(暑假班)人教版高中数学必修第一册：06《集合与常用逻辑用语》章节教案及课后作业(4份打包，原卷版+教师版)

《集合与常用逻辑用语》章节

知识系统整合

规律方法收藏

1．由集合的混合运算结果求变量

在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进行验证，以保证满足集合中元素的互异性．

2．集合与方程的综合

集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数的，直接求方程的解；二是含参数的，有时需要进行分类讨论求参数的值或取值范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线的交点问题．

3．与集合有关的新定义问题

(1)定义新集合要与集合定义类比解决．

(2)定义新关系要与集合间关系类比解决．

(3)定义新运算要与集合间的运算类比解决．

4．充分条件与必要条件的理解及判定

(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：

①确定条件是什么，结论是什么；

②把复杂的条件(结论)化简；

③尝试从条件推结论，从结论推条件；

④确定是什么条件．

(2)要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题成立就是证明条件的充分性，证明逆命题成立就是证明条件的必要性．

5．全称量词命题与存在量词命题

(1)确定命题中所含量词的意义，是全称量词命题和存在量词命题的判断要点．

有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．

(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．

(3)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可．

(4)要判定一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题为假命题．

集合的并、交、补运算

【例1】　已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．

(1)用列举法表示集合A与B；

(2)求A∩B及∁U(A∪B)．

集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.

1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(　　)

A．{1,3,4}　     B．{3,4}     C．{3}          D．{4}

集合关系和运算中的参数问题

【例2】　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.

2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B⊆A，求实数k的取值范围.

充分条件与必要条件

【例3】已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤.

利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.

3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．

全称量词与存在量词

【例4】　(1)下列语句不是全称量词命题的是(　　)

A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高一(一)班绝大多数同学是团员

D．每一个实数都有大小

(2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则(　　)

A．p是假命题；﹁p：∃x∈R，x2＜0 

B．p是假命题；￢p：∃x∈R，x2≤0

C．p是真命题；￢p：∀x∈R，x2＜0

D．p是真命题；￢p：∀x∈R，x2≤0

“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系

1一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论px的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.

2与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.

4．下列命题不是存在量词命题的是(　　)

A．有些实数没有平方根

B．能被5整除的数也能被2整除

C．在实数范围内，有些一元二次方程无解

D．有一个m使2－m与|m|－3异号

5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．

学科思想培优

一、分类讨论思想

解分类讨论问题的实质是将“整体”化为“部分”来解决，化为“部分”后，增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．本章的分类讨论思想主要体现在空集的特殊性上．

[典例1]　若集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3，n∈R}，且B⊆A，求n的取值范围．

二、数形结合思想

在解答集合的运算问题时，我们往往根据集合中元素的不同属性采用不同的图形求解，若给定的集合是不等式的解集，常用数轴来求解；若给定的集合是有限数集，一般采用Venn图来求解．

1．运用数轴

[典例2]　已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a∈R，a＜1}，B⊆A，求实数a的取值范围．

2．运用Venn图

[典例3]　已知全集I＝{x|0＜x＜10，x∈N＋}，A∩B＝{3}，A∩(∁IB)＝{1,5,7}，(∁IA)∩(∁IB)＝{9}，求集合A和B.

三、定义法

[典例4]　已知p：－2＜m＜0,0＜n＜1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1且互不相等的正实根，试判断p是q的什么条件．