2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题02 常用逻辑用语（教师版含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题02 常用逻辑用语（教师版含解析），共16页。试卷主要包含了命题 p 等内容，欢迎下载使用。
专题 02 常用逻辑用语
十年大数据*全景展示


年份
题号
考点
考查内容
2011
课标卷
理 10
命题及其关系
平面向量模与夹角、命题真假判断
2012
新课标
理 2
命题及其关系
复数的概念与运算、命题真假的判定

2014
卷 1
理 9
全称量词与特称量词
二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题
真假的判定
卷 2
文 3
充分条件与必要条件
导数与极值的关系、充要条件的判定
2015
卷 1
理 3
全称量词与特称量词
特称命题的否定
2017
卷 1
理 2
命题及其关系
复数的有关概念与运算

2019
卷 2
理 7
充分条件与必要条件
面面平行的判定与性质、充要条件判定

卷 3

文 11
1. 全称量词与特称量词
2. 简单逻辑联结词
二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题
真假判断、含逻辑联结词命题的判定

2020
卷 2
文理16
简单逻辑联结词
含逻辑联结词命题真假的判断
卷 3
理 16
命题及其关系
命题真假的判断，三角函数图象及其性质

大数据分析*预测高考


考点
出现频率
2021 年预测
考点 5 命题及其关系
4/10
2021 年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻辑连接词的敏体真假判断、特称命题与全称命题真假判断及其否定的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点.
考点 6 简单逻辑联结词
2/10
考点 7 全称量词与特称量词
3/10
考点 8 充分条件与必要条件
2/10

十年试题分类*探求规律



考点 5 命题及其关系

1．(2020 新课标 III 理 16)关于函数 f ( x) = sin x +

1 ．
sin x

① f ( x) 的图像关于 y 轴对称；② f ( x) 的图像关于原点对称；
③ f ( x) 的图像关于 x = p 对称；④ f ( x) 的最小值为2 ．
2
其中所有真命题的序号是 ．

【答案】②③

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的 定义可判断命题③的正误；取-p< x < 0 可判断命题④的正误．综合可得出结论．

【详解】对于命题①， f æ pö = 1 + 2 = 5 ， f æ - pö = - 1 - 2 = - 5 ，则 f æ - pö ¹


f æ pö ，



ç 6 ÷ 2 2
ç 6 ÷ 2 2
ç 6 ÷ ç 6 ÷

è ø è ø è ø è ø

∴函数 f ( x ) 的图象不关于 y 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 f ( x ) 的定义域为{x x ¹ kp, k Î Z} ，定义域关于原点对称，


f (-x ) = sin (-x )+
1 = - sin x -


1 = - æsin x +


1 ö= - f


(x ) ，

sin (-x)
sin x ç
sin x ÷

è ø

∴函数 f ( x ) 的图象关于原点对称，命题②正确；

Q f æ p- x ö = sinæ p- x ö + 1 = cos x + 1

对于命题③，
ç 2 ÷ ç 2
÷ æ p ö


cos x ，

è ø è ø
sin ç
è
- x ÷
2
ø



f æp+ x ö = sin æp+ x ö +1


= cos x + 1


æp ö æp ö

ç 2 ÷ ç 2
÷ æp ö


cos x ，则 f
- x = f


+ x ，



è ø è ø
sin + x
ç 2 ÷ ç 2 ÷

ç 2 ÷
è ø è ø

è ø
∴函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = p对称，命题③正确；对于命题④，当 -p< x < 0 时， sin x < 0 ，则
2

f ( x) = sin x +
1


sin x
< 0 < 2 ，命题④错误，故答案为：②③．

2.(2017 新课标Ⅰ)设有下面四个命题

1
p1 ：若复数 z 满足 z Î R ，则 z Î R ；
2
p ：若复数 z 满足 z2 Î R ，则 z Î R ；
p3 ：若复数 z1 ， z2 满足 z1 z2 Î R ，则 z1 = z2 ；
p4 ：若复数 z Î R ，则 z Î R ． 其中的真命题为

