期为，

当，即时，取得最大值为；

（2）当时，，

则当，即时，为增函数；

当时，即时，为减函数，

在单调递增，在单调递减.

【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.

20．（1），；（2）

【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．

由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求；

由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值．

【详解】解：

,

．

,,

,则，；

由,得,

．

．

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．

21．(1)单调递减区间为和，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）当时求出，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；

（2）作出函数的大致图象，数形结合，分类讨论，比较在上的函数值，，的大小关系，即可求得答案.

（1）

当时， ,

所以 ,

当时，，其图象开口向上，对称轴方程为，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，，其图象开口向下，对称轴方程为，

所以在上单调递减.

综上可知，的单调递减区间为和，单调递增区间为.

（2）

由题意知，，作出大致图象如图：

易得，，

所以可判断在上的最大值在，，中取得.

当时，.

当时，在上单调递减，在上单调递增，

又，

所以，若，则；

若，则.

综上可知，在区间上，

.

22．(1)在上，为增函数；在上时，为减函数.

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；

（2）当时，结合（1）可得，整理为，然后构造函数，利用其导数证明结论.

【详解】（1）因为，

所以,

因为，所以在上，

由，解得.

当时，，故在上为增函数；

当时，，在上为减函数.

（2）证明：由（1）知，当时，

在上为增函数，在上为减函数.

因为，

所以，

故，

所以，

所以.

设，

所以在上为减函数.

又，则，所以，

所以.

【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.