黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高一下学期4月考试 数学 （Word版试题含解析）

哈尔滨市第六中学2022级高一下学期4月考试

数学试题

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 已知向量，，则的坐标为（    ）

A. （－1，1） B. （－2，3） C. （－1，4） D. （－1，0）

2. 在中，若，则的形状为（    ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

3. 在中，角的对边分别为，若，则（    ）

A.  B.  C. ： D.

4. 下列命题：

①若，则；

②的充要条件是且

③若，则；

④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.

其中，真命题的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（    ）

A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心

C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心

6. 若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在中，角的对边分别为，若且，则的形状为（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形

C. 等边三角形 D. 钝角三角形

8. 在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（    ）

A. 8 B. 10 C. 13 D. 16

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列叙述正确的为（    ）

A. 有向线段就是向量，向量就是有向线段

B. 若，则

C. 所有单位向量都相等

D. 与是非零向量，若与同向，则与反向

10. 在平面直角坐标系中，已知点，下列判断正确的是（    ）

A.

B. 直角三角形

C. 与的夹角的大小为

D. 点为的重心

11. 在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则只有一解

B. 若，则是锐角三角形

C. 若，则.

D. 若，则形状是等腰或直角三角形

12. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（    ）

A.

B.

C. 若，则

D. 若，则为等边三角形

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若，且，则___________.

14. 已知向量与的方向相反，，则___________.

15. 已知向量，，若，则的值为___________.

16. 如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且.①若，则的值是___________；②以点为坐标原点，向量所在轴为轴建立平面直角坐标系，若向量，则最大值时点坐标为___________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知点，，.

（1）若点，，三点共线，求实数的值；

（2）若是以为斜边直角三角形，求实数的值.

18. 已知向量与的夹角，且，．

（1）求，；

（2）求与的夹角的余弦值．

19. 已知，，，设，若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为；

（1）求；

（2）若任意，均使恒成立，求实数取值范围.

20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

21. 如图，在平行四边形中，，垂足为P.

（1）若，求的长；

（2）设，，，，求x和y的值.

22. 已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．

（1）求参数和的值;

（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;

（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．

哈尔滨市第六中学2022级高一下学期4月考试

数学试题

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 已知向量，，则的坐标为（    ）

A. （－1，1） B. （－2，3） C. （－1，4） D. （－1，0）

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算可得结果.

【详解】，

故选：D

2. 在中，若，则的形状为（    ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.

【详解】解：因为，，

所以，

所以为等边三角形．

故选：D

3. 在中，角的对边分别为，若，则（    ）

A.  B.  C. ： D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题知，再根据求解即可.

【详解】解：因为在中，，

所以，，

所以，由正弦定理得

故选：D

4. 下列命题：

①若，则；

②充要条件是且

③若，则；

④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.

其中，真命题的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案

【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误；

对于②，当时也满足且，故错误；

对于③，当时，满足，但不一定成立；

对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确.

故真命题的个数是1个.

故选：B

5. 已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（    ）

A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心

C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形四心的定义，结合平面向量的模的定义、四则运算与数量积运算，判断即可.

【详解】因为，

所以到的三个顶点的距离相等，所以为的外心；

设的中点为，则由得，

所以为的重心；

因为，

所以，则，即，

所以，同理可得，

所以为的垂心.

故选：C.

6. 若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由∥得的坐标，再根据投影向量的概念即可得出结果.

【详解】∵∥，∴，即，

在上的投影向量为：，

故选:A

7. 在中，角的对边分别为，若且，则的形状为（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形

C. 等边三角形 D. 钝角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦定理边角互化，余弦定理得，，进而判断三角形形状即可.

【详解】解：因为，

所以，由正弦定理边角互化得，

因为，所以，即，

因为，所以，

因为，

所以，

所以，

因为，所以,

所以，，故的形状为等边三角形

故选：C

8. 在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（    ）

A. 8 B. 10 C. 13 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】由题设且，进而可得，将目标式化为，结合基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立条件.

【详解】由题意，如下示意图知：，且，又，

所以，故且，

故，

仅当，即时等号成立.

所以的最小值是16.

故选：D

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列叙述正确的为（    ）

A. 有向线段就是向量，向量就是有向线段

B. 若，则

C. 所有的单位向量都相等

D. 与是非零向量，若与同向，则与反向

【答案】BD

【解析】

【分析】根据向量的概念依次分析即可的答案.

【详解】解：对于A选项，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故错误；

对于B选项，根据零向量的定义，，则，故正确；

对于C选项，所有的单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不一定相等，故错误；

对于D选项，与是非零向量，若与同向，则与反向，故正确.

故选：BD

10. 在平面直角坐标系中，已知点，下列判断正确的是（    ）

A.