A. p1 ， p3
B. p1 ， p4
C. p2 ， p3
D. p2 ， p4

【答案】B【解析】设 z = a + bi ( a, b Î R )，则 1 =
z
1 =
(a + bi)
a - bi
a 2 + b2

Î R ，得b = 0 ，所以 z Î R ， p1 正

2
确；z2 = (a + bi)2 = a2 - b2 + 2abiÎ R ，则 ab = 0 ，即 a = 0 或b = 0 ，不能确定 z Î R ，p 不正确；若 z Î R ，则b = 0 ，此时 z = a - bi = a Î R ， p4 正确．选 B．
3.(2011 新课标)已知a ， b 均为单位向量，其夹角为q，有下列四个命题

)
p :| a + b |> 1 Û qÎ[0, 2p
1 3
p : | a + b |> 1 Û qÎ ( 2p,p]
2 3



p3 :| a - b |> 1 Û qÎ
p
[0, )
3
p4 : | a - b |> 1 Û qÎ
p
( ,p] 3

其中真命题是
A. p1, p4

B. p1, p3

C. p2 , p3

D. p2 , p4


【答案】A【解析】由 a + b =

a2 + b2 + 2ab cosq =

2 + 2 cosq > 1 得，
cosq> - 1 ，
2

ø
ÞqÎ é0, 2pö 。由 a - b = a2 + b2 - 2ab cosq = 2 - 2 cosq > 1得cosq< 1
ëê 3 ÷ 2
ÞqÎæp pù ．选 A．

ç 3 , ú
è û
4.(2012 新课标，理 3)下面是关于复数 z = 2 的四个命题： p ：| z |=2； p ： z2 = 2i ； p ： z 的共轭复


-1+ i
数为1+ i ； p4 ： z 的虚部为－1；其中真命题为
1 2 3

A . p2 , p3
B . p1 , p2
C . p2 , p4
D . p3 , p4

2
【答案】C.【解析】∵ z = -1+ i

= -1- i ,∴| z |=

2
2
， z2 = 2i ， z 的共轭复数为-1+ i ，虚部为－1，故 p ，


p4 是真命题，故选 C.
5.(2014 陕西)原命题为“若 an + an+1 < a ， n Î N ，则{a }为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题

2 n + n
真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
【答案】A【解析】 从原命题的真假人手，由于 an + an+1 < a Û a < a Û {a }为递减数列，即原命题

2 n n+1 n n

和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选 A．
6.(2014 江西)下列叙述中正确的是
A. 若 a, b, c Î R ，则"ax2 + bx + c ³ 0" 的充分条件是"b2 - 4ac £ 0"
B. 若 a, b, c Î R ，则"ab2 > cb2 "的充要条件是"a > c"
C. 命题“对任意 x Î R ，有 x2 ³ 0 ”的否定是“存在 x Î R ，有 x2 ³ 0 ”

D. l 是一条直线，a,b是两个不同的平面，若l ^ a, l ^ b，则a/ /b


【答案】D【解析】
"b2 - 4ac £ 0" 推不出"ax2 + bx + c ³ 0"，因为与 a 的符号不确定，所以 A 不正确；

当b2 = 0 时，由"a > c" 推不出"ab2 > cb2 "，所以 B 不正确；“对任意 x Î R ，有 x2 ³ 0 ”的否定是“存在 x Î R ，有 x < 0 ”，所以 C 不正确．选 D．
7.(2013 陕西文)设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是
A．若 z2 ³ 0 , 则 z 是实数 B．若 z2 < 0 , 则 z 是虚数

