2023届四川省成都市高三三诊数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省成都市高三三诊数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省成都市高三三诊数学（文）试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，将集合化简，然后结合并集的运算，即可得到结果.【详解】因为，且，则，故选：C2．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.【详解】由题意可得，“”的否定是，故选：B3．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解.【详解】由题意设双曲线的标准方程为，代入点，得，得，所以双曲线的标准方程为.故选：A4．如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是1，则这个三棱锥中最长棱的长为（    ）A．5 B． C． D．7【答案】C【分析】根据三视图得到几何体的直观图，求出棱长，即可判断.【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示：其中，，，且平面，，所以，，，所以三棱锥中最长棱为.故选：C5．设为等差数列的前n项和．若，则的值为（    ）A．1 B．2 C．1012 D．2023【答案】A【分析】根据等差数列的性质求解.【详解】由题意，所以．故选：A．6．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域，单调性以及特殊值，结合选项得出答案．【详解】函数的定义域为，排除选项D，又，所以排除选项C，当时，，且，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，排除选项B，故选：A7．一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为．现发现有两名同学的成绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正后重新计算，得到方差为，则与的大小关系为（    ）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据已知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小可得结论．【详解】设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，且，所以.故选：B8．已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求向量的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可.【详解】设与的夹角为，由，可得与方向相同的单位向量为，所以在上的投影向量为：，故选：D.9．世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由乘法原理求得安排的方法总数及甲、乙两人被安排在同一个场馆的方法数，再由概率公式计算概率．【详解】显然甲，乙两人被安排在同一个场馆的方法数为3，而甲、乙两名志愿者可安排的总方法数为，所以所求概率为，故选：C．10．已知函数，当时，的最小值为．若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由条件可得，再由图像变化可得解析式，即可得到结果.【详解】因为，，当时，则一个为最大值，一个为最小值，且的最小值为，即，所以，即，将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，则，所以，即，解得，即解集为，故选：D11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C相交于A，B两点．有下列结论：①四边形为平行四边形；②若轴，垂足为E，则直线BE的斜率为；③若（O为坐标原点），则四边形的面积为；④若，则椭圆的离心率可以是．其中正确的结论是（    ）A．①④ B．①②④ C．①②③ D．②④【答案】B【分析】由椭圆的对称性判断①，设，计算斜率后判断②，利用矩形，由勾股定理及椭圆的定义求出四边形的面积后判断③，同理结合椭圆定义和余弦定理求离心率判断④．【详解】由椭圆的对称性，，，四边形为平行四边形，①正确；设，则，，，，②正确；若，由，四边形是矩形，即，设，，则，又，所以，，，即四边形的面积为，③错；若，又，则，，设，由余弦定理得，即，，由得，存在，④正确，即正确的有①②④，故选：B．12．已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导函数，分类讨论确定函数的单调性，函数有三个零点，应有两个不等实根，定义域分成三个单调区间，再结合零点存在定理确定零点的存在，从而得出结论．【详解】易知的定义域是，由已知，若，即，则恒成立，单调递增，不合题意，若，则在上恒成立，单调递增，不合题意，若，则在两个实根，且，因此，，不妨设，即， 当或时，，时，，因此在和上都是单调递增，在上单调递减，在上，有一个零点，因此，，取，由于，因此，设，则，设，则，设，则，所以即是增函数，时，，所以即在上是增函数，从而时，，所以时，是增函数，，综上，，因此，在上有唯一零点，也即在上有唯一零点，同理取，由于，因此有，从而在即在上有唯一零点，所以有三个零点，所以的取值范围是，故选：D．【点睛】思路点睛：研究含参函数的零点问题，可利用导数研究函数的单调性，极值，借助数形结合思想解决问题，结合零点存在定理得出含参的不等式，从而得出参数范围． 二、填空题13．已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为_______．【答案】/【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.【详解】因为复数为纯虚数，所以，所以.故答案为：.14．在等比数列中，若，则的值为_______．【答案】81【分析】根据题意，由条件可求得，从而得到结果.【详解】因为数列为等比数列，设其公比为，且，则，所以，则，故答案为:15．如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为________．【答案】10【分析】作出过且与垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，而由得，所以平面，从而可得点轨迹，求出所围图形面积．【详解】作母线，，连接，因为，所以共面，是圆柱的一个截面，平面，平面，所以，又由已知得，而，平面，所以平面，由得，所以平面，矩形即为点轨迹，，则，又，所以矩形的面积为．