B. 是直角三角形

C. 与的夹角的大小为

D. 点为的重心

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意，结合向量坐标运算依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为点

所以，故，A选项正确；

因为，

所以，即是直角三角形，B选项正确；

因为，，

所以，与的夹角的大小为，C选项正确；

因为是直角三角形，三角形的重心为三边中线的交点，

所以，点不可能为的重心，故错误；

故选：ABC

11. 在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则只有一解

B. 若，则是锐角三角形

C. 若，则.

D. 若，则形状是等腰或直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，利用正弦定理及特殊角三角函数值直接求解即可；对于B，利用向量的数量积的定义即可求解；对于C，利用正弦定理直接进行判断；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦展开式化简计算求解.

【详解】对于A，由正弦定理，则，因为，所以，只有一解，故A正确；

对于B，若，则，则为锐角，无法确定，不一定是锐角三角形，故B错误；

对于C，由正弦定理，又，可得，故C正确；

对于D，已知，

由正弦定理可得，

因为，所以，

即，

则，解得或，

所以，或，

所以的形状是等腰或直角三角形，故D正确.

故选：ACD.

12. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（    ）

A.

B.

C. 若，则

D. 若，则为等边三角形

【答案】AD

【解析】

【分析】根据平面向量的加减法法则、几何意义以及向量的数量积公式逐一判断各选项即可.

【详解】对于A，由向量加法的平行四边形法则可得，即，故A正确；

对于B，由向量减法的三角形法则可得，故B错误；

对于C，若，则，

即，故C错误；

对于D，如下图，分别表示方向的单位向量，由向量加法的平行四边形法则可得为菱形对角线向量，若，则，，

且与同向，又，

所以，，由已知及菱形性质可知， 既是中线又是角平分线，

由为中线，所以，又，，又，则，

所以，又，为等边三角形，故D正确.

故选：AD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若，且，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题得，根据解决即可.

【详解】解：因为，所以，

因为，，

所以，

所以．

故答案为：

14. 已知向量与的方向相反，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据两个向量反向关系表示出向量的坐标，再根据其模长列出方程求解.

【详解】已知向量与的方向相反，设，

又，

所以，，

解得.

所以.

故答案为：.

15. 已知向量，，若，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.

【详解】由可得，整理可得，

即，整理可得.

故答案为：.

16. 如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且.①若，则的值是___________；②以点为坐标原点，向量所在轴为轴建立平面直角坐标系，若向量，则最大值时点坐标为___________.

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】①由题知是边长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；

②点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方体内的圆弧部分，设，进而根据坐标运算，向量相等得，再结合三角函数求最值即可.

【详解】解：①因为，，

所以是边长为1的等边三角形，

所以.

②因为，

所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方体内的圆弧部分，

因为正方体的边长为，

所以,设点，，

所以，，

因为，，

所以，

所以，，即，

所以，

其中，，.

因为，所以，

所以，，当且仅当时等号成立，

所以，，，

所以，当取得最大值时，点的坐标为.

故答案为：；

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知点，，.

（1）若点，，三点共线，求实数的值；

（2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可得，再利用向量共线求解即可；

（2）由题意可得，再利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.

【小问1详解】

因为点，，三点共线，

所以，

又，，

所以，即.

小问2详解】

由题意，，

因为，，

则，

所以.

18. 已知向量与的夹角，且，．

（1）求，；

（2）求与的夹角的余弦值．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；

（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．

详解】（1）由已知，得，

；

（2）设与的夹角为，

则，

因此，与的夹角的余弦值为.

19. 已知，，，设，若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为；

（1）求；

（2）若任意，均使恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先将函数化成一个三角函数，再由函数图象相邻的两对称轴之间的距离为得出函数的周期，进一步求解得出结果.

（2）在给定区间上求的最大值，进一步求解不等式即可.

【小问1详解】

，

又因为函数相邻的对称轴距离为，

所以，又，，，解得，

所以.

【小问2详解】

由题意可知，，

故，即，

所以，解得.

故实数的取值范围.

20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；

（2）由的面积为，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.

【小问1详解】

由题意及正弦定理知，，

，

，.

【小问2详解】

，

又，

由①，②可得，

所以的周长为.

21. 如图，在平行四边形中，，垂足为P.

（1）若，求的长；

（2）设，，，，求x和y的值.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

【分析】（1）化简得到，得到答案.

（2），根据三点共线，故，，得到，解得答案.

【详解】解：（1），

解得.

（2）因为，设

所以①，

又因为，，，

所以，

由可知，

展开化简得到，②

联立①②解得，.

22. 已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．

（1）求参数和的值;

（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;

（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．

【答案】（1），   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；

（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；

（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得A的取值范围.

【小问1详解】

因为的相邻两条对称轴之间的距离为

所以

又时，取最小值

则，

，

又，则

【小问2详解】

因为，所以，

则，，

则

则

【小问3详解】

是上动点，

，

又恒成立

设

，

易知在或处有最小值，在或处有最大值

所以当或时，有最小值

即当在或时，有最小值，此时或

为时，，

，得

又，则

为时，，

，解得

综上，