考前适应练二　追及相遇问题-备战2023年高考三轮复习专题-复习与训练

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题型一 追及相遇问题
考向1 速度小者追速度大者
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at，所以t＝eq \f(v,a)＝2 s
Δx＝vt－eq \f(1,2)at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－eq \f(1,2)at2
代入已知数据得Δx＝6t－eq \f(3,2)t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s
所以有t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s，Δx＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m.
变式训练1 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，
即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s
此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
汽车B的位移xB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝eq \f(vB,a)＝5 s
运动的位移xB′＝eq \f(vB2,2a)＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝eq \f(Δx,vA)＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－eq \f(1,2)at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7 s(另解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝eq \f(vB,a)＝5 s0，
说明该方程有实数解，即两车会相撞．
法3：图像法 作出两车运动的v－t图像，图中阴影面积Δx表示两车速度相等时的位移差，由图可知Δx＝eq \f(1,2)×3×15 m＝22.5 m>22 m，说明两车会相撞．
8．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车．
答案 (1)75 m (2)12 s
解析 (1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．
则：t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(10,2.5) s＝4 s
x货＝v1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋t1))＝10×(5.5＋4) m＝95 m
x警＝eq \f(1,2)at12＝eq \f(1,2)×2.5×42 m＝20 m
所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m
(2)警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s所用的时间：t2＝eq \f(v,a)＝10 s
此时两车的位移分别为
x警′＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(252,2×2.5) m＝125 m
x货′＝v1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋t2))＝10×(5.5＋10) m＝155 m
两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，则：Δt＝eq \f(Δx′,v－v1)＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车．
9．(2022·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案 (1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
解析 (1)赛车3 s末的速度v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200 m＝eq \f(1,2)a1t22，解得t2＝20 s
此时赛车的速度，v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝eq \f(v0,a1)＝eq \f(10,2) s＝5 s
两车最远相距Δs＝v0t3＋200 m－eq \f(1,2)a1t32＝(10×5＋200－eq \f(1,2)×2×52) m＝225 m.
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－eq \f(1,2)a2t42＝v0t4，解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝eq \f(v,a2)＝eq \f(40,4) s＝10 s
所以t4＝15 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动．
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足eq \f(v2,2a2)＝v0t5，解得t5＝20 s.