C．若 z 是虚数, 则 z2 ³ 0 D．若 z 是纯虚数, 则 z2 < 0

【答案】C【解析】设z = a + bi, a, b Î R Þ z 2 = a 2 - b 2 + 2abi ．


对选项 A: 对选项 B: 对选项 C:
对选项 D:
若z 2 ³ 0,则b = 0 Þ z为实数,所以 z为实数为真．
若z 2 < 0,则a = 0, 且b ¹ 0 Þ z为纯虚数,所以 z为纯虚数为真．
若z为纯虚数,则a = 0, 且b ¹ 0 Þ z 2 < 0 ,所以 z 2 ³ 0 为假．
若z为纯虚数,则a = 0, 且b ¹ 0 Þ z 2 < 0 ,所以 z 2 < 0 为真．所以选 C．

8.(2012 湖南)命题“若a= p，则tana= 1”的逆否命题是
4

A．若a¹ p ，则tana¹ 1
4
C．若tana¹ 1 ，则a¹ p
4
B．若a= p，则tana¹ 1
4
D．若tana¹ 1 ，则a= p
4

【答案】C【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若Ø p ，则Øq ”，所以 “若a= p，则tana= 1”的逆
4


p
否命题是 “若tana¹ 1 ，则a¹ ”．
4
9.(2012 福建)下列命题中，真命题是
0
A. $x Î R, ex0 „ 0
C． a + b = 0 的充要条件是 a = -1
b



B. "x Î R, 2x > x 2

D． a > 1, b > 1是 ab > 1 的充分条件

【答案】D【解析】∵ "x Î R, ex > 0 ，故排除 A；取 x=2,则22 = 22 ，故排除 B； a + b = 0 ，取 a = b = 0 ，
a

则不能推出
b
= -1 ，故排除 C；应选 D．

10.(2011 山东)已知 a, b, c Î R ，命题“若 a + b + c =3，则 a2 + b2 + c2 ≥3”，的否命题是
A．若 a + b + c ¹ 3 ，则 a2 + b2 + c2 0 ， x +1 > 1，所以ln(x +1) > 0 ，所以 p 为真命题；若 a > b > 0 ，则 a2 > b2 ， 若b < a < 0 ，则0 < -a < -b ，所以 a2 < b2 ，所以q 为假命题．所以 p ÙØ q 为真命题．选 B．
4.(2017 山东)已知命题 p ： "x > 0 ， ln(x +1) > 0 ；命题 q ：若 a > b ，则 a2 > b2 ，下列命题为真命题的


是
A. p Ù q

B. p ÙØ q

C. Ø p Ù q

D. Ø p ÙØ q

【答案】B【解析】"x > 0 ， x +1 > 1，所以ln(x +1) > 0 ，所以 p 为真命题；若 a > b > 0 ，则 a2 > b2 ， 若b < a < 0 ，则0 < -a < -b ，所以 a2 < b2 ，所以q 为假命题．所以 p ÙØ q 为真命题．选 B．
5.(2014 湖南)已知命题 p ：若 x > y ，则 - x < - y ；命题q ：若 x > y ，则 x2 > y2 ．在命题① p Ù q ② p Ú q
③ p Ù (Øq) ④ (Øp) Ú q 中，真命题是

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C【解析】由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题q 为假命题，故① p Ù q 为假命题，② p Ú q 为真命题，③ Øq 为真命题，则 p Ù (Øq) 为真命题，④ Ø p 为假命题，则(Øp) Ú q 为假命题，所以选 C． 6.(2013 湖北)在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”， q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A． (Øp) Ú (Øq)
B． p Ú (Øq)
C． (Øp) Ù (Øq)
D． p Ú q


【答案】A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．
p p

7.(2012 山东)设命题 p：函数 y = sin 2x 的最小正周期为 2 ；命题 q：函数 y = cos x 的图象关于直线 x = 2 对
称.则下列判断正确的是
A．p 为真 B． Øq 为假 C． p Ù q 为假 D． p Ú q 为真
C【解析】∵命题 p 为假,命题 q 也为假,∴ p Ù q 为假 ，故选 C．
考点 7 全称量词与特称量词
1.(2015 新课标)设命题 p ： $n Î N ， n2 > 2n ，则Ø p 为

