等差数列的运算A

知识点拨

一、等差数列的定义

⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法

定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．

譬如：2、5、8、11、14、17、20、    从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列

100、95、90、85、80、    从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用表示

末项：一个数列的最后一项，通常用表示，它也可表示数列的第项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用来表示；

和  ：一个数列的前项的和，常用来表示 ．

二、等差数列的相关公式

(1)三个重要的公式

① 通项公式：递增数列：末项首项(项数)公差，

递减数列：末项首项(项数)公差，

回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白      末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：，

② 项数公式：项数(末项首项)公差+1

由通项公式可以得到： (若)； (若)．

找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．

譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，

分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有项，每组3个数，所以共组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．

③ 求和公式：和=(首项末项)项数÷2

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：

(思路1)

(思路2)这道题目，还可以这样理解：

即，和

(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

譬如：① ，

题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于；

② ，

题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于．

例题精讲

例题1  下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6，10，14，18，22，…，98；

②1，2，1，2，3，4，5，6；

③ 1，2，4，8，16，32，64；

④ 9，8，7，6，5，4，3，2；

⑤3，3，3，3，3，3，3，3；

⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

例题2   小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？

（1）3、4、5、6、……、76、77、78

（2）2、4、6、8、……、96、98、100

（3）1、3、5、7、……、87、89、91

（4）4、7、10、13、……、40、43、46

例题3  2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？

例题4 在下面个方框中各填入一个数，使这个数从左到右构成等差数列，其中、已经填好，这个数的和为        。

例题5 1、3、5、7、9、11、是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？

例题6  在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．

例题7  5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？

例题8  有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？

例题9  15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？

例题10 已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，，问2009是这个数列的第多少项？

例题11  已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，试问：

⑴ 15是这样的数列中的第几个到第几个数？

⑵ 这个数列中第100个数是几？

⑶ 这个数列前100个数的和是多少？

例题12 在这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

例题13在这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？

例题14   1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；

2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；

……                            

     只青蛙     张嘴，32只眼睛     条腿。

例题15  如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5时，共需要火柴棍           根。

例题15 将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。

例题16下列数阵中有100个数，它们的和是多少？

例题17 将自然数按下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几？

例题18 一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？

例题19 小明住在一条胡同里．一天，他算了算这条小胡同的门牌号码．他发现，除掉他自己家的不算，其余各门牌号码之和正好是100．请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)？小明家的门牌号码是多少？

例题20 小丸子玩投放石子游戏，从出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，照此规律最后走到处放下35枚石子．问从到路程有多远？

例题21 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色．如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？

例题22 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分数超过了90分（满分为100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？

巩固提升

1．有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（　　）

A．47 B．49 C．51 D．53

2．若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是　   　．

3．计算：

（1）+（12）+（13）+…+（110）+（111）＝　   　．

4．有一等差数列：3、7、11、15…这个等差数列的第100项是　    　．

5．1，3，5，7，…是从1开始的奇数，其中第2005个奇数是　     　．

6．时钟1点钟敲一下，2点钟敲两下，3点钟敲三下，……照这样敲下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了　   　下．

7．五个连续奇数的和是85，其中最大的数是　   　，最小的数是　   　．

8．计算2+3+4+5+…+2588．

9．计算1+2+3+…+2012．

10．已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是　    　．

11．体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数．

（1）如果冬冬报3，阿奇报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？

（2）如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？

12．（1）2，5，8，11，14，…．上面是按规律排列的一串数，其中第21项是多少？

（2）把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

13．如图，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖…按照这样的规律，第19层有多少块砖？

14．如果按一定规律排出的加法算式是3+4，5+9，7+14，9+19，11+24，…，那么第10个算式是　   　+　   　；第80个算式中两个数的和是多少？

15．小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看55页，刚好看完，这本故事书一共有多少页？

16．有一个数列：2，6，10，14，…，106，这个数列共有多少项？

17．一辆公共汽车上有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第一站上两位，第三站上三位，依此类推，若无人下车，第几站后，车上坐满乘客？

