安徽省江南十校2023年5月高二年级联考数学模拟试题

安徽省“江南十校”2023年5月高二年级联考

数学模拟试题

考试范围：选择性必修第一册，第二册，第三册

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在某项测试中，测量结果服从正态分布N（1，）（＞0），若，则 （     ）

   A．0.1 　　　　B．0.2 　　　　　　C．0.3 　　　　　　　D．0.4

【答案】B．

【详解】．

2．设，则“”是“直线l1：与直线l2：平行”的（　　）

   A．充分不必要条件   B．必要不充分条件　　  C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】C．

【详解】当时，l1：，l2：，因为，可得两直线平行；若l1与l2平行，则，且，解得，故为充要条件，故选：C．

3．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数

   为9，极差为3，则该组数据的平均数为（    ）

   A. 7.6   　　　　　　B. 7.8   　　　　　　　C.8   　　　　　　D. 8.2

【答案】B．

【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，

又极差为，所以最小数字为，所以这组数据为、、、、，

所以平均数为，故选B．

4．已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（　　）

   A． 　　B． 　　C．2 　　D．4

【答案】C

【详解】由得，，因为，所以，即

，又且，所以，，故选C．

5．若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则

   双曲线C的离心率为（    ）

   A． 　　　　 　　　B．2 　　　　　　 　　C． 　　　　　　　　　D．

【答案】B

【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即．圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到准线的距离，

，解得．故选．

6．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志

   愿者只能选其中一个小区．则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（    ）

   A． 　　　　　　　　B． 　　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．

【答案】B

【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，

再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3，1，1或2，2，1，

当5人被分为3，1，1时，情况数为；当5人被分为时，情况数为；

所以共有．

由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，

当5人被分为3，1，1时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则

共计种，

当5人被分为2，2，1时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，

所以甲不在小区的概率为，故选B．

7．数列满足，，现求得的通项公式为

   ，A，B，若表示不超过的最大整数，则的值为（      ）

   A．43 　　　　　B．44 　　　　　　　C．45 　　　　　　　　　D．46

【答案】D

【详解】由F1＝F2＝1，得，两式相减得，于是解得，，所以，．由递推公式，得F3＝2，F4＝3，所以，所以

，又，所以，所以，故选D．

8．若任意两个不等正实数，，满足，则m的最小值为（    ）

   A． 　　B． 　　　C．        D．

【答案】D

【详解】因为对任意两个不等正实数，，满足，

不妨令，则，所以，

即，所以，

令，则，即在上单调递减，

由，当时，，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即的最小值为．故选D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（    ）

   A．  B．

   C．的最大值为 D．的前10项和为

【答案】BCD

【详解】等差数列的公差为d，则由，，得，，所以．

所以，，，

所以A不正确，B正确；又，当时，最大，故C正确；对于D，，所以

，D正确，故选BCD．

10．已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则

    （    ）

    A． B．的一个周期是4 　　　C．是偶函数 　　D．

【答案】BC

【详解】因为函数是奇函数，，所以，

所以，即：，故的周期为4，

所以，故的一个周期为4，故B项正确；

，故A项错误；

因为函数是奇函数，所以，

所以，即：，所以为偶函数，故C项正确；

因为，所以，

令，可得，解得：，故D项错误．故选BC.

11．已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，

    其中点A在第一象限，若，则下列说法正确的是（    ）

   A．   　 B．      C．     D．以AF为直径的圆与轴相切

【答案】BD

【详解】数形结合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得，

故错误；由图知为钝角知错误，故选：.

12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为棱D1C1的中点，N为棱CC1上的点，且CN＝a（0

    ＜a＜2），则（    ）

   A．当时，AM∥平面BDN

   B．当时，点C到平面BDN的距离为

   C．当时，三棱锥A－BCN外接球的表面积为

   D．对任意，直线AM与BN都是异面直线

【答案】BCD

【详解】如图，建立空间直角坐标系，

对于A，，

则，

设平面的法向量为，

则，令，则，

所以，所以与不垂直，所以与平面不平行，所以A错误，

对于B，，设平面的法向量为，则

，令，则，

所以点C到平面BDN的距离为，所以B正确，

对于C，连接交于，过作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，设三棱锥外接球的半径为，

则，所以三棱锥外接球的表面积为，所以C正确，

对于D，对任意，因为在平面内，点在平面外，且直线与平面交于点，直线不经过点，

所以直线与都是异面直线，所以D正确，故选BCD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．

13．已知空间向量＝（－2，1，m），＝（1，－1，2），＝（－1，2，），若，，共面，则      ．

【答案】－6

【详解】若，，共面，则存在实数x，y，使，

即（－1，2，）＝x（－2，1，m）＋y（1，－1，2）＝（，，），

所以，解得，，．所以．

14．某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙

   不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．

【答案】14

【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为．综上，不同的安排种数为14．

15．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且倾斜角为直线l与该双曲线交

于M，N两点（点M位于第一象限），△MF1F2的内切圆半径为R1，△NF1F2的内切圆半径为R2，则

为___________.