A． "n Î N , n2 > 2n
C． "n Î N , n2 ≤ 2n
B． $n Î N , n2 ≤ 2n
D． $n Î N , n2 = 2n

【答案】C【解析】命题 p 是一个特称命题，其否定是全称命题．
ìx + y ³ 1
î
2.(2014 新课标卷 1，理 9)9 不等式组íx - 2 y £ 4 的解集记为 D .有下面四个命题：
p1 ： "(x, y) Î D, x + 2 y ³ -2 ， p2 ： $(x, y) Î D, x + 2 y ³ 2 ,

P3 ： "(x, y) Î D, x + 2 y £ 3 ， p4 ： $(x, y) Î D, x + 2 y £ -1.
其中真命题是

A . p2 ， P3
【答案】C
B . p1 ， p4
C . p1 ， p2
D . p1 ， P3

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0 ： x + 2 y = 0 ，平移l0 ，由图可知，当直线：x + 2 y = z 过 A(2, -1) 时， zmin = -2 + 2 = 0
∴ z ³ 0 ，∴命题 p1 、 p2 真命题，选 C.
3.(2014 福建)命题“ "x Î[0, +¥).x3 + x ³ 0 ”的否定是
A． "x Î(0, +¥).x3 + x < 0 B． "x Î(-¥, 0).x3 + x ³ 0
C． $x Î[0, +¥).x 3 + x < 0 D． $x Î[0, +¥).x 3 + x ³ 0
0 0 0 0 0 0
【答案】C【解析】 把量词“ " ”改为“ $ ”，把结论否定，故选 C
4.(2013 重庆)命题“对任意 x Î R ，都有 x2 ³ 0 ”的否定为
A．对任意 x Î R ，都有 x2 < 0 B．不存在 x Î R ，都有 x2 < 0

C. 存在 x0
Î R ，使得 x 2 ³ 0
D. 存在 x0
Î R ，使得 x 2 < 0

0
0
【答案】D【解析】否定为：存在 x0 Î R ，使得 x < 0 ，故选 D．
0
2
5．(2013 四川)设 x Î Z ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集，若命题 p ： "x Î A, 2x Î B ，则

A． Ø p ： "x Î A, 2x Ï B
C． Ø p ： "x Ï A，2x Î B
B． Ø p ： "x Ï A，2x Ï B
D． Ø p ： "x Î A，2x Ï B

【答案】C【解析】由命题的否定易知选 C．
6.(2012 湖北)命题“ $x Îð Q ， x 3 ÎQ ”的否定是
0 R 0
A． $x Ïð Q ， x 3 ÎQ B． $x Îð Q ， x 3 ÏQ
0 R 0 0 R 0
C． "x Ïð Q ， x3 Î Q D． "x Îð Q ， x3 Ï Q
R R
【答案】D【解析】存在性命题的否定为“ $ ”改为“ " ”，后面结论加以否定，故为"x0 Î CRQ,x03 Ï Q ．
7.(2012 湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A. 任意一个有理数，它的平方是有理数
B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
C. 存在一个有理数，它的平方是有理数
D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定 为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选 B．

8.(2011 安徽)命题“所有能被 2 整聊的整数都是偶数”的否．定．是
A．所有不能被 2 整除的数都是偶数 B．所有能被 2 整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被 2 整除的数都是偶数 D．存在一个能被 2 整除的数都不是偶数
p
【答案】D【解析】 根据定义容易知 D 正确．

9.(2015 山东)若“ "x Î[0, ]， tan x ≤ m ”是真命题，则实数 m 的最小值为 ．
4

p p
【答案】1【解析】“ "x Î[0, ]， tan x £ m ”是真命题，则 m ³ tan
4 4
考点 8 充分条件与必要条件

= 1 ，于是实数m 的最小值为 1。


1．(2020 年高考浙江卷 6)已知空间中不过同一点的三条直线 m , n , l ，则“ m , n , l 在同一平面”是“ m , n , l
两两相交”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件．

