广西北海市海城区2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份广西北海市海城区2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷，共14页。
2022-2023学年广西北海市海城区八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如果有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≤0 C．a≥3 D．a≤3
4．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．120° B．90° C．60° D．30°
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠ACD＝（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（3分）将一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝12化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），其中c的值是（　　）
A．﹣18 B．﹣6 C．6 D．18
7．（3分）下列图各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，15
8．（3分）若将方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a+b的值是（　　）
A．﹣17 B．﹣11 C．2 D．11
9．（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　）

A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2
C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　）

A．一直增大 B．不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）
11．（2分）分解因式：3m2﹣3＝　 　．
12．（2分）七边形所有内角的度数之和是 　 　°．
13．（2分）化简所得的结果是 　 　．
14．（2分）已知一组数据2，2，8，x，7，4的中位数为5，则x的值是 　 　．
15．（2分）如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是　 　 　cm．

16．（2分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　．

17．（2分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则AE＝　 　cm．

三．解答题（共9小题，满分76分）
18．（12分）计算：
（1）；
（2）．
19．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，求四边形CODE的周长．

20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．

21．（7分）已知关于x的一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．
22．（7分）如图，一次函数y＝x+3的图象l1与x轴相交于点B，与过点A（3，0）的一次函数的图象l2相交于点C（1，m）．
（1）求一次函数图象l2相应的函数表达式；
（2）求△ABC的面积．

23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．

24．（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需135元；购进3本A类图书和4本B类图书共需305元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划购进A，B两类图书共90本，且A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的．已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为58元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
25．（10分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC＝12，∠ACO＝30°．
（1）求B点的坐标；
（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求四边形ADCE的周长；
（3）若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，．点E从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（t＞0）．过点F作FD⊥BC于点D，连接DE，EF，AD．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）当t为何值时，AD⊥EF；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．


2022-2023学年广西北海市海城区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．【解答】解：A、原式＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、原式＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
故选：D．
3．【解答】解：如果有意义，则a﹣3≥0，
解，得a≥3．
故选：C．
4．【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣60°＝30°．
故选：D．
5．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝AB，
∴∠A＝∠ACD＝20°，
故选：B．
6．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝12，
x2+3x﹣2x﹣6﹣12＝0，
x2+x﹣18＝0，
所以c＝﹣18，
故选：A．
7．【解答】解：A、∵62+82≠122，
∴6，8，812不是一组勾股数，不符合题意；
B、∵0.6，0.8不是正整数，
∴0.6，0.8，1不是一组勾股数，不符合题意；
C、∵82+152＝172≠162，
∴8，15，17不是一组勾股数，不符合题意；
D、∵92+122＝152，
∴9，12，15是一组勾股数，符合题意．
故选：D．
8．【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝5，
则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，
∴a＝﹣3，b＝14，
则a+b＝﹣3+14＝11，
故选：D．
9．【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x﹣1）2+52＝x2，
故选：B．
10．【解答】解：如图，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA＝∠PFA＝90°，
∵∠A＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．

二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）
11．【解答】解：原式＝3（m2﹣1）
＝3（m+1）（m﹣1）．
故答案为：3（m+1）（m﹣1）．
12．【解答】解：七边形内角和的度数为（7﹣2）×180°＝900°．
故答案为：900．
13．【解答】解：＝＝4．
故答案为：4．
14．【解答】解：∵数据2，2，8，x，7，4的中位数为5，
∴，
∴x＝6，
故答案为：6．
15．【解答】解：如图，∵直线a∥b∥c，AB⊥a，
∴AB⊥b，AB⊥c，
∵a与b的距离为2cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为2cm+3cm＝5cm．
故答案是：5．
16．【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△BCD＝•BC×DF＝×4×2＝4
故答案为：4．
17．【解答】解：设DE＝x（cm），则BE＝DE＝x（cm），AE＝10﹣x（cm），
在Rt△ABE中AB2+AE2＝BE2，
即42+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝，
所以AE＝10﹣＝（cm）．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分76分）
18．【解答】解：（1）原式＝＝＝；
（2）原式＝＝＝＝．
19．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC＝AC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．
20．【解答】证明：连接BE，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE＝∠A＝90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE＝∠DBE．
∴点E在∠ABC的角平分线上．

