2023年陕西省咸阳市三原县中考数学二模试卷(含答案)

2023年陕西省咸阳市三原县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在、、、这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算机层析成像技术的工作原理与几何体的切截相似，只不过这里的“截”不是真正的截，“几何体”是病人的患病器官，“刀”是射线如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是小颖到时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为(    )
 

A. 时 B. 时 C. 时 D. 时

5.  如图，菱形的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在半径为的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知抛物线与轴的公共点是，，将该抛物线向右平移个单位长度与轴的交点坐标为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

8.  计算：______．

9.  点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案如图这个图案绕点至少旋转          后能与原来的图案互相重合．
 

10.  如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，第次输出的结果是，则第次输出的结果为______ ．
 

11.  若反比例函数的图象经过点和点，且，则的值为______ ．

12.  如图，点是▱内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点，若四边形的面积为，则▱的面积为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．

14.  本小题分
解不等式组．

15.  本小题分
当取何值时，分式与互为相反数．

16.  本小题分
如图，点在的边上，且请利用尺规在上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法

17.  本小题分
近年我市积极推进“智慧校园”建设，加大对学校教育信息化的建设的投入，去年投入万元，之后逐步增加投入，按计划明年投入达到万元，求投入经费的年平均增长率．

18.  本小题分
如图，四边形的对角线与相交于点，现有三个论断：；；，请你选取其中两个作为条件，第三个为结论构造一个真命题，并证明．
条件：______ ，结论：______ ；填序号
证明．

19.  本小题分
某书店为了吸引顾客，在“世界读书日”当天举办了购书有奖酬宾活动在一个不透明的盒子里装有个白球和若干个红球，每次摸完球后将球放回并摇匀凡购书满元者，有两种抽奖方案可供选择顾客只能选择其中一种：方案：顾客直接从盒子里摸出一个球，如果摸到红球返元现金，如果摸到白球则没有奖励；方案：顾客直接从盒子里同时摸出两个球，如果摸到的球颜色一致返元现金，如果摸到的球颜色不一致则没有奖励小李购书超过元，参加抽奖并选择了方案，已知他返元现金的概率为．
盒子里有______ 个红球；
张莉购书超过元，已知她选择方案抽奖，请利用树状图或列表的方法求张莉能返元现金的概率．

20.  本小题分
如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度在河对岸有一棵高米的树，树在河里的倒影为，，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点处时看到岸边点和倒影顶点在一条直线上，点到水面的距离米，米，米，，，，，，视线与水面的交点为，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度．

21.  本小题分
为打造特色乡镇，充分利用生态资源，整合闲置资源，推动以城带乡、以工促农、城乡融合发展模式某镇大力种植一种具有观赏价值的苗木，为尽快打开市场，准备把实体销售渠道向网络拓展，发展“实体网络”的销售模式每株苗木的标价为元，具体优惠标准如下：实体销售，每株按标价六折出售；网络销售顾客免运费，每株按标价八折出售，购买超过株，超过的部分每株再降元若购买这种苗木株，在实体店购买所需费用为元，通过网络购买所需费用为元
分别求、与之间的函数关系式；
不考虑其他情况，王叔叔计划用元来购买这种苗木，则他选择哪种方式购买的苗木更多？

22.  本小题分
李叔叔种植了棵新品种的樱桃树，现已挂果，到了成熟期随机选取部分樱桃树作为样本，对所选取的每棵树上的樱桃产量进行统计将得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图请结合统计图，解答下列问题：

请将条形统计图和扇形统计图补充完整；
所抽取的樱桃树产量的中位数是______ ，众数是______ ；
经了解，这种樱桃的售价为元，请估计卖完这棵樱桃树上的樱桃一共可收入多少元？

23.  本小题分
如图，是的内接三角形，过点作，交于另一点，延长，交于点，过点作的切线交于点，连接．
求证：；
若，，，求的长及的半径长．

24.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线左侧抛物线上一点且点在轴上方．
求抛物线的函数表达式；
过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标．

25.  本小题分
【问题初探】：如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长为______ ；
【问题深入】：如图，在扇形中，点是上一动点，连接，，，，求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图所示，其中，米点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接，，与交于点，连接，沿修建一条石子小路宽度不计，将和进行绿化根据设计要求，为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
四个数中，最小的数是．
故选：．
任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小，由此即可得到答案．
本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数大小的比较方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆，
故选：．
根据用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆即可得出答案．
本题考查了截一个几何体，掌握用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示得：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图形可知，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为时，
故选：．
直接由图形可得出结果．
本题主要考查了折线统计图的意义，理解横纵轴表示的意义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线交于原点，点的坐标为，点的坐标为，
，，
解得，，
，
故选：．
根据题意可知，原点为对角线的中点，然后即可求得、的值，从而可以求得的值．
本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图示，连接，交于，