【详解】解法一：由条件可知当 m, n, l 在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线m, n, l 两两相交，如图，

三个不同的交点确定一个平面，则 m, n, l 在同一平面，∴“ m, n, l ”在同一平面是“ m, n, l 两两相交”的必要不充分条件，故选 B．
解法二：依题意m, n, l 是空间不过同一点的三条直线，
当m, n, l 在同一平面时，可能 m//n//l ，故不能得出 m, n, l 两两相交．
当m, n, l 两两相交时，设 m Ç n = A, m Ç l = B, n Ç l = C ，根据公理2 可知 m, n 确定一个平面a，而
B Î m Ì a, C Î l Ì a，根据公理1可知，直线 BC 即l Ìa，∴ m, n, l 在同一平面． 综上所述，“ m, n, l 在同一平面”是“ m, n, l 两两相交”的必要不充分条件．故选 B． 2．(2020 年高考天津卷 2)设 a Î R ，则“ a > 1 ”是“ a2 > a ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A
【解析】解二次不等式 a2 > a 可得： a > 1或 a < 0 ，据此可知： a > 1 是 a2 > a 的充分不必要条件，故选 A． 3．(2020 年高考上海卷 16)命题 p : 若存在 a Î R 且 a ¹ 0 ，对任意的 x Î R ，均有 f (x + a) < f (x) + f (a) 恒

成立，已 知命题 q1 :
f (x) 单调递减，且 f (x) > 0 恒成立；命题 q2 :
f (x) 单调递减，存在 x0 < 0 使得


f (x0 ) = 0 ，则下列说法正确的是( )

A． q1 , q2 都是 p 的充分条件 B．只有q1 是 p 的充分条件

C． 只有 q2 是 p 的充分条件 D． q1 , q2 都不是 p 的充分条件

【答案】A
【解析】q1 : 当 a > 0 ， f (a) > 0 ，因为函数 f ( x) 单调递减，所以 f ( x + a) < f ( x) < f ( x) + f (a) ，即
f ( x + a) < f ( x) + f (a)，存在 a > 0 ，当满足命题 q1 时，使命题 p 成立，


q2 :
当a = x0 < 0 时， f (a) = 0
，因为函数 f ( x) 单调递增，所以 f ( x + a) < f ( x) = f ( x) + f (a) ，即


f ( x + a) < f ( x) + f (a)，存在 a < 0 ，当满足命题 q2 时，命题 p 成立， 综上可知命题 q1 、q2 都是命题 p 的充分条件，故选 A．
4．(2020 年高考北京卷 9)

已知a,bÎ R ，则“存在 k Î Z ，使得a= kπ + (-1)k b”是“ sina= sin b”的 ( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C