【答案】

【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，

设，，，设的内切圆为圆，

由双曲线的定义可得，得，

由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，

过圆心作的垂线，垂足为，

因为，所以，

∴，即，∴，即．

故答案为：.

16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立.为确

   保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000

   次，但实际上在检测时都是随机地按人一组分组，然后将各组个人的检测样本混合再检

   测.如果混合样本呈阴性，说明这个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈

   阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当检测次数最少时的值为__________.

   参考数据：，

   ．

【答案】4

【详解】设每个人检测总人数为X，若混合为阴性，则；若混合为阳性，则．

则，，

，

故当最小时，检测次数最少．

当时，；当时，；当时，；当时，

；当时，；当时，；当时，；当时，，当时，．故当当时，最小．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：

   （1）所有二项式系数之和．

   （2）系数绝对值最大的项．

【答案】（1）    （2）

【详解】（1）因为展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，

所以且，解得，

所以展开式的二项式系数之和为；

（2）展开式的通项为，

设展开式第项的系数的绝对值最大，

则，解得，又因，所以，

所以展开式中，系数绝对值最大的项为．

18．在①2，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，

   并作答．问题：设数列的前项和为，且__________．

   （1）求的通项公式；

   （2）若，求数列的前项和．

   注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）  （2）

【详解】（1）选①，因为，所以，

所以，所以，

则.

因为满足上式，所以.

选②，因为，所以，

所以.

因为满足上式，所以，

则，因为满足上式，所以.

（2）由（1）可得，则

19．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，

   AC＝4，BE＝．

（1）在线段AC上是否存在点F，使得BF∥平面ADE?说明理由；

（2）求平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的正切值．

【答案】（1）存在，理由见解析    （2）

【解析】（1）记AC中点为M，连结DM，△ACD为正三角形，AC＝4,

则DM⊥AC，且.

因为平面平面 ，平面平面，

平面ACD,

所以DM⊥平面ABC，又因平面，

所以.

延长交于点G，则为平面与平面的交线，

因为，故，所以B为的中点，

取中点F，连结，则，因为平面 ，平面，

所以平面.

即线段上存在点F，当时，平面.

（2）连结，则为平面与平面的交线，

在平面内，过点B作的垂线，垂足为H，连结，

因为平面，平面，故,

平面，故平面，

平面，故,

则为平面与平面所成的二面角的平面角.

△ABC为正三角形，，故，则,

且,

故在△GBC中，，

故，而，

故,又因为，

所以，

即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.

20．地球上生命体内都存在生物钟.研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体

   征状况,控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER．PER分为PERI（导致早起倾向）和PERo （导

　 致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.

   以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的Sd指标：

   长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重．

   （1）从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；

   （2）若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组,，试

   依据小概率值的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关?

   附:（其中）．

【答案】（1）X的分布列为

   ；

（2）GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况无关．

【详解】（1）由题意得，X的可能取值有0，1，2，3，所以

，，，，

所以X的分布率为

所以X的数学期望．

（2）由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表：

零假设为：H0：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系．

利用列联表中的数据得，，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为实验

鼠体征状况与GRPE蛋白干预没无关．

21．已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）．

【详解】（1）由题意椭圆的上、下顶点分别为，

故，点在上，故，

又，即，

即，解得，结合可得，故椭圆的标准方程为.

（2）由题意知直线斜率存在，故设为k，

则直线的方程为，联立，

可得，

由题意知该方程有一根为，设，

则，

则，

因为直线与的斜率互为相反数，设，故以代换,

可得，，

由题意可得，故，

所以直线的斜率为，

即直线的斜率为，则设其方程为，联立，

可得，需满足，

则 ，故,

原点O到直线的距离为，

故的面积为，

当，即时，的面积取到最大值，此时直线的方程.

22．已知函数（）．

   （1）若不等式≥0在上恒成立，求实数a的取值范围；

   （2）若＞0，求证：．

【答案】（1）（，1］；（2）证明见解析．

【详解】（1）由题意知，，

令，则≥0，所以在［0，）上单调递增，

即在［0，）上单调递增．

当时，，所以在［0，）上单调递增，

所以，符合题意．

当时，．

令，则，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以．

所以，又在［0，）上单调递增，

所以，使得，

所以在（0，x0）上单调递减，在（x0，）上单调递增，

所以，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是（，1］．

（2）证明：由（1）得，当时，时，，即．

要证明不等式，只需证，

只需证，即证，

设（），则，

当时，，在（0，）上单调递增，

又，所以恒成立，所以原不等式成立．