重难点01 新定义与材料理解问题-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

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重难点01 新定义与材料理解问题

新定义与材料理解问题是中考数学的热点问题，一般为小题（选择题或填空题）。这种类型的问题通常不会单独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力．这种类型的问题往往与代数知识结合的比较多，所以同学们一定要重视，一般这种类型的问题难度不大，平时多注意对这种问题的训练拿下这个问题不是难事。
新定义与材料理解问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念。这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

1）读懂题目，搜集信息，理解本质﹕
要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质．题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在．
2）新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕
1.实数的运算→高中的虚数的运算、数列的求和、向量等知识、．
2.平面直角坐标系，反比例函数，一次函数，二次函数→幂函数或指数函数
3.一元一次、一元二次方程、分式方程→指数方程、三角方程等特殊方程
4.其他类型
3）熟练掌握和运用数学的常用思想方法
我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等．所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题．

限时检测1：最新各地模拟试题（80分钟）
1．（2022·浙江杭州·统考二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（    ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
2．（2023·上海徐汇·校联考一模）阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集.同样，如果引进“虚数”，实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：，，，，，，，则（    ）
A． B． C．1 D．
3．（2023·重庆·校考模拟预测）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（    ）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·湖南永州·统考二模）定义运算：把缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！，4！．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（    ）
A．（n＋1）！－1 B．n！－1 C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1
5．（2022·湖北黄冈·校考模拟预测）规定[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，则下列结论：①[﹣x]＝﹣[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；
③当﹣1＜x＜1时，[1＋x]＋[1﹣x]的值为1或2，其中正确的结论有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2022·江苏苏州·统考一模）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（    ）

A． B． C． D．1
7．（2022·四川成都·石室中学校考一模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．
（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是_____（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．
（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，A在B的左边，xB﹣xA＝5，则m＝_____．
8．（2023·湖北十堰·统考一模）阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”．设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”．如图所示的的正方形网格，，，图中格点多边形的面积是21．
问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______．

9．（2022·江苏扬州·校联考二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角的正对（）．例如，在中，，顶角A的正对．当时，______．（结果保留根号）
10．（2022·河北·二模）宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，  记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是_________，最小值是_____________．

11．（2022·山东临沂·统考一模）我们规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最大值是______．
12．（2022·湖南娄底·统考一模）规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny．
据此判断下列等式成立的是________写出所有正确的序号
①；②sin；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x-y)=sinx-siny．
13．（2022·江苏·九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．
过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．

情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指：　　；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　

14．（2022·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”．例如：
m＝6132，∵，∴6132是“倍和数”；
m＝1374，∵，∴1374不是“倍和数”．
(1)判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．
(2)当一个“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为，记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为，令，当能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m．
15．（2023春·北京东城·九年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；
(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．





16．（2022·江苏扬州·校考二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______；(2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值；(3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．










17．（2023秋·江苏南京·九年级校考期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．

(1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为___________．
(2)如图②，中，，，直接写出它的所有伴随圆的半径．
(3)如图③，中，点在边上，，为的中点，且．
①求证：的外接圆是的边上的伴随圆；②的值为___________．



18．（2022·湖北鄂州·统考三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号．
阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号．
阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当______时，矩形周长的最小值为______．
问题：若函数，则______时，函数的最小值为______．
问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？

19．（2022·宁夏吴忠·校联考一模）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：设，，则，
∴，由对数的定义得
又∵ ∴
解决以下问题：(1)将指数转化为对数式：______．
(2)仿照上面的材料，试证明：．
(3)拓展运用：计算．


20．（2022·江苏连云港·东海实验中学校考三模）【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA=PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=8．

(1)设P是边AD的“和谐点”，则P 边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接PC，S四边APCB=4S△APD，求PA的值．(2)若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当∠APB=90°时，求PA的值；
(3)如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA；PB，PD，求的最大值．