【解析】∵a= kp+ (-1)k b，且 y = sin x 周期为2p，∴当 k 为偶数时，a与b终边相同，

∴ sina= sin b一定成立，

当 k 为奇数时，则a= kp- b，∴ sina= sin b成立，充分条件成立．

反之，当sina= sin b时，a与b终边相同，或a与b终边关于 y 轴对称，∴必要条件也成立，故选 C．
5.(2019 全国Ⅱ理 7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于 A，a内有无数条直线与b平行，则a与b相交或a∥b，排除； 对于 B，a内有两条相交直线与b平行，则a∥b；
对于 C，a， b平行于同一条直线，则a与b相交或a∥b，排除；
对于 D，a， b垂直于同一平面，则a与b相交或a∥b，排除．故选 B．
6.(2014 新课标 2)函数 f (x) 在 x=x0 处导数存在，若 p：f ¢( x0 ) = 0 ， q : x = x0 是 f (x) 的极值点，则
A． p 是 q 的充分必要条件 B． p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件
C． p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 D． p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【答案】C【解析】设 f (x) = x3 ， f ¢(0) = 0 ，但是 f (x) 是单调增函数，在 x = 0 处不存在极值，故若 p 则
q 是一个假命题，由极值的定义可得若 q 则 p 是一个真命题，故选 C．
7.(2019 天津理 3)设 x Î R ，则“ x2 - 5x < 0 ”是“| x -1|< 1”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】【解析】由 x2 - 5x < 0 ，可得0 < x < 5 ，由 x -1 < 1 ，得0 < x < 2 ，因为0 < x < 5 不能推出0 < x < 2 ，但0 < x < 2 可以推出0 < x < 5 ， 所以0 < x < 5 是0 < x < 2 的必要不充分条件， 即0 < x < 5 是 x -1 < 1 的必要不充分条件，故选 B．
8.(2019 北京文 6) 设函数 f(x)=cosx+bsinx(b 为常数)，则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】 若b = 0 ，则 f ( x) = cos x 是偶函数；反之，若 f ( x) 为偶函数，则 f (-x) = f ( x) ， 即cos(-x) + b sin (-x) = cos x - b sin x = cos x + b sin x ，即b sin x = 0 对"x 成立，
可得b = 0 ，故“ b = 0 ”是“ f ( x) 为偶函数”的充分必要条件.故选 C.
AB AC BC
9.(2019 北京理 7)设点A,B,C不共线，则“ 与 的夹角是锐角”是“ uuur + uuur > uuur ”的
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
uur uuur uuur uur uuur uur uuur
【答案】C【解析】点 A，B，C 三点不共线， AB + AC > BC Û AB + AC > AB - AC

uur uuur 2
Û AB + AC >
uur uuur 2
AB - AC
uur uuur
Û AB × AC > 0 Û

“ AB 与 AC 的夹角为锐角”.

uur uuur uuur

所以“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“ AB + AC > BC
的充要条件．故选 C．


10.(2019 浙江 5)若 a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A【解析 】 因为a＞0，b＞0，若a+b≤4，则 2
ab„a + b„4 ，则 ab„4 ，即 a + b„4 Þ ab„4 .

反之，若 ab„4 ，取 a = 1 ，b = 4 ，则 ab = 4„4 ，但 a + b = 5 ，即 ab„4 推不出a+b≤4，所以a+b≤4是 ab„4的充分不必要条件.故选A．
11.(2018 北京)设a ， b 均为单位向量，则“ a - 3b = 3a + b ”是“ a ⊥ b ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】∵ a - 3b = 3a + b ，∴ (a - 3b)2 = (3a + b)2 ，∴ a2 - 6a × b + 9b2 =
9a2 + 6a × b + b2 ，又| a |=| b |= 1，∴ a × b = 0 ，∴ a ^ b ；反之也成立，故选 C．
12.(2018 上海)已知 a Î R ，则“ a > 1”是“ 1 < 1 ”的( )
a
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A【解析】由 a > 1可得 1
a
1
< 1 成立；当 1
a

< 1 ，即
1 1- a
< > >
-1 = < 0 ，解得 a 0 或 a 1，推不出 a 1
a a

一定成立；所以“ a > 1”是“
a
< 1 ”的充分非必要条件．故选 A．

13.(2017 浙江)已知等差数列{an } 的公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，则“ d > 0 ”
是“ S4 +S6 > 2S5 ”的
A. 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】∵ (S6 - S5 ) - (S5 - S4 ) = a6 - a5 = d ，当 d > 0 ，可得 S4 +S6 > 2S5 ；当 S4 +S6 > 2S5 ， 可得 d > 0 ．所以“ d > 0 ”是“ S4 +S6 > 2S5 ” 充分必要条件，选 C．

