2023年湖北省黄冈市中考三模数学试卷（含答案）

2023年春季九年级三模考试

数学试题

（考试时间：120分钟  满分：120分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．-2的倒数是（    ）

A．2 B．-2 C．0 D．

2．如图的三视图对应的物体是（    ）

A． B． C． D．

3．中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．1．06

4．下列计算正确的是（    ）

A．  B．

C． D．

5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ）

A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形

C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形

6．某校九年级有9名同学参加“建党一百周年”知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（    ）

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

7．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转60°后得到，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，正方形ABCD内接于，线段MV在对角线BD上运动，若的面积为2π，，则周长的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．要使根式有意义，则a的取值范围是______．

10．如图，，点E在BC上，．若，则的度数是______．

11．如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在上，若，则的长为______．（结果用含有π的式子表示）

12．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为______．

13．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：．若，则______．

14．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的为35°．若无人机的飞行高度AD为42 m，则该建筑的高度BC为______m．（参考数据：，，）．

15．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，表中的点的个数即五边形数；

将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；

观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为______．

16．已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，且．下列四个结论：

①；②若，则；

③若点，在抛物线上，，且，则；

④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是______（填写序号）．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．（5分）计算：．

18．（8分）某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“消防知识竞赛”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．

（1）求A，B奖品的单价；（3分）

（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？（5分）

19．（9分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．

（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是______；（2分）

（2）请补全条形统计图；（2分）

（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是______；（2分）

（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？（3分）

20．（8分）如图，AB、AC分别是的直径和弦，点D为劣弧上一点，弦ED交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．

（1）若，求证：；（4分）

（2）试探究：当点D在劣弧的什么位置时使得，请说明理由．（4分）

21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，面积为1．

（1）求反比例函数的解析式；（3分）

（2）在x轴上求一点P，使的值最大，并求出其最大值和P点坐标．（5分）

22．（10分）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．

（1）求出和时，y与x之间的函数关系式；（2分）

（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000 kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600 kg，且不高于4000 kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润=销售额-成本），

请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（4分）

（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．（4分）

23．（12分）如图1，在中，，，，点，为边AC，BC的中点，连接，将绕点C逆时针旋转．

（1）如图1，当时，______，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为______；（2分）

（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（4分）

（3）在绕点C逆时针旋转过程中，

①的最大值为______；（2分）

②当，，B三点共线时，请求出线段的长（4分）．

24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且，过A点的直线交y轴于点C．

（1）求k、b、c的值；（3分）

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（4分）

（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求的最小值．（5分）

2023年春季九年级三模考试

数学参考答案

1．D  2．D  3．B  4．C  5．D．  6．A  7．B

8．解：的面积为2π，则圆的半径为，则，

由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，

过点C作，且使，

连接交BD于点N，取，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：∵，且，则四边形为平行四边形，

则，故的周长为最小，

则，则的周长的最小值为，

故选：B．

9．．  10．107°  11．．  12．6．

13．解：根据题意得，

，，

或，所以，．

故答案为-3或4．

14．解：∵，，，∴四边形是矩形，∴，

∵ m，∴ m，∵，，∴ m，

∵，，∴，

∴，∴ m，∴（m），

故答案为：102．

15．解：观察表中图形及数字的变化规律可得第n个五边形数可表示为：，

由数表可知前七行数的个数和为：，

∴数表中的第八行从左至右第2个数是第30个五边形数即，

∴把代入得：，

故答案为：1335．

16．解：∵对称轴，∴对称轴在y轴右侧，

∴，∵，∴，故①正确；

当时，对称轴，∴，

当时，，∴，

∴，故②错误；

由题意，抛物线的对称轴直线，，

∵点，在抛物线上，，且，

∴点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离，

∴，故③正确；

设抛物线的解析式为，

方程，

整理得，，

，

∵，，∴，

∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，

故答案为：①③④．

17．解：原式=．

18．解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为元，

由题意得：，解得：，

经检验，是原方程的解，则，

答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；

（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为件，

由题意得：，解得：，

∵m为正整数，

∴m的值为23，24，25，

∴有三种方案：

①购买A种奖品23件，B种奖品77件；

②购买A种奖品24件，B种奖品76件；

③购买A种奖品25件，B种奖品75件．

19．解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：，

故答案为：108°；

（2）这次调查的人数为：（人），

则及格的人数为：（人），补全条形统计图如下：

（3）估计该校“良好”的人数为：（人），

故答案为：510人；

（4）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，

∴抽到两名男生的概率为．

20．证明：连结OC

∵PC=PF，∴∠4=∠5．∵∠4=∠3，所以∠3=∠5．∵OA=OC，∴∠1=∠2

∵PC切于点C，∴OC⊥PC．∴∠1＋∠5=90°．

∴∠2＋∠3=90°．∴∠AHF=90°．即．

（2）D在劣弧的中点时，才能使

连结AE，

∵，∴∠DAF=∠AED，∵∠ADF=∠ADE，∴，

∴，即．

21．解：（1）设点A坐标为，

∵点A在反比例函数图象上，∴，

∵，∴，

∴反比例函数解析式为有．

（2）如图，当点P为直线AB与x轴交点时满足题意，

把代入得，解得，

∴点P坐标为，令，

得，，把代入得，

把代入得，∴点A坐标为，点B坐标为，

∴，∴为最大值．

22．解：（1）当时，设，根据题意可得，，

解得，∴；

当时，设，

根据题意可得，，解得，

∴．

∴y．

（2）根据题意可知，购进甲种产品千克，

∵，

当时，，

∵，

∴当时，w的最大值为（元）；

当时，，

∵，

∴当时，w的最大值为（元），

综上，；

当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．

（3）根据题意可知，降价后，，

当时，w取得最大值，

∴，解得．

∴a的最大值为0.9．

23．解：（1）在中，，

∵∠ACB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2AC=4，

∵是BC的中点，是AC的中点，∴，，∴，

∵∠ACB=60°，∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°，

故答案为2，60°；

（2）（1）中结论仍然成立，证明：延长，相交于点D，如图2，

由旋转知，，，，

∵AC=2，BC=4，∴，，∴，

∴，

∴，，

∴，

∴；

（3）①由题意，AC=2，，，

当点A1落在AC的延长线上时，的面积最大，最大值；

②在图1中，在中，，当点在的延长线上时，如图3，

∵，，B三点共线，

∴，

在中，，

∴；

当点在线段上时，如图4，

同①的方法得，，

∴，

即线段的长为或．

24．解：（1）由AO=2BO=4知，点A、B的坐标分别为、，

设抛物线的表达式为，

则，

则点，

将点A、C的坐标代入并解得：，

即，

故，，；

（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则设点P的坐标为，

①当∠PAC为直角时，如图1，

设抛物线的对称轴交x轴于点H，

则，PH=m，AO=4，，

∵∠PAH+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，

∴∠PAH=∠ACO，

∴，即，

∴，解得：；

故点P的坐标为；

②当∠APC为直角时，如图2，

故点P作x轴的平行线交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，

则，PM=3，，PN=1，

同理可得∠MPA=∠PCN，

∴，即，

解得：，

故点P的坐标为或；

③当∠ACP为直角时，如图3，

同理可得，点P的坐标为；

综上，点P的坐标为或或或；

（3）过点A作直线AN，使∠NAC=30°，过点O作交AC于点M，则点M为所求点，

理由：∠MAN=30°，则，则为最小，

过点O作于点E，则，

由点A、C的坐标得，，

则，则，

在中，，

同理可得，，

在中，，，

则，

则，则的最小值．