浙江省浙南名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

浙江省浙南名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部是(   )

A.1      B.i      C.      D.-1

2、在中，已知命题为钝角三角形，命题，则p是q的(   )

A.充分不必要条件      B.必要不充分条件   

C.充分必要条件      D.既不充分也不必要条件

3、用半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为(   )

A.      B.      C.      D.

4、在中，，,则边AC的长为(   )

A.3      B.5      C.3或5      D.以上都不对

5、设m，n是不同的直线，,是不同的平面，则下列命题正确的是(   )

A.，则      B.，则

C.，则      D.，则

6、已知，则的值为(   )

A.      B.      C.      D.

7、记，,则(   )

A.      B.      C.      D.

8、有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为1米.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是(   )

A.      B.      C.      D.

二、多项选择题

9、如图，正方体中，，点Q为的中点，点N为的中点，则下列结论正确的是(   )

A.CQ与BN为异面直线                 B.

C.直线BN与平面ABCD所成角为     D.三棱锥的体积为

10、已知,是平面单位向量，且，若该平面内的向量满足，则(   )

A.     B.     C.     D.

11、已知函数，则下面说法正确的是(   )

A.若且图象关于直线对称，则

B.若且图像关于点对称，则

C.若且在上单调递增，则的最大值为2

D.若且在上的图象有且仅有2个最高点，则的取值范围为

12、在锐角中，已知，,,D为边BC上的点，，则线段AD长的可能取值为(   )

A.      B.      C.3.3      D.

三、填空题

13、已知复数,（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为，则的面积为________.

14、已知直三棱柱的高为4，，则该三棱柱的外接球的体积为________.

15、已知满足，则的最小值为________.

16、已知正边长为1，点D满足，P为直线AD上的动点，设在的投影向量为，则m的取值范围为________.

四、解答题

17、已知复数（，i为虚数单位），z在复平面上对应的点在第四象限，且满足.

（1）求实数b的值；

（2）若复数z是关于x的方程（，且p,）的一个复数根，求的值.

18、在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，E和F分别为PD和BC的中点.

（1）证明：平面PAB；

（2）求二面角的余弦值.

19、在中，已知,,BD为边AC上的高.设，记y关于A的函数为.

（1）求的表达式及的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围.

20、如图，在中，D是线段BC上的点，且，O是线段AD的中点延长BO交AC于E点，设.

（1）求的值；

（2）若为边长等于2的正三角形，求的值.

21、已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.

（1）求角C的值；

（2）若，求周长的取值范围.

22、已知函数，其中.

（1）时，求函数的单调增区间；

（2）已知存在三个不相等的实数，,使得成立，求的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：

2、答案：B

解析：

3、答案：D

解析：

4、答案：C

解析：

5、答案：D

解析：

6、答案：B

解析：

7、答案：C

解析：

8、答案：A

解析：

9、答案：AB

解析：

10、答案：BCD

解析：

11、答案：ACD

解析：

12、答案：AB

解析：

13、答案：5

解析：

14、答案：

解析：

15、答案：

解析：

16、答案：

解析：

17、答案：(1)

(2)-5

解析：（1）z在复平面上对应的点在第四象限

， ，

（2）（法一）由题可知，为关于x方程的两个复数根

（法二）将代入方程可得

∴

∴∴

18、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）（法一）取PA的中点M，连接ME,MB

M，E分别为PA,PB的中点,ME是的中位线

且

又F为BC的中点

且

且

四边形MBFE是平行四边形

,平面PAB,平面PAB,

平面PAB

（法二）取AD的中点N，连接EN,FN

E，N分别为PD,AD的中点,NE是的中位线,

,平面PAB,平面PAB, 平面PAB

同理平面PAB,

平面平面ENF,

又平面ENF

/平面PAB

（2）（法一）取AD的中点N，连接FN，过N作交PD于G，连接FG

平面ABCD,平面ABCD,

又,

平面PAD

又

平面FNG

即为二面角的平面角

设则,,

二面角的平面角的余弦值为.

（法二）取的中点N，G，连接

设

为等腰三角形∴

,即

即为二面角的平面角

二面角的平面角的余弦值为.

19、答案：(1)

(2)

解析：（1）由已知可得：，

，

即的取值范围为.

（2）由（1）知：

记，则在上单调递增.

当，即,,时，t取到最大值为.

即实数m的取值范围为

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）因为O为AD的中点，，

又，故,,

（2）（法一）设，因为O为AD的中点，，

B，O，E三点共线，所以，得

故

因为为边长为2的正三角形

故

（法二）设

又由（1）知,与为非零的共线向量。

与为非零的共线向量，所以，得

因为为边长为2的正三角形

故

21、答案：(1)

(2)

解析：（1）（法一）

为锐角三角形，

（法二）,

,

,

为锐角三角形，

（2）（法一）

周长

由于为锐角三角形,,

解得：,

,.

的周长l的取值范围为.

（法二）

同法一得

由余弦定理得

周长

记

则在单调递增

的周长l的取值范围为.

22、答案：(1)

(2)

解析：（1）当时，解不等式得：

当时，

，此时单调递增；

当时，

，对称轴为直线

此时在单调递减，在单调递增.

在R上连续，所以的单调递增区间为.

（2）由题意可得：函数至少有三个单调区间.

（a）当时，

在单调递减，在单调递增.

此时不存在符合题意；

（b）当时

i）即时，恒成立

则，在单调递减，在单调递增，

此时也不存在符合题意；

ⅱ）即时，记的两根为，

则

在单调递减，在单调递增.

此时也不存在,,符合题意；

（或，当时，结合图像可得必先单调递减再单调递增，只有两个单调区间，则此时不存在,,符合题意）

（c）当时，方程必有两根：

,且

则

结合得：

在单调递增，在单调递减，在单调递增.

此时存在,,符合题意.

记，则有，

此时,,

若，则，与矛盾，所以，

则,为的两根，由韦达定理得：.

（没有说明所在区间直接用韦达定理不给分）

，此时.

无最小值；

无最小值，无最大值，但有上界1.

所以的取值范围为.