14.(2017 天津)设qÎ R ，则“|q-
π |< π ”是“ sinq< 1 ”的

12 12 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


【答案】A【解析】由|q-
π |< π ，得0 < 0 的充要条件是cos < m, n >< 0 ．因为l< 0 ，则由 m = ln 可知 m, n 的方向相反，< m, n >= 180o ，所以cos < m, n >< 0 ， 所以“存在负数l，使得 m = ln ”可推出“ m × n < 0 ”；而 m × n < 0 可推出cos < m, n >< 0 ，但不一定推出
m, n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数l，使得 m = ln ”，所以“存在负数l，使得 m = ln ”是“ m × n < 0 ”的充分而不必要条件．
16．(2016 年北京)设a, b 是向量，则“|a|=|b| ”是“| a + b |=| a - b | ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D【解析】取a = -b ¹ 0 ，则| a |=| b |¹ 0 ， | a + b |=| 0 |= 0 ，| a - b |=| 2a |¹ 0 ， 所以| a + b |¹| a - b |，故由| a |=| b | 推不出| a + b |=| a - b |．由| a + b |=| a - b |，
得| a + b |2 =| a - b |2 ，整理得 a × b = 0 ，所以a ^ b ，不一定能得出| a |=| b | ，
故由| a + b |=| a - b | 推不出| a |=| b | ，故“| a |=| b | ”是“| a + b |=| a - b |”的既不充分也不必要条件，故选 D．
17．(2016 年山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β 相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】若直线a, b 相交，设交点为 P ，则 P Î a, P Î b ，又 a Ì a, b Ì b，所以
P Îa, P Îb，故a,b相交．反之，若a,b相交，则 a, b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选 A．
18．(2016 年天津) 设{an } 是首项为正数的等比数列， 公比为 q ， 则“ q < 0 ”是“ 对任意的正整数 n ，
a2n-1 + a2n < 0 ” 的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C【解析】由题意得， an
= a qn-1 (a
> 0) ， a
2n-1 + a2n
= a q2n-2 + a q2n-1 =

1 1
1 1
1
1
a q2n-2 (1+ q) ，若 q < 0 ，因为1 + q 得符号不定，所以无法判断 a
2n-1 + a2n

的符号；

反之，若a
2 n -1 + a2 n
< 0 ，即a q2( n-1) (q + 1) < 0 ，可得 q < -1 < 0 ，

故“ q < 0 ”是“对任意的正整数 n ， a2n-1 + a2n < 0 ”的必要不充分条件，故选 C.
19(2015 安徽)设 p ：1 < x < 2 ， q ： 2x > 1 ，则 p 是 q 成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】由 q : 2x > 20 ，解得 x > 0 ，易知， p 能推出 q ，但q 不能推出 p ，故 p 是q 成立的充分不必要条件，选 A．
20．(2015 重庆)“ x > 1 ”是“ log 1 ( x + 2) < 0 ”的
2

A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】log 1 ( x + 2) < 0 Û x + 2 > 1 Û x > -1 ，因此选 B．
2

21．(2015 天津)设 x Î R
，则“ x - 2 < 1
”是“ x2 + x - 2 > 0 ”的


A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】解不等式| x - 2 |< 1可得，1 < x < 3 ，解不等式 x2 + x - 2 > 0 可得， x < -2 或 x > 1 ，

所以“ x - 2 < 1
”是“ x2 + x - 2 > 0

”的充分而不必要条件．


22.( 2015 北京)设a， b是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂a．“ m ∥ b”是“a∥ b”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】因为a， b是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂a．若“ m P b”，则平面a、b 可能相交也可能平行，不能推出a∥ b，反过来若a∥ b，m Ìa，则有 m ∥ b，则“ m ∥ b”是“a∥ b”的必要 而不充分条件．
23．(2015 陕西)“ sina= cosa”是“ cos 2a= 0 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A 【解析】因为 cos 2a= cos2 a- sin2 a= 0 ， 所以 sina= cosa 或 sina= -cosa ， 因为“ sina= cosa ” Þ “ cos 2a= 0 ” ， 但“ sina= cosa ” Ü/ “ cos 2a= 0 ” ， 所以“ sina= cosa ” 是 “ cos 2a= 0 ”的充分不必要条件，故选 A．
24.(2014 广东)在DABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“ a £ b ”是“ sinA £ sin B ”的
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件


