山东省青岛市2023届高三下学期第二次适应性检测数学试题（含答案）

山东省青岛市2023届高三下学期第二次适应性检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知为坐标原点，复数，，分别表示向量，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ）

A． B． C． D．

4．某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有（    ）

A．300种 B．210种 C．180种 D．150种

5．在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（    ）

A． B．1 C． D．

6．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（    ）

A． B． C． D．

7．三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．设表示不超过的最大整数（例如：，），则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．底面为菱形的直棱柱各棱长均为2，，点是线段上的动点，点分别是棱的中点，则（    ）

A．直线与为异面直线 B．直线平面

C．存在点，使 D．直线与所成的角为

10．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（    ）

参考公式及数据：①，.②当时，.

A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为

B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为

C．根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联

D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85

11．1807年法国数学家傅里叶指出任何音乐声都是形如的纯音合成的复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递增

D．当时，最小值为0，则

12．已知函数有四个零点，则（    ）

A． B．

C． D．若，则

三、填空题

13．某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为__________.

14．与曲线和圆都相切的直线的方程为__________.

15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则__________.

16．已知动圆和定圆的半径均为1，动圆自初始位置（如图，圆心的坐标为，圆上的点的坐标为，逆时针沿圆滚动，则在滚动过程中，点的纵坐标的最大值为__________.

四、解答题

17．如图1，矩形中，，，为的中点，现将，分别沿，向上翻折，使点，分别到达点，的位置，且平面，平面均与平面垂直（如图2）.

(1)证明：，，，四点共面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

18．在中，角，，所对的边分别为，，，.

(1)求；

(2)若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，将的面积表示为的函数，并求的取值范围.

19．已知数列为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接着复制该项粘贴在后面作为，并添加后继数2作为；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为，，，并添加后继数3作为，…依次继续下去.记表示数列中首次出现时对应的项数.

(1)求数列的通项公式；

(2)求.

20．为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自2018年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计：

（参考数据：）

(1)在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；

(2)通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种模型作为年借阅量关于年份代码的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的经验回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.

21．已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，离心率等于，点是双曲线在第一象限上的点，直线与轴的交点为，的周长等于，.

(1)求的方程；

(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，对应的切点为，.证明：直线与椭圆相切于点，且.

22．已知函数，.

(1)讨论极值点的个数；

(2)若恰有三个零点和两个极值点.

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）若，且，证明：.

参考答案：

1．A

2．C

3．D

4．D

5．A

6．B

7．C

8．B

9．ABC

10．BC

11．BD

12．BCD

13．（中的任意一个数均可）

14．

15．/

16．/

17．(1)证明见解析；

(2).

18．(1)；

(2)，.

19．(1)

(2)

20．(1)分布列见解析，

(2)；模型②的拟合效果更好

21．(1)

(2)证明过程见详解

22．(1)当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点；

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.