是的中点，
，，
，
，，
，
是直径，
，
，
∽，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
即，
在中，，
．
故选：．
连接、，利用垂径定理得到，再利用三角形中位线定理得到，接着证明∽，得到，设，则，，利用半径为，解出，最后在中由勾股定理即可求解．
本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，
设平移后的抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
原抛物线的解析式可设为，
即，
，，，
．
故选：．
先利用点平移的规律得到点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，利用交点式，设平移后的抛物线解析式为，接着把把代入求得，于是原抛物线的解析式可设为，然后化为一般式得到、、的值，从而可计算出的值．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数图象与几何变换．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为．
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了旋转图形，正确求出中心角的度数是解题关键．
直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
【解答】
解：五边形为正五边形，
中心角为：．
则这个图形至少旋转才能与原图象重合，
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：第次：若输入的值为，则输出的值为，
第次：若输入的值为，则输出的值为，
第次：若输入的值为，则输出的值为，
第次：若输入的值为，则输出的值为，
第次：若输入的值为，则输出的值为，
第次：若输入的值为，则输出的值为，
第次输出的值为，第次输出的值为，
依次类推第次输出的值为．
故答案为：．
代入依次计算，找到规律后得结论．
本题主要考查了实数的运算，通过代入计算找到规律是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点和点，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
由反比例函数图象上点的坐标特征得到，即可得到，由求得，从而求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
同理：，
≌，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的得，，再证，，然后证≌，得，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式


． 

【解析】利用特殊角的三角函数值，绝对值的意义和有理数的乘方法则化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，绝对值的意义和有理数的乘方法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

14.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为：． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

15.【答案】解：由题意，得，
方程两边同乘，得，
解得，
经检验是所列方程的解，
故原方程的解为，
当为时，分式与互为相反数． 

【解析】利用互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图所示：点即为所求．
 

【解析】作的平分线与的交点即为所求．
本题考查了复杂作图，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：设投入经费的年平均增长率为，
根据题意，列方程得，，
解得，或不合实际，舍去，
答：投入经费的年平均增长率． 

【解析】设投入经费的年平均增长率为，根据去年到明年的投入经费，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程．
 

18.【答案】   

【解析】解：条件：，结论：，
证明：，，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：；．
根据平行四边形的判定和性质解答即可．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质解答．
 

19.【答案】 

【解析】解：设盒子里有个红球，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
盒子里有个红球．
故答案为：．
列表如下：

由表可知，共有种等可能的结果，其中摸到的球颜色一致的结果有种，
张莉能返元现金的概率为．
设盒子里有个红球，由题意可列方程为，求出的值即可．
列表可得出所有等可能的结果数以及张莉能返元现金的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：，，，
，，
∽．
，即 ，
．
，，
，
，
∽．
，即 ，
，
米，
河的宽度为米． 

【解析】首先推知∽、∽，利用相似三角形对应边成比例求得线段米，则米．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

21.【答案】解：与之间的函数关系式为；
当时，；
当时，，
与之间的函数关系式为；
当时，解得，
，
通过网络购买超过株，
，
解得，
，
选择实体购买的苗木更多． 

【解析】根据题意直接写出与之间的函数关系式；分段写出与之间的函数关系式；
根据中解析式，把代入解析式求出的值即可．
本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式．
 

22.【答案】   

【解析】解：由题意可知．样本容量为：，
的棵数为：，
的棵数所占百分比为：，
补全条形统计图和扇形统计图如图：

所抽取的樱桃树产量的中位数是：，
众数是．
故答案为：；
所抽取的樱桃树平均产量为，
估计卖完这棵樱桃树上的樱桃一共可收入：元．
用的棵数除以，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的棵数，可得的棵数，进而补全条形统计图和扇形统计图；
根据中位数和众数的定义解答即可；
用样本估计出每棵樱桃树平均产量，进而估计出棵樱桃树的产量，再根据“总价单价数量”可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
，
，
是的直径，
是的切线，
，
，
即，
，
，
为直径，
，
，
；
解：在中，，，
，，
，
在中，，
，
，
．
在中，，
的半径长为． 

【解析】连接，如图，先根据圆周角定理得到是的直径，，再根据切线的性质得到，然后根据等角的余角相等得到；
先在中利用含度角的直角三角形三边的关系得到，，则，再在中计算出，，所以然后利用勾股定理计算出，从而得到的半径长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

24.【答案】解：解法一：由题意可设抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的函数表达式为；
解法二：抛物线过点、，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
令，则，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
点的坐标为，
，，

当时，有最大值，最大值为，
此时，点的坐标为，
的最大值为，点的坐标为． 

【解析】解法一：由题意可设抛物线的函数表达式为，，以此即可求解；
解法二：直接利用待定系数法即可求解；
根据待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再求出，，于是，根据二次函数的性质即可求解．
本题主要考查用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质，利用二次函数图象上点的坐标特性设出点的坐标，以此得到是解题关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：设，
，
，，
，
∽，
，
，
，
故答案为：；
过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，
如图，

，，
，
，
，
，
根据勾股定理得
，
，，
由图可得，
，即，


，
，
，
四边形的最大值是；
点是的中点，
，
，
，，
∽，
，
，
，
．
，

作的外接圆，过点作于点，延长交于点，
连接，，，，如图，
则，，
点是的中点，，
，，
，
，
，
过点作于点，由图可得，
的最大值为，


，
 的最大值为：，
和的面积之和存在最大值，和面积之和的最大值为平方米．
设，根据题意得，，通过平行推三角形相似，得出∽，推比例线段，得出的长；
过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，根据勾股定理得出，由图可得，两个式子结合得出四边形的最大值是；
作的外接圆，过点作于点，延长交于点，连接，，，，
由，推出∽，得出∽，推出，，得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，，根据点是的中点，，推出，，得出，过点作于点，由图可得，得出的最大值为，进而求出和面积之和的最大值．
此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．