【答案】A【解析】由正弦定理
a


sin A
= b
sin B
，故“ a £ b ” Û “ sinA £ sin B ”．

25(2014 浙江)已知i 是虚数单位， a, b Î R ,则“ a = b = 1 ”是“ (a + bi)2 = 2i ”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】.A【解析】 当 a = b = 1 时，(a + bi)2 = (1+ i)2 = 2i ，反之，若(a + bi)2 = 2i ，则有 a = b = -1 或
a = b = 1 ，因此选 A．
26.(2013 安徽)“ a ≤ 0 ”是“函数 f (x)= (ax-1)x 在区间(0,+¥) 内单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】当 a=0 时， f ( x) = x ，∴ f ( x) 在区间(0, +¥) 内单调递增；当a < 0 时，

f ( x) = a æ x - 1 ö x 中一个根 1 < 0 ，另一个根为0 ，由图象可知 f ( x) 在区间
ç a ÷ a
è ø
(0, +¥) 内单调递增；∴"a £ 0" 是“函数 f (x)= (ax-1)x 在区间(0,+¥) 内单调递增”的充分条件，相反，当

f ( x) = a æ x - 1 ö x 在区间(0,+¥) 内单调递增，∴ a = 0 或 1 < 0 ，即 a £ 0 ；"a £ 0" 是“函数
ç a ÷ a
è ø
f (x)= (ax-1)x 在区间(0,+¥) 内单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选 C．
27．(2013 北京)“j= p”是“曲线 y = sin (2x +j) 过坐标原点的”
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】当j= p时， y = -sin 2x 过原点； y = sin (2x +j) 过原点，则j= ×××, -p, 0,p,××× 等无数个值．选 A．
28.(2013 浙江)已知函数 f (x) = A cos(wx +j)( A > 0,w> 0,jÎ R) ，则“ f (x) 是奇函数”是j= p 的
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】由 f(x)是奇函数可知 f(0)=0，即 cosφ=0，解出φ=π+kπ，kÎZ，所以选项 B 正确．
2
29．(2012 安徽)设平面a与平面b相交于直线 m ，直线a 在平面a内，直线b 在平面b内，且b ^ m ，则
“a^ b”是“ a ^ b ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
【答案】A【解析】①a^ b, b ^ m,aÇ b= m, b Ì b Þ b ^ a, a Ì aÞ b ^ a

②如果 a / /m ；∵ b ^ m ，一定有 a ^ b 但不能保证b ^a，既不能推出a^ b
30.(2012 北京)设 a,b Î R ，“ a = 0 ”是“复数 a + bi 是纯虚数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】a = 0 时 a + bi 不一定是纯虚数，但 a + bi 是纯虚数 a = 0 一定成立，故“ a = 0 ”是“复数 a + bi 是 纯 虚 数 ” 的 必 要 而 不 充 分 条 件 ． 31.(2012 山东)设 a > 0 且 a ¹ 1，则“函数 f (x) = a x 在 R 上是减函数”是“ g(x) = (2 - a)x3 在 R 上是增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】p：“函数 f (x) = a x 在 R 上是减函数 ”等价于0 < a < 1；q：“函数 g(x) = (2 - a)x3 在 R 上是增函数”等价于 2 - a > 0 ，即0 < a < 2, 且 a≠1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件．选 A． 32.(2011 湖南)设集合 M = {1, 2}, N = {a2 }, 则 “ a = 1”是“ N Í M ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A【解析】显然 a = 1时一定有 N Í M ，反之则不一定成立，如 a = -1，故“ a = 1”是“ N Í M ” 充分不必要条件．