冲刺2023年高考数学考点押题模拟预测卷03（新高考全国Ⅰ卷）（解析版）

这是一份冲刺2023年高考数学考点押题模拟预测卷03（新高考全国Ⅰ卷）（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷03一、单选题1．已知集合，，则集合的元素个数为（    ）A．6 B．7C．8 D．9【答案】B【分析】解指数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得集合的元素个数.【解析】由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有个元素.故选：B.【点睛】本小题主要考查指数不等式、分式不等式的解法，考查集合元素的判断，属于基础题.2．设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设是方程的实数根，易知，则，根据复数的几何意义可得，结合基本不等式计算即可求解.【解析】由题意知，设是方程的实数根，则，若，则，等式不成立，所以，有，所以，当且仅当即时等号成立.所以的取值范围为.故选：B.3．已知向量不共线，则“”是“的夹角为钝角”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别对命题的充分性和必要性进行判断即可得到答案.【解析】充分性：因为，向量不共线，所以，即的夹角为钝角，满足充分性.必要性：若的夹角为，，，则，所以不满足，不满足充分性.所以“”是“的夹角为钝角”的充分不必要条件.故选：A4．已知的解集为，则的值为（    ）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】B【分析】由题知为方程的一个根，由韦达定理即可得出答案.【解析】因为的解集为，所以为方程的一个根，所以．故选:B．5．随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（    ）A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件C． D．【答案】C【分析】根据古典概型概率公式可计算得到，知CD正误；由独立事件概率乘法公式验证可知A错误；根据互斥事件定义可知B错误.【解析】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，，，，，，，，，，共种；，C正确；，D错误；，不是相互独立事件，A错误；事件和事件可能同时发生，不是互斥事件，B错误.故选：C.6．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体和三棱锥，从而可得出答案.【解析】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，因为，，所以，即.故选：A.7．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案.【解析】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，则，.故，解得.又，所以，.所以.故选：A.8．已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用求通项公式，判断出数列不单调，只需，即可求得.【解析】因为数列的前项和满足，所以当n=1时，有.不合题意；所以，解得：；当时，.，解得：.设，解得：，可得：，所以是公比为，首项的等比数列，所以，所以.经检验，对n=1也成立.若存在，使得，则数列不单调.只需，则正负项交替出现，符合题意，此时.当时，单调递增，不符合题意；当时，单调递减，不符合题意；而.综上所述：.故选：A 二、多选题9．已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（    ）A．， B．若，则C． D．随机变量满足，则【答案】ABC【分析】根据正态分布的定义求数学期望和方差求解A，再根据正态分布密度曲线的对称性可求解相应的概率求解B,C，再根据变量关系的期望公式可求解D.【解析】因为,所以，，A正确；因为，所以，B正确；因为，所以，C正确；因为，所以，所以,D错误，故选:ABC.10．函数的部分图象如图所示，则（    ）A．B．C．的图象关于点对称D．在区间上单调递增【答案】ACD【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【解析】，，由于，所以，所以A选项正确，B选项错误.，当时，得，所以关于对称，C选项正确，，当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.故选：ACD11．如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（    ）A．CD⊥平面ABC B．AC与BE所成角的大小为 C． D．该六面体外接球的表面积为3π【答案】ACD【分析】利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解.【解析】因为CA＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝，所以，即 又，所以CD⊥平面ABC，故A正确；因为CD⊥平面ABC，如图，建立空间之间坐标系，因为CA＝CB＝CD＝1，所以四面体是正三棱锥，因为AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，所以四面体是正四面体，在正三棱锥中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，同理，在正四面体中，过顶点作底面的垂线，垂足为正三角形的中心，所以，三点共线；因为，因为正三角形的中心，所以，设，因为在正四面体中，，在正三棱锥中，，所以，解得，所以，所以，又，所以，故AC与BE所成角的大小为，故B错误；因为，所以，故C正确；  显然，该六面体外接球的球心位于线段的中点，因为，所以六面体外接球的半径，所以该六面体外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD.12．已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出的坐标可判断A，根据向量数量积的坐标运算判断B,并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C,D.【解析】设，所以，即，同理，，即，也即，B正确；不一定为A错误；正确；正确，故选:BCD. 三、填空题13．已知函数，则__________.【答案】4【分析】根据分段函数的定义求解即可.【解析】由，所以，所以.故答案为：4.14．的展开式中含项的系数为___________.【答案】【分析】利用乘法分配律得到，则来自于的展开式，根据二项式定理即可求解.【解析】，的展开式中项为：，的展开式中没有项，故的展开式中含项的系数为，故答案为：.15．过点作圆的两条切线，切点分别为，则的直线方程为___________.【答案】【分析】根据题意以为圆心，为半径作圆，两圆方程作差即可得直线的方程.【解析】圆的圆心，半径，方程化为一般式方程为，则，以为圆心，为半径作圆，其方程为，方程化为一般式方程为，∵，则是圆与圆的交点，两圆方程作差可得：，∴直线的方程为.