安徽省滁州市九校2022-2023学年高一数学下学期4月期中联考试题（Word版附答案）

2022～2023学年度第二学期高一期中考试

数学试卷

2023.4

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册8.3结束。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则中元素的个数为

A．2     B．3     C．4     D．5

2．设，其中a，b是实数，则

A．，  B．，  C．，   D．，

3．下列说法正确的是

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C．底面是矩形的四棱柱是长方体

D．三棱台有8个顶点

4．在△ABC中，，，则△ABC外接圆的半径为

A．1     B．     C．     D．2

5．已知△ABC是正三角形，且，则向量在向量上的投影向量为

A．    B．    C．    D．

6．现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球（盒子的盖子能封上），那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为

A．    B．    C．    D．

7．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是

A．3     B．4     C．9     D．16

8．已知，，，则a，b，c的大小关系为．

A．   B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．已知复数，其中z为虚数，则下列结论正确的是

A．当时，的虚部为－2

B．当时，

C．当时，

D．当时，在复平面内对应的点在第二象限

10．已知向量，，则下列说法正确的是

A．若，则       B．若，则

C．的最小值为3       D．当时，与的夹角为钝角

11．一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是

A．   B．   C．   D．

12．已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是

A．存在，使得是偶函数     B．

C．是的整数倍        D．的最大值是6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的值域为             ．

14．如图所示，△A＇B＇C＇表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A＇B＇在x＇轴上，B＇C＇与x＇轴垂直，且，则△ABC的边AB上的高为             ．

15．甲为了知晓一座高楼的高度，站在一栋12m高的房屋顶，测得高楼的楼顶仰角为75°，一楼楼底的俯角为45°，那么这座高楼的高度为             m．

16．如图，在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是             ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知复数，其中，i为虚数单位．

（1）当m为何值时，z为纯虚数；

（2）若复数z在复平面内对应的点位于直线的上方，求m的取值范围．

18．（本小题满分12分）

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足．

（1）求角C的大小；

（2）设向量，向量，且，判断△ABC的形状．

19．（本小题满分12分）

已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求不等式的解集．

20．（本小题满分12分）

如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在AB延长线上，且，，设，．

（1）用向量，表示；

（2）若线段CM上存在一动点P，且，求的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数的最小正周期是．

（1）求的解析式，并求的单调递增区间；

（2）将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求m的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上（不含端点），，另一顶点A在半径OM上，且，△ABO的周长为，求的表达式并求的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C分别在半径OM、ON上，且，，求花圃△ABC面积的最大值．

2022～2023学年度第二学期高一期中考试·数学

参考答案、提示及评分细则

1．C

∵集合，而，∴，∴A∩B中元素的个数为4．故选C．

2．A

因为，即，则，即，故选A．

3．B

4．A

由正弦定理，则，故△ABC外接圆的半径为1．故选A．

5．B

6．C

由题意可知：圆柱盒子内高h的范围为．圆柱盒子的体积，一个小球的体积，∴，故选C．

7．A

因为，所以，

所以，即，则．

因为点P是圆O内部一点，所以，所以，

则，

当且仅当时，等号成立，故的最小值是3．

8．D

分别对，，两边取对数，得，，．

．

由基本不等式，得：

，

所以，即，所以．

又，所以．故选D．

9．BCD

当时，，

∴ω的虚部为－4，故A错误；，故B正确；

当时，．

∴，故C正确；

当时，在复平面内对应的点在第二象限，故D正确，故选BCD．

10．AC

若，则，即，故A正确；

若，则，

∴，

∴，

∴，即，故B错误；

∵，

∴（当，即时取等号），故C正确；

当时，易得，即与的夹角为直角，故D错误，故选AC．

11．ACD

当截面平行于正方体的一个侧面时得C；当截面过正方体的体对角线时可得D；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得A．但无论如何都不能截得B．

12．BC

∵，成立，∴，整理得，解得，，故A错误；

∵函数的图象关于对称，∴，故B正确；∵，∴是的整数倍，故C正确；∵函数在区间上单调，∴，即，当时，由，整理得，故无解，故D错误．故选BC．

13．．

，则

14．

如图，作线段轴，交轴于点D，则，所以边AB上的高为．

15．

设高楼高度为x m，甲站的房屋与高楼水平距离为y m，则易得：

，

，解得．

16．

如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，

当A与D重合与E点时，AB无限接近于BE，

在△BCE中，，，，

由正弦定理得，即，解得．

平移AD，当D与C重合时，此时与AB交于F，

在△BCF中，，，

由正弦定理得，即，

解得，

所以AB的取值范围为．

17．解：

（1），由，解得，故当时，z为纯虚数，

（2）由题可得：，

∴，即，

∴m的取值范围为．

18．解：

（1）因为，所以．

因为，所以．

（2）因为，，且，

所以，

所以，

所以或（舍），

当时，，所以△ABC为直角三角形．

19．解：

（1）当时，，则，

∵函数是定义域为R的奇函数，

∴，

当时，，

综上所述：．

（2）由（1）易知：函数在和上分别单调递增．

当时，，

∴函数在R上单调递增，

而

∴，而，

∴，

又∵函数在R上单调递增，

∴，解得，

故不等式的解集为．

20．解：

（1）．

（2），，

∵点P在线段CM上，即点M，P，C三点共线，

∴存在唯一的实数t，，使得，

∴，

而，

∴，，

∴令．

对称轴为，故，

即的最大值为．

21．解：

（1）∵，

由，解得，

∴．

由，．

得，．

∴，．

∴的单调递增区间为，．

（2）依题意得，

∵，

∴，

∵当时，恒成立，

∴只需，转化为求的最大值与最小值．

当时，为单调减函数，

∴，，

从而，，即，

故m的取值范围是．

22．解：

（1），，，，

又∵，在△AOB中，由正弦定理知：，

∴，，△ABO周长为，，

化简，

∵，

∴，

∴当时，即时，△ABO周长取最大值，为．

（2）由题意，可知（2）中△ABC的面积与（1）中△ABO等底等高，即二者面积相等，

在△ABO中，，，，，

由余弦定理知：，

∴，

∴，当且仅当时取“＝”，

．

即花圃△ABC面积的最大值为．