21．（2022·河北张家口·一模）阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法：
例1：把和化成分数
乘10原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，
算式如下：，即，所以
同样道理，把化成分数算式如下：
，即，所以
根据上面材料完成：(1)直接把下面无限循环小数化为分数__________，__________；
(2)请把下面无限循环小数，化为分数，写出计算过程
(3)无限循环小数（a、b均表示一位的正整数）



22．（2022·山东枣庄·统考二模）在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．

(1)【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请求出它的两个锐角的度数；
(2)【尝试运用】:如图1，在中，，，，点在边上，连接，且不平分．若是“亚直角三角形”，求线段的长；(3)【素养提升】:如图2，在钝角中，，，，的面积为15，求证：是“亚直角三角形”．



23．（2022·江苏常州·统考二模）在平面直角坐标系中，对任意两点与的识别距离，给出如下定义：若，则点与的识别距离是；
若，则点与的识别距离是
(1)如图1，已知点，点B是y轴上一个动点．
①若点A与点B的识别距离为2，则点B的坐标是_____；②直接写出点A与点B的识别距离的最小值是_____；
(2)如图2，已知点，点D是一次函数图象上一个动点．求点C与点D的识别距离的最小值及相应的点D的坐标；(3)如图3，已知点，点T是一次函数图象上的一个动点，以T为圆心，长为半径作，设F是上任意一个动点，若点E与点F的“识别距离”L满足，直接写出点T的横坐标的取值范围．




24．（2022·山东济宁·统考一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载．
【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，…，，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______．
【公式推导】如果一个数列，，，…，…，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：，，，…，．
所以，
，
，
…
(2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法：
设①，
则②，
②-①得，
∴．
(3)请仿照小明的方法求的值．












25．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，例如，求点到直线的距离．解：由直线知：，，所以到直线的距离为：根据以上材料，解决下列问题：

(1)求点到直线的距离．(2)已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值；(3)如图，设点为问题2中上的任意一点，点，为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值．










限时检测2：最新各地中考真题（80分钟）
1．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(     )
①；②；③高斯函数中，当时，x的取值范围是；
④函数中，当时，．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（       ）
A．5 B．2 C．1 D．0
4．（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022·江苏南通·统考一模）我们约定：在平面直角坐标系中，存在横、纵坐标互为相反数的点为“反量点”，顶点是“反量点”的二次函数为“反量函数”，若“反量函数”y＝x2﹣2x+c与正方形ABCD的边有公共点，其中点A（t，0），B（t+3，0），C，D两点在x轴上方，则t的取值范围为（　　）
A．﹣1≤t≤3 B．﹣4≤t≤6 C．﹣4≤t≤3 D．﹣1≤t≤6
6．（2022·山东济南·统考二模）定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·广西贺州·统考一模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除；643不是“好数”，因为，10不能被3整除．则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（    ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2022·广西贺州·校考一模）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换： ①．如；②．如.按照以上变换有： ，那么等于（     ）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．
10．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
11．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
12．（2023·上海闵行·统考一模）阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．
问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为___________．

13．（2022·湖南永州·统考二模）新知学习：现定义一个数i的平方等于－1，记为，我们把这个数i叫做虚数单位．象3i，  （a，b为实数，且）形如的数就叫虚数．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：；．
新知运用：将化简成的形式为______．
14．（2022·安徽合肥·统考二模）定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二次函数．（1）若﹣2是此函数的不动值，则m的值为______；
（2）若此函数有两个不动值a、b，且，则m的取值范围是______．
15．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
16．（2021·湖南娄底·统考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是__________．
17．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．


18．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．


19．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB 在中，

根据上面的材料解决下列问题：

(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，






20．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．

①在图中画出点；②连接交线段于点求证：
(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）







21．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．例如：；．
完成下列任务 (1)① _________；②_________
(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．当时，．求这两个函数的解析式．



22．（2022·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．(1)求双曲线上的“黎点”；
(2)若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．










23．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵∴．
【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．