18．有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项？

19．已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第　   　项．

20．某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人；第二名并列2人；第三名并列3人；…；第十五名并列15人．用最简便方法计算出得奖的一共有多少人？

21．在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数（Shǔ）第　    　个数是1994．

22．一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，依此下去，　   　站以后，车上坐满乘客．

23．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习．当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是　   　．

24．把5粒石子每间隔5米放在地面一直线上，一只篮子放在石子所在线段的延长线上，距第一粒石子10米，一运动员从放篮子处起跑，每次拾一粒石子放回篮内，要把5粒石子全放入篮内，必须跑　    　米．

25．星期日，同学们要去明明家，明明在电话里说她家的那栋楼所有门牌号（从1开始）之和再减去她家的号码是150，那明明家是　 　号，一共有　 　家．

26．电影院共有28排座位，第一排有20个座位，以后每排比前排多2个座位，最后一排有　   　个座位．这个电影院共有　   　个座位．

27．已知数列5，8，11，14，17，21……，该数列的第17项是　   　．

28．在1，4，7，10，13，…，100中，每个数的前面加上一个小数点以后的总和等于　      　．

29．92+90+88+…+2．

30．计算9000﹣8997+8994﹣8991+…+6﹣3．

31．一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？

32．计算：

（1）5+11+17+…+77+83；

（2）193+187+181+…+103．

33．冬冬先在黑板上写了一个等差数列，刚写完阿奇就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73．你能算出这个等差数列的公差和首项吗？

34．计算：

（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12；

（2）11+12+13+14+15+16+17+18+19．

35．计算：

（1）100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90；

（2）21+19+17+…+3+1．

36．已知一列数：2，5，8，11，14，…，44，…，问：44是这列数中的第几个数？

37．如图，已知O是直线AD上一点，∠AOB，∠BOC，∠COD三个角从小到大依次相差20°，求这三个角的度数．

38．求等差数列：1，6，11，16，…的第61项．

39．妈妈选择两家超市上班．甲超市每月工资450元，乙超市工资第一个月200元，以后每个月增加50元，如果都签工作一年的合同，妈妈选择哪家超市一年得到的工资多？请帮妈妈算一算．

40．一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位．这个剧场一共设置了多少个座位？

41．一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10，它的末项是多少？

42．一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根．这堆圆共多少根？

43．有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数连加，和是多少？

44．王雪读一本书，第一天读了8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了32页，正好读完，她一共读了多少天？

45．如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差（大数减小数）最小是多少？

46．在等差数列3，12，21，30，39，48，…中912是第几个数？

47．小明从一月一日开始写大字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写589个大字，小明每天比前一天多写几个大字？

48．1999，1998，1，1997，1996，1，1995，…从第3个数起，每一个数都是它前面2个数中大数减小数的差，那么第2000个数是几？

49．求等差数列2，5，8，11，…的第100项是多少？

50．7个连续自然数的和是70，其中最大的一个是　   　．

51．在等差数列7、10、13、16……中，907是第　    　个数，第907个数是　    　．

52．有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层．问：这堆圆木共有多少根？

53．求1，5，9，13，…，这个等差数列的第30项．

54．在等差数列中，首项＝1，末项＝57，公差＝2，这个等差数列共有多少项？

55．6个连续奇数的和是120，求这6个连续奇数．

56．求等差数列：307，304，301，298，…的第99项．

57．有一个等差数列：9，12，15，18，…，2004，这个数列共有多少项？

58．已知等差数列：1000，993，986，979，…，20，这个数列共有多少项？

59．小明家每个月的电话费都比上个月多2.06元，他家五月份付了104.8元．他家一月份付了多少电话费？

60．一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米．它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么它的第100个落脚点正好是树梢，这棵树高　    　厘米．