2023届海南省海口市等4地、乐东黎族自治县乐东中学等2校高三高考全真模拟（三）数学试题含解析

2023届海南省海口市等4地、乐东黎族自治县乐东中学等2校高三高考全真模拟（三）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，且，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】求出集合A，B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解即可.

【详解】，,

由，所以，即.

故选：D.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由，可得，解得，即解集为，

又由，可得，解得，即解集为，

因为集合为集合的真子集，所以是的充分不必要条件.

故选：A.

3．设数列的通项公式为，数列的前项和为，那么等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意化简得到，结合消项法，即可求解.

【详解】由数列的通项公式为，可得，

所以.

故选：D.

4．已知偶函数在点处的切线方程为，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】由导数的几何意义及偶函数的性质计算即可.

【详解】因为是偶函数，所以，即；

由题意可得：，

所以.

故选：A

5．函数的部分图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取特殊值判定即可.

【详解】由解析式可知，取，则，观察选项可排除A、C；再取，则，观察选项可排除D，

此外，可看成是由向右平移1个单位得到，而是偶函数，即的图象关于对称，故选B项.

故选：B

6．卡夫拉金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑．从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个正四棱锥（如图2），其中，点为的中点，则，所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】找出的平行线且与相交，并以此构造一个三角形，再根据几何关系求出三角形的三边，最后用余弦定理即可求解出，所成角的余弦值.

【详解】如图设点F为AB中点，连接EF，设，则，

在中，根据余弦定理可知：

即，

解得，，，

根据余弦定理可知，

因为，所以为，所成角的余弦值.

故选：C.

7．定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据求出函数周期，根据函数奇偶性确定递增区间，最后根据函数递增区间判断函数大小.

【详解】因为在上是增函数且函数为奇函数，

所以在上是增函数，

又根据可得，

所以是周期为4的周期函数，

，，，

根据函数单调性可知.

故选：B

8．已知在中，向量，，满足且，则为（    ）

A．等腰直角三角形 B．非等腰的直角三角形

C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

【答案】A

【分析】由得，则；由得，则的角平分线与垂直，可得，即可得解.

【详解】由得，即，则；

由得，

而分别为方向上的单位向量，

则的角平分线与垂直，可得，

则为等腰直角三角形.

故选：A．

二、多选题

9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则或

D．若，，则或

【答案】AB

【分析】根据线面平行的判定及性质，以及面面平行的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若，，可得与可能平行或异面，所以A不正确；

对于B，若，，可得与可能平行、相交或异面，所以B不正确；

对于C中，若，，当时，可得，或者，所以C正确；

对于D中，若，，根据线面平行的判定定理，可得或，所以D正确.

故选：AB.

10．已知，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据不等式的基本性质，以及特例，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，当时，可得，此时，

所以不等式不一定成立，符合题意；

对于B中，因为，可得，

又由，所以一定成立，不符合题意；

对于C中，当时，可得，

此时，所以不一定成立，符合题意；

对于D中，由，因为，可得，当的符号不确定，

所以不一定成立，符合题意.

故选：ACD.

11．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】由同角三角函数的平方关系与商数关系结合二倍角公式计算即可.

【详解】由已知及，

故，A错误；

，B正确；

因为，，C错误；

，D正确；

故选：BD

12．已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以.

【详解】对任意,恒有，

令可得，

因为当时,故，所以，

令可得，所以，

当时,,根据已知条件得,即，所以.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知向量，，，若点，，三点共线，则实数_________．

【答案】/0.5

【分析】根据向量共线定理可知，根据向量坐标计算即可.

【详解】，，

因为点，，三点共线，所以，解得.

故答案为：.

14．已知在中，内角所对的边分别为，且满足，且，则_________．

【答案】/0.875

【分析】先根据正弦定理角化边解得，再代入余弦定理即可求解.

【详解】由题意，

根据正弦定理边角互化可得，

又因为，所以，

所以，

由b>0,c>0，解得，即，

所以根据余弦定理可得，

故答案为：.

15．已知数列的前项和为，且满足，，把数列的偶数项抽出按照原来的顺序组成新数列，则_________．

【答案】

【分析】利用，结合可得，即可得答案.

【详解】因，则，两式相减得，又，则，

则数列的偶数项组成的新数列为以为首项，公比为2的等比数列，

则.

故答案为：

16．已知某球的体积为，该球的某截面圆的面积为，则球面上的点到该截面圆心的最大距离为_________．

【答案】3

【分析】先求出球心到平面的距离为，再求点到该截面圆的最大距离.

【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为，

则，

因为球的体积为所以

因为截面圆的面积为，所以，故，

所以，

所以球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为，故最大距离为.

故答案为:.

四、解答题

17．已知等差数列是递减数列，设其前项和为，且满足，．

(1)求的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求的最大值及相应的的值．

【答案】(1)

(2)25，或5

【分析】（1）利用数列前项和的定义及等差数列的通项公式，结合等差数列的性质即可求解；

（2）根据（1）的结论及等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质即可求解.

【详解】（1）设等差数列公差为，则

由，得，

将代入上式解得或（舍），

所以的通项公式为．

（2）由（1）得，

所以，

故数列是以10为首项，为公差的等差数列，

令，解得，

故，

即当或5时，取得最大值25．

18．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示），沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面，是棱的中点（如图2所示）．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先判定底面，再建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积计算即可；

（2）利用（1）建立的坐标系，通过空间向量计算夹角即可.

【详解】（1）取的中点，连接，并过点作的平行线，交于点，

则．

因为为等边三角形，所以．

因为平面底面，且平面底面，

所以底面．

以为坐标原点，的方向为轴正方向，

建立如图所示空间直角坐标系．

因为，则，，，，

所以，，

所以，

所以．

（2）由（1）得，，

设平面的法向量为，

则即

令，得．

设直线与平面所成的角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

19．在中，角A，，所对的边分别为，，，若，且．

(1)求的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换计算得即可得出结果；

（2）利用余弦定理得：，计算即可.

【详解】（1），，

由正弦定理得，

，

．

，．

又，，

．

（2），，

由余弦定理得，

，

．

20．已知数列为单调递增的等比数列，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；

（2）分组求和即可.

【详解】（1）数列为等比数列，

，．

设的公比为，

则，，

，解得或．

由单调递增，得，

故．

（2）由上可知，，

．

21．如图，在五面体中，四边形是正方形，，，，，点，在平面内的射影落在上．

(1)求证：平面

(2)设为的中点，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答.

（2）证明平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】（1）在正方形中，，而，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为点，在平面的射影落在上，因此平面平面，

又，平面平面，平面，则平面，

显然两两垂直．以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，

设平面的法向量为，则，令，得，

设平面的法向量为，则令，得，

则，由图知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

22．已知函数，其中

(1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围；

(2)证明：，其中．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意转化为恒成立，令，求得，求得函数的单调性与最大值，即可求解；

（2）由（1）得到，令，得到，结合对数的运算性质，即可求解.

【详解】（1）解：由函数的图象恒不在轴上方，且，

即恒成立，即在上恒成立，

令，可得，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

即实数的取值范围为．

（2）解：由（1）知，当时，，

即，当且仅当时取等号，

令，可得，

所以，

即当时，．