浙江省绍兴市嵊州市2022-2023学年高三数学下学期5月高考适应性试题（Word版附答案）

绝密★考试结束前

2023年5月嵊州市高（选）考科目适应性考试

数学试卷

本试题卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷己和答题纸规定的位置上；答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，且，则（    ）

A.1    B.2    C.4    D.8

3.在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（参考数据：）（    ）

A.2.1天    B.2.4天    C.2.9天    D.3.6天

5.设函数的最小正周期为，若，且的图象关于点对称，则（    ）

A.    B.的图象关于直线对称

C.在区间上是减函数    D.在区间上有且仅有两个极值点

6.已知函数若，且，则的最小值是（    ）

A.    B.    C.    D.2

7.已知函数有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，则实数的值可以是（    ）

A.0    B.    C.    D.

8.在中，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为1，则直线与平面所成角的正弦值是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.给出以下四个说法，正确的有（    ）

A.如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个

B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

C.在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

D.设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上

10.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，是棱上的一动点，则（    ）

A.存在点，使得

B.对任意的点

C.存在点，使得直线与平面所成角的大小是

D.对任意的点，三棱锥的体积是定值

11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究士星及其卫星的远行规律时发现的.在平面直角坐标系中，设到与两点的距离之积为2的点的轨迹为曲线，则（    ）

A.

B.曲线关于原点对称

C.曲线围成的面积不大于7

D.曲线C上任意两点之间的距离不大于3

12.已知，若，其中是自然对数的底数，则（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分.

13.已知，若是关于的实系数方程的一个根，其中是虚数单位，则__________.

14.已知的展开式的所有项的系数的和为64，则展开式中含的项的系数为__________.

15.已知圆在椭圆的内部，为上的一个动点，过作的一条切线，交于另一点，切点为，若当为的中点时，直线的倾斜角恰好为，则该椭圆的离心率__________.

16.某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列：第三行得到数列，则第5行从左数起第8个数的值为__________；表示第行所有项的乘积，设，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

如图，在直四棱柱中，在棱上，满足在棱上，满足.

（1）当时，证明：平面；

（2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的值.

18.（12分）

在中，分别是角的对边，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若是锐角三角形，求的取值范围.

19.（12分）

已知等差数列的前项的和为，且，数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，集合，且，求中所有元素的和.

20.（12分）

为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.

（1）求甲同学前3次答题得分之和为70分的概率；

（2）在甲同学完成5次答题，且第2次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于90分的概率；

（3）记甲同学第次答题所得分数的数学期望为求，并写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.

21.（12分）

已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标.

22.（12分）

已知过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，线段的中点坐标为，其中是自然对数的底数.

（1）若，证明：；

（2）若，证明：

2023年5月嵊州市普高学业质量调测

高三数学参考答案与评分建议

一､选择题

1.A    2.C    3.B    4.D    5.C    6.B    7.B    8.D

二､多项选择题

9.BCD    10.BD    11.BC    12.ACD

三､填空题

13.0    14.15    15.    16.8，365

四､解答题

17.【解析】（1）证明：

方法1：利用线面平行的判定定理证明.

在棱上取，使得，连接.

因为，所以，且.

当时，，则，且，

所以，

所以四边形是平行四边形，所以.

又因为平面平面，

所以平面.

方法2：利用面面平行的性质定理证明.

在棱上取，使得，连接.

因为，所以.

所以平面.

又因为，且，所以四边形是平行四边形，

所以，从而平面.

所以平面平面.

所以平面.

（2）取的中点，则.分别以射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以.

因为，所以，所以.

设是平面的法向量，

则，可取.

不难得到：平面的一个法向量为.

所以，化简得：，

解得，或.因为，所以.

18.【解析】（1）因为，所以，即.

又因为，所以.

又，解得.

（2）因为是锐角三角形，所以，且，

解得.

因为，所以

于是，

其中.

所以当时，.

又当时，.当时，，

所以的取值范围是.

19.【解析】（1）设等差数列的公差为，则.

又，所以，即.

解得

所以.

，

所以.

因为，所以，故都是集合中的元素.

又，则由得.

所以都是集合中的元素.

综上所述：.

20.【解析】（1）前3答题的正误结果分别为：对对错，错对对，

所以所求概率为.

（2）在甲同学完成5次答题，且在第2次答题答对的条件下，答题得分之和不大于90分的情形有以下5种：错对错错错，对对错错错，错对对错错，错对错对错，错对错错对，

故所求概率为.

（3）的取值可以是20，10，且，

所以.

与满足的等量关系式：.

21.【解析】（1）设，则直线的斜率是，直线的斜率是，

所以，化简整理得：.

（2）设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，

直线的方程分别为和，且，即.

联立方程组消去化简整理得：，

所以，解得，所以.

联立方程组消去化简整理得：，

所以，解得，所以.

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为.

化简得：，

所以直线经过定点.

22.【解析】的导数为.

设，则曲线在处的切线方程为.

因为切线过点，所以①.

同理②.

所以是方程的两个不等实根.

（1）当时，.

设，则，

所以当时，，

此时递增；当时，此时递减.

因为函数有两个零点，所以在区间和上各有一个零点，

所以，解得.

又因为当时，，

要使得在区间上有一个零点，须有，即.

综上：.

（2）由①②可知：，

于是

不妨设，则，

则.

又，所以.

设，则，

所以在区间上是增函数，

所以当时，，即当时，.（*）

而，所以.

又由和得：

.

而.

所以

一方面，由可知：当时，，

结合可知.

另一方面，设，

则，

又当时，，所以当时，，

所以在区间上是增函数，

所以当时，，即当时，，

所以.

故，即.

综上所述.