2023年上海市浦东新区高三高考三模数学试卷含答案解析

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2023届浦东新区高三数学“三模”考试试卷浦东新区2022学年度第二学期综合练习卷高三数学考生注意：1、本试卷共21道试卷，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题． 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知集合，集合，则__________．2．不等式的解集是__________．3．体积为的球的表面积为______．4．函数的定义域是__________．5．空间向量的单位向量的坐标是__________．6．的二项展开式中项的系数为__________．7．已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________．8．公司库房中的某种零件的60%来自甲公司，40%来自乙公司，两个公司的正品率分别为98%和95%． 从库房中任取一个零件，它是正品的概率为__________．9．已知复数满足，则__________．10．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数__________（精确到0.001）．11．已知数列（是正整数）的递推公式为若存在正整数，使得，则的最大值是__________．12．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为__________．二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案． 考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13．以下能够成为某个随机变量分布的是（       ）A． B． C． D．14．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（       ）A．与垂直 B．与平面垂直C．与平行 D．与平面平行15．设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（       ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题：①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．那么（       ）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．(1)求直线和平面所成角的大小；(2)求该几何体的表面积．18．已知向量，.设.(1)求函数的最小正周期；(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.19．某农科所为了验证蔬菜植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性之间是否存在关联，随机抽取88棵植株，获得如下观察数据：33棵植株感染红叶螨，其中19株无枯萎病（即对枯萎病有抗性），14株有枯萎病；55棵植株未感染红叶螨，其中28株无枯萎病，27株有枯萎病．(1)以植株“是否感染红叶螨”和“对枯萎病是否有抗性”为分类变量，根据上述数据制作一张列联表；(2)根据上述数据，是否有95%的把握认为“植株感染红叶螨”和“植株对枯萎病有抗性”相关？说明理由．附：，．20．已知，曲线．(1)若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值；(2)若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；(3)设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，A，，三点共线．21．已知实数，，．(1)求；(2)若对一切成立，求的最小值；(3)证明：当正整数时，． 
1．【分析】根据交集概念进行计算即可.【详解】.故答案为：2．【分析】零点分段法求解绝对值不等式.【详解】当时，，解得，此时解集为空集，当时，，即，符合要求，此时解集为，当时，，解得，此时解集为空集，综上：不等式的解集为.故答案为：3．【分析】根据给定条件，求出球的半径，再计算表面积作答.【详解】令球半径为，依题意，，解得，所以球的表面积.故答案为：4．【分析】先求出和定义域，再求交集.【详解】由题意 ， ；故答案为： .5．【分析】单位向量只需根据即可求出.【详解】，，.故答案为：6．210【分析】利用二项式定理得展开式进行运算，得到项的系数.【详解】二项式定理得展开式可得，，令，即，项的系数为，故答案为：210.7．．【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.【详解】 是焦点在x轴的双曲线， ，即 ；故答案为： .8．0.968##【分析】按照概率公式计算.【详解】由题设，所求概率为 ；故答案为：0.968.9．【分析】设，根据得到方程组，求出，分两种情况计算出答案，从而求出.【详解】设，则，所以，解得，当时，，故，；当时，，故，故答案为：-810．【分析】一组成对数据的平均值一定在回归方程上，可求得，再利用相关系数的计算公式算出即可.【详解】由条件可得，，，一定在回归方程上，代入解得，，，，， 故答案为：11．【分析】对原递推公式作代数变换，转化为等比数列，求出的通项公式，再解不等式 即可.【详解】由题意，当时， ，令 ， ，即 是 ，公比为3的等比数列， ， ，当 ， 也成立， ；对于 ，即 ，令 ，考察= ，其中 是对称轴为 ，开口向下的抛物线，当时， ，当时， ，   ，当 时 最大， ；故答案为： .12．######【分析】该多面体可以看作为正方体截取一部分构成，把复杂的几何体转化为简单几何体构成即可.【详解】如图，该多面体可以看做由一个棱长为的正方体截去8个如①三棱柱和8个如②四棱锥和12个如③三棱柱构成，①为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为：②为底面为以棱长为和1的矩形，高为的四棱锥其体积为：③为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为：所求多面体体积为：故答案为：.13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0，B选项满足要求.故选：B14．C【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可.【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，对于A，，则，所以，故A正确；对于B，，则，所以，又平面，所以平面，故B正确；对于C，，若与平行，则存在唯一实数使得，所以，无解，所以与不平行，故C错误；对于D，，设平面的法向量，则有，可取，因为，且平面，所以平面，故D正确.故选：C.15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设，则，满足，但是严格减数列，充分性不成立，当时，是严格增数列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D16．D【分析】举出反例，得到①②错误.【详解】对于①，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，①错误；对于②，设，对于区间，令为有理数，满足对任意（）都成立，故为区间上的一个M点，但在上不是严格增函数.故选：D【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果.17．(1)(2) 【分析】（1）找到直线和平面所成角等于，由，求出线面角；（2）求出圆锥表面积的一半加上、和的面积即可.【详解】（1）连接，由题意，⊥平面，故直线在平面上的射影为直线，因此直线和平面所成角等于．因为是以为直径的等腰直角三角形，所以．因此，由知．即直线和平面所成角的大小为．（2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积．因为圆锥的高，圆锥的底面半径，所以圆锥的母线长为，表面积为．在和中，，，所以，得． 同理．因此．而，因此，所求表面积为．18．(1)(2) 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；（2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a.【详解】（1）由题意，，因此函数的最小正周期为；（2）由得，因为，所以，解得，因为，所以,由余弦定理解得,所以.19．(1)答案见解析(2)植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关，理由见解析 【分析】（1）数据分析填写列联表；（2）在（1）的基础上，计算卡方，与3.841比较后得到答案.【详解】（1）见下表． 感染红叶螨未感染红叶螨总计对枯萎病有抗性192847对枯萎病无抗性142741总计335588 （2）①提出原假设：植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关．②确定显著性水平．③计算的值，将列联表的数据代入的计算公式得．④统计决断：由，而，小概率事件没有发生，故不能否定原假设．因此，植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关．20．(1)4(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据曲线是圆，得到，由垂径定理得到弦长；（2）分焦点在轴与轴上，两种情况，由离心率求出的值，得到椭圆方程；（3）联立与曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出点坐标，计算出，从而得到A，，三点共线.【详解】（1）若曲线为圆，则圆方程为：，此时圆心到直线的距离此时；（2）曲线的方程为当焦点在轴上时，此时此时椭圆的标准方程为当焦点在轴上时，此时此时椭圆的标准方程为；（3）当时，方程为，，，设，直线的方程为：，令联立，因为，分子，即，因而A，，三点共线．【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.21．(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再代入计算即可；（2）设，求出函数的导函数，当时，对一切，，即可得到在成立，再说明当时不符合题意，即可得解；（3）由（2）得对一切时，成立，即可在不等式中取，得，即可得到，再说明，即可得证.【详解】（1）因为，所以，所以．（2）设，则， 当时，对一切，且仅当时，，故函数在区间上单调递增，从而由知，对一切，，即对一切成立；当时，取，得，即不成立． 综上，的最小值是．（3）当时，（可用计算器验证，证明不作要求），由（2）得，对一切，成立，即，显然当时，，所以，在不等式中取，得（为正整数），故时，．而当时，，证毕．【点睛】关键点睛：第二问解答的关键是取点说明不成立，第三问关键是结合（2）的结论得到，再取，得（为正整数）.