高二数学上学期第一次月考模拟试卷-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）

2022-2023高二数学上学期第一次月考模拟试卷

一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线的倾斜角为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】，，，故选：D.

2．过点且垂直于直线的直线方程为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由题意可得直线的斜率为，

则过点且垂直于直线的直线斜率为，

直线方程为，化为一般式为．故选：A．

3．直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，

∵直线经过第一、二、四象限，

∴，∴且．故选：A.

4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】由题意：

，又，，，

∴,故选：B．

5．已知，若共面，则实数的值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】若共面，则，

即，

所以，解得：.故选：B

6．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】，，，，

，．

，

，

，

即的长为.故选：A．

7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，

根据题意，为最短距离，先求出的坐标，

的中点为，直线的斜率为1，

故直线为，

由，解得，，

所以，

故，故选：A.

8．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】如图，，，

所以由图可知，或，

则斜率的取值范围是．故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．已知直线，则下列说法正确的是

A．若，则m=-1或m=3        B．若，则m=3

C．若，则        D．若，则

【答案】BD

【解析】直线，则，解得或，

但时，两直线方程分别为，即，

两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确；

，则，，C错，D正确．

故选：BD．

10．下列说法正确的是（    ）

A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为

B．直线的倾斜角为120°

C．,，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件

D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为

【答案】BCD

【解析】对A，若直线过原点，则方程为：，A错误；

对B，直线斜率为：，则倾斜角为120°，B正确；

对C，直线与直线垂直，

等价于或a=3，C正确；

对D，若直线斜率不存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，

再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，不与原来重合，舍去；

若直线斜率存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，

再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，

因为它回到原来的位置，所以即，D正确.

故选：BCD

11．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ）

A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直

B．若直线的方向向量，平面的法向量，则

C．若平面，的法向量分别为，，则

D．若平面经过三点,,，向量是平面的法向量，则

【答案】AD

【解析】对于A，，

则，所以直线与垂直，故A是真命题；

对于B，，则，

所以或，故B是假命题；

对于C，，所以不成立，故C是假命题；

对于D，易得，，

因为向量是平面的法向量，

所以，即，得，故D是真命题．

故选：AD.

12．（多选题）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ）

A．        B．点必在线段上        C．        D．∥平面

【答案】BD

【解析】对于A，因为点在平面，平面∥平面，

所以点到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，

所以，A错误；

对于B，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则

所以,

因为，

所以，所以，即，

所以,

所以，即三点共线，

所以点必在线段上，B正确；

对于C，因为，

所以，

所以不成立，C错误；

对于D，因为,

所以,

设平面的法向量为，则，

令，则，所以，

所以，所以，

所以∥平面，D正确，

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．点到直线的距离为________.

【答案】

【解析】利用点到直线的距离可得：

故答案为:．

14．已知直线，，若，则实数______.

【答案】3

【解析】因为，

所以，解得.

故答案为：3.

15．设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.

【答案】

【解析】由题意，不妨设

由空间向量分解的唯一性：

故，解得

则

故答案为：

16．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为______.

【答案】

【解析】以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系，

则，

则,.

设平面ABC1的一个法向量为，

则有，

不妨设z=1，解得,

则所求距离为

故答案为：.

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求：

（1）顶点C的坐标；       （2）直线BC的方程．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为边AC上的高BH所在直线方程为

∴ ，且

∴

∵的顶点

∴直线AC方程：，即

与联立， ，解得：

所以顶点C的坐标为

（2）因为CM所在直线方程为

故设点的坐标为

因为是中点，，所以

因为在BH所在直线上

所以，解得：

所以点坐标为

由第一问知：C的坐标为

故直线BC的方程为，整理得：

18．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的

（1）求直线的方程；

（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）直线的倾斜角为，

∴直线的倾斜角为，斜率为，

又直线过点，

∴直线的方程为，即；

（2）设直线的方程为，

则点到直线的距离，

解得或

∴直线的方程为或

19．如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.

【答案】或.

【解析】，四边形为平行四边形，，

，；

与成角，或；；

当时，，解得：；

当时，，解得：；

的长为或.

20．如图，已知四棱锥，底面是矩形，且平面，、分别是、的中点.（用向量法解决下列问题）

（1）求证：，，共面.      （2）求证：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）如图，以为原点，

分别以，，分别为轴，轴，轴的正方向

建立空间直角坐标系，

设，，，

则，，，，，

因为为的中点，为的中点，

所以，，

，，，

所以，

所以，，共面.

（2）因为，

所以，

所以，所以.

21．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）证明：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则

则，

设为平面的一条法向量，

则，可取，

因为，所以，

又平面，

所以平面；

（2）设直线与平面所成的角为，

，

则，

所以直线与平面所成的角的正弦值为.

22．已知三棱柱中，.

（1）求证: 平面平面.

（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.

【解析】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，

而，则是菱形，连接，如图，则有，

因，，平面，

于是得平面，

而平面，则，

由得，，平面，

从而得平面，又平面，

所以平面平面.

（2）在平面内过C作，

由（1）知平面平面，平面平面，

则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴，

建立空间直角坐标系，如图，

因，，

则，

假设在线段上存在符合要求的点P，

设其坐标为，

则有，

设平面的一个法向量，

则有，令得，

而平面的一个法向量，

依题意，，

化简整理得：

而，解得，

所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，

使平面和平面所成角的余弦值为.