四川省自贡市2023届高三下学期第三次诊断性考试数学（文）试题（含答案）

四川省自贡市2023届高三下学期第三次诊断性考试数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

3．已知x，y满足不等式组，则z＝2x＋y的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

4．一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

6．等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

7．如图，在三棱柱中，点、、、分别为、、、的中点，G为的重心，从、、、中取一点作为使得该棱柱恰有2条棱与平面平行，则为（    ）

A．K B．H C．G D．

8．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，边长为4的七巧板左下角为坐标原点，其中十个顶点的横、纵坐标均为整数．函数的图象最多能经过（    ）个顶点．

A．3 B．5 C．7 D．9

9．等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（    ）①为的最小值  ②  ③，  ④为的最小值

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（    ）

A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P

11．设函数有唯一的零点，则实数m为（    ）

A．2 B． C．3 D．

12．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知，是不共线的两个单位向量，则与的夹角为________.

14．已知，则______．

15．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体的体积为，则原正方体的外接球的表面积为______．

16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为______．

三、解答题

17．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．

(1)求A；

(2)若BC上的高，求．

18．九洪的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，在川南地区久负盛名，其实在九洪还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被大家熟悉．九洪某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：

(1)估计这组数据的平均数；

(2)在样本中，按分层抽样从质量在，中的香瓜中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个香瓜都来自同一个质量区间的概率；

(3)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案：

方案①：所有香瓜以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

19．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．

(1)证明：平面平面；

(2)求点到平面的距离．

20．已知函数（e为自然对数底数）．

(1)判断，的单调性并说明理由；

(2)证明：对，．

21．已知椭圆C：的离心率，设，，，其中A，B两点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P的直线交椭圆C于M，N两点（M在线段AB上方），在AN上取一点H，连接MH交线段AB于T，若T为MH的中点，证明：直线MH的斜率为定值．

22．在直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)写出的极坐标方程和的普通方程；

(2)设射线OP：与，的交点分别为M，N，求的值．

23．已知.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案：

1．A

2．C

3．B

4．A

5．D

6．B

7．C

8．B

9．C

10．C

11．B

12．B

13．

14．/

15．

16．

17．(1)

(2)

18．(1)克

(2)

(3)方案②.

19．(1)证明见解析

(2)

20．(1)在上单调递增，理由见解析；

(2)证明见解析.

21．(1)；

(2)证明见解析.

22．(1)：；：；

(2)1

23．(1)

(2)