故答案为：.16．已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________【答案】2【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得.【解析】因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得. 四、解答题17．已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前n项和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据等比数列基本量的运算可得，，即可得数列的通项公式；（2）由题可得，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得.【解析】（1）设数列的公比为，则，，解得，所以，即的通项公式为；（2）方法一：由题可知，则，，所以，.方法二：，所以18．在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；【解析】（1）已知，由正弦定理可得，，，，， 即，.（2）由（1）知，由，则.设，，，，.19．如图，四边形ABCD是边长为的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，可证明平面，平面，从而证明结论.（2）取的中点，连接，可得,以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,应用向量法求线面角.【解析】（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，∵是的中点，平面,平面,所以平面又是的中点平面,平面,所以平面又平面,, 所以平面平面．（2）取的中点，连接，在菱形中，为正三角形，则  由平面，故以所在直线分别为轴，建立如图示的空间直角坐标系     则∴设平面BDEF的法向量为，即，令则 设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20．随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏APP，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（单位：秒）5078124121137352(1)通过散点图分析，可用模型拟合y与x的关系，试求y与x的经验回归方程；(2)甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少的人获胜（假设甲､乙都能通关），两人约定先胜4局者赢得比赛.已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，若前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率.参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其经验回归直线ŷ=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：，其中.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先对两边取对数，将其转化为线性回归方程，再利用最小二乘法及参考数据即可得解；（2）利用独立事件概率的乘法公式，结合接下去的对局情况求解即可.【解析】（1）令，由，即，，，，，.（2）记“甲最终赢得比赛”为事件，则事件包含三种情况：一是接下去进行两局比赛，甲都赢了；二是接下去进行三局比赛，乙在前两局胜了其中一局，甲赢了剩余两局；三是接下去进行四局比赛，乙在前三局胜了其中两局，甲赢了剩余两局；故，所以甲最终赢得比赛的概率为.21．设函数，.(1)若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值；(2)若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义求解即可；（2）由有两个极值点，可得有两个不等的正根，且，可得，要证：，即证.令证，进而构造函数，再利用导数求解即可；【解析】（1）设与切于，由，则，所以，则，即，令，则，所以在上单调递增，又，所以，所以.（2）解法一：由，所以，因为有两个极值点，，即有两个不等的正根，且，，要证：，即证.不妨设，即证：，即证：，令证令，在上，证毕!解法二：因为，所以，令，则，因为函数有两个极值点，所以，解得.所以，所以的斜率.令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，.不妨设，令，则，所以，即，证毕!【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，通常要分析不等式结构，构造函数求解.本题关键在于分析要证：，即证.令证，进而构造函数，再利用导数求解.22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；(2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．【答案】(1)(2)直线l过定点(，0)【分析】（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，根据M为PQ的中点，利用点差法求解； （2）根据＝，得到APQ是以A为直角顶点的直角三角形，则AP⊥AQ，然后直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在时，将直线方程y＝kx＋m，与双曲线方程－＝1联立，由(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0结合韦达定理求解.【解析】（1）解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，因为P、Q在双曲线上，所以－＝1，－＝1，两式作差得－＝0，即＝，即＝，即k1·k2＝；（2）因为＝，所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ；①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，得t＝或a(舍)，故直线l的方程为x＝；②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入－＝1，得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－；因为AP⊥AQ，所以·＝0，即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，即＝0，即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，所以k＝－或k＝－；当k＝－时，直线l的方程为y＝－x＋m，此时经过A，舍去；当k＝－时，直线l的方程为y＝－ x＋m，恒过定点(，0)，经检验满足题意；综上①②，直线l过定点(，0)．