故答案为：10.16．已知，是圆内一点，对圆O上任意一点P都有为定值，则mn的值为________．【答案】【分析】设，（为正常数），把用表示后整理即得圆方程，由此可求得，得出结论．【详解】设，（为正常数），显然，否则点轨迹是线段的中垂线，，整理得，这就是圆的方程，所以， 解得，所以．故答案为：． 三、解答题17．某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：产品定价（单位：元）99.51010.511销量（单位：万件）1110865(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）；(2)建立关于的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．参考公式：．参考数据：．【答案】(1)，说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系(2)12.8万件 【分析】（1）先计算出、的平均值，再结合相关性系数的参考公式计算即可，根据数值得到相关性强弱，（2）根据公式，计算出关于的回归方程，将代入回归方程即可得到结果.【详解】（1）由题条件得，．，，．与的相关系数近似为，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．（2），关于的线性回归方程为．当时，．∴当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件．18．如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，，，平面ADGC，M，N分别是AC，BF的中点，且(1)求证：平面AFG；(2)已知，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取CG的中点P，连接PM，PN，通过面面平行的性质即可证明平面AGF； （2）先由空间中线面垂直关系证明平面DEFG，再根据已知数据及三棱锥的体积公式计算求解即可．【详解】（1）如图，设P是CG的中点，连接PM，PN，为AC的中点， ，又平面AGF，平面AGF，平面AGF，同理得，平面AGF，，PM，平面PMN，平面平面AGF，   又平面PMN，平面AGF，    （2）平面ADGC，平面ADGC，，     又，，平面DEFG，平面DEFG，平面DEFG，     ，，，，，三棱锥的体积为．19．在中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若是边上一点，且，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理即两角和的正弦公式即可；（2）利用余弦定理结合已知条件即可解决问题.【详解】（1），由正弦定理有：，               ，．               ．               又．．又．（2）在中，由余弦定理得：．在中，由余弦定理得：．．即，整理得．           在中，由余弦定理得:．则．．，即．               20．已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点．(1)求线段PQ中点纵坐标的值；(2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，的坐标为 【分析】（1）设，，代入抛物线方程相减（点差法）即可得；（2）设y轴上存在定点，设直线，同时设，，，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，由三点共线得，，结合直线的斜率可得值．即定点坐标．【详解】（1）设，，其中．由，得．化简得．     ，即．线段PQ中点纵坐标的值为．（2）设y轴上存在定点，由题意，直线MN斜率存在且不为0，设直线，，，，．由，消去x，得．，．，．       ，T，M三点共线，．解得．同理，可得．     又，     ．解得．         直线MN恒过定点．【点睛】方法点睛：定点问题的解决方法，（1）由特殊值确定定点位置，确定定点坐标或得出定点满足的条件，设出定点坐标；（2）设出直线方程代入圆锥曲线方程应用韦达定理，得两根和与两根积；（3）韦达定理结果代入已知条件验证定点满足一般情形或由韦达定理的结果代入动点（动直线）与定点的关系求得定点坐标．21．已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是函数的极小值点，求a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）当时，对求导，由导数的几何意义可求切线的斜率，从而可求切线方程；（2）根据题意，设，分与讨论函数的单调性，从而可得的单调性，再结合是函数 的极小值点，即可得到a的取值范围．【详解】（1）当时，，，，曲线在点处的切线方程为，即；（2）由题知，不妨设，，①当时，不妨设，，在上恒成立，在上单调递增，又，当时，；当时，，     ，，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，是函数的极小值点，②当时，不妨设，，使得，且，，在上单调递减，  当时，，当时，，在上单调递减，不是函数的极小值点．综上所述，当是函数的极小值点时，a的取值范围为．【点睛】本题第一小问考查函数在某点处的切线方程，关键是由导数的几何意义求切线的斜率，即可求出切线方程；第二小问主要考查是由函数的极点求参数的范围，关键是由题意设，分与讨论函数的单调性，再结合是函数 的极小值点，即可得到a的取值范围，考查数学运算和逻辑推理等核心素养．22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为(2) 【分析】（1）根据题意，由普通方程与参数方程以及极坐标方程的互化，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由点到直线的距离公式结合辅助角公式即可得到结果.【详解】（1）由直线的参数方程，得直线的普通方程为．将代入曲线的极坐标方程，化简得曲线的直角坐标方程为．（2）由（1），设点，由题知的最小值为点到直线的距离的最小值．又点到直线的距离，其中．        当时，的最小值为．的最小值为．23．已知函数，且不等式的解集为．(1)求实数的值；(2)若正实数满足，证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；（2）根据题意，结合基本不等式代入计算即可得到证明.【详解】（1），且，，解得．．            ．（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．综上所述，．（2）由（1）得．．，           ．当且仅当，即时等号成立．．