21．【解答】解：（1）把原点（0，0）代入，得m﹣5＝0
解得m＝5；

（2）由题意，得．
解得3＜m＜5．
22．【解答】解：（1）∵点C（1，m）在一次函数y＝x+3的图象上，
∴m＝1+3＝4，
∴点C（1，4），
设一次函数图象l2相应的函数表达式为y＝kx+b，
把点A（3，0），C（1，4）代入得，
解得，
∴一次函数图象l2相应的函数表达式y＝﹣2x+6；
（2）∵一次函数y＝x+3的图象l1与x轴交于点B，
∴当y＝0时，0＝x+3，解得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∵A（3，0），C（1，4），
∴AB＝6，
∴S△ABC＝×6×4＝12．
23．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝2，
即OE的长为2．
24．【解答】解：（1）设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，
根据题意得：，
解得，
答：A类图书每本的进价是35元，B类图书每本的进价是50元；
（2）设购进A类图书x本，获得利润为y元，
根据题意得：y＝（40﹣35）x+（58﹣50）（90﹣x）＝5x+720﹣8x＝﹣3x+720，
∵A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的，
∴x≥（90﹣x），
解得x≥30，
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝30时，y有最大值，最大值为630，
此时90﹣x＝60，
答：该书店购进A类图书30本，B类图书60本时所获利润最大，最大利润为630元．
25．【解答】解：（1）在直角△OAC中，ACO＝30°，AC＝12，
∴OA＝6，
则OC＝＝6，
故B的坐标是（6，6）；
（2）∵折叠
∴直线DE是AC的中垂线，AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
∴AD＝DC＝CB＝AE，
设CD＝x＝AD，
则OD＝6﹣x，
在Rt△AOD中，AD2＝AO2+OD2
∴x2＝36+（6﹣x）2
解得：x＝4，
即AD＝4，
∴四边形ABCD的周长＝4AD＝16；
（3）OF＝AC＝6，
∵直线DE的斜率是：．
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
则∠NOC＝60°或120°．
当∠NOC＝60°时，过N作NG⊥y轴，则NG＝ON•sin30°＝6×＝3，
OG＝ON•cos30°＝6×＝3，则N的坐标是（3，3）；
当∠NOC＝120°时，与当∠NOC＝60°时关于原点对称，则坐标是（﹣3，﹣3）；
当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称．
∵F的坐标是（3，3），
∴∠FOD＝∠NOF＝30°，
在直角△ONH中，OH＝OF＝3，ON＝＝＝2．
作NL⊥y轴于点L．
在直角△ONL中，∠NOL＝30°，
则NL＝ON＝，
OL＝ON•cos30°＝2×＝3．
故N的坐标是（，3）．
当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，
此时点的坐标为：（3，﹣3）．
则N的坐标是：（3，﹣3）或（3，3）或（﹣3，﹣3）或（，3）．


26．【解答】（1）证明：在 Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDB＝90°＝∠C，
∴AC∥FD，
∵点E从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D，E运动的时间是t秒（t＞0），
∴AE＝t，BF＝2t，
在Rt△FBD中，∠FDB＝90°，∠B＝30°，BF＝2t，则FD＝t，
∴AE∥FD，且AE＝t＝FD，
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形AEDF是平行四边形，
在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，，
∴AB＝10，
∴AF＝AB−BF＝10−2t．
当平行四边形AEDF是菱形时，AD⊥EF，则需AE＝AF，
即t＝10−2t，
∴，
即当时，平行四边形AEFD为菱形，AD⊥EF；
（3）解：当t＝或4时，△DEF为直角三角形．
理由如下：
分情况讨论：
方法①∠BDF＝∠DFE＝90°时，如图所示：
则EF∥BC，
∴∠AEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠C＝30°，
∴AF＝2AE，
∴10−2t＝2t，
∴t＝；
②∠DEF＝90°时，如图所示：

∵AC⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AF∥ED，
∴∠AFE＝∠DEF＝90°，∠BED＝∠A＝60°，
即AF＝AE，
∴10−2t＝t，
解得t＝4；
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或4时，△DEF为直角三角形．