2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高二下学期期中数学试题（含部分解析）Word版

  长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试

数  学

时量：120分钟  满分：150分

得分                

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设（其中i为虚数单位），则

A．    B．    C．    D．

2．已知为奇函数，则的值为

A．     B．1     C．     D．

3．已知是等比数列，且．若，则

A．±2     B．2     C．－2     D．4

4．已知圆锥的侧面积为，底面积为，底面半径为r，且，若底面半径同为r且体积与圆锥相等的圆柱高为，则

A．     B．     C．     D．2

5．已知P是边长为2的菱形ABCD内一点，若，则的取值范围是

A．    B．    C．    D．

6．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为

A．30     B．32     C．36    D．48

7．如图，直线与函数和的图象分别交于点A，B，若函数的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为

A．     B．    C．     D．

8．在平面直角坐标系中，，．以下各曲线：①；②；③；④中，存在两个不同的点M，N，使得且的曲线是

A．①②     B．③④     C．②④     D．①③

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的有

A．数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8

B．线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强

C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好

D．根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为X与Y独立

10．已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：的焦点为F，，两点在抛物线C上，下列说法中正确的是

A．抛物线C的焦点坐标为

B．若，则

C．若点P的坐标为，则抛物线C在点P处的切线方程为

D．若P，F，Q三点共线，则

11．已知函数，则下述结论正确是

A．是偶函数        B．的周期是π

C．函数的图象关于直线对称   D．的值域为

12．已知函数，则下列说法正确的是

A．在上单调递减     B．恰有2个零点

C．若，，则 

D．若，，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的定义域为              ．

14．在正方体中，E，F分别是面和面的中心，则EF和CD所成角的大小是              ．

15．德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．已知某数列通项              ．

16．已知函数．

（1）若，则的解集为              ；

（2）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为              ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

等差数列满足，．等比数列为递增数列，且，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）删去数列中的项（其中，2，3，…，保持剩余项的顺序不变，组成新数列，求数列的前10项和．

18．（本小题满分12分）

在四边形ABCD中，，．

（1）若，求BC；

（2）若，求．

19．（本小题满分12分）

受新冠病毒感染影响，部分感染的学生身体和体能发生了变化．为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查．调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率．

（1）从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；

（2）假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且．现从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y，求随机变量Y的期望．

20．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥D-ABC中，，，M，N分别是线段AD，BD的中点，，，，二面角D-BA-C的大小为60°．

（1）证明：△ABC为直角三角形；

（2）求直线BM和平面MNC所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）若函数在上单调递减，求实数m的取值范围；

（2）若，求证：函数有两个零点．（参考数据：，）

22．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，，，P为曲线E上一点，直线MP，NP的斜率之积为．

（1）求曲线E的标准方程；

（2）过点作直线l交曲线E于A，B两点，且点A位于x轴的上方，记直线MB，NA的斜率分别为，．

（ⅰ）证明：为定值；

（ⅱ）过点B作BC垂直x轴交曲线E于不同于点A的点C，直线AC与x轴交于点D，求△ADF面积的最大值．

长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试

数学参考答案

一、二、选择题

1．D

解析：，故选D．

2．A

解析：因为为定义在R上的奇函数，所以，所以，所以．

故．故选A．

3．B

解析：由等比数列的性质知，故，且，所以．故选B．

4．B

解析：设圆锥母线长为l，高为，则，所以，所以因为圆锥和圆柱体积相同，所以，解得．故选B．

5．A

解析：的模为2，根据菱形ABCD的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选A．

6．C

解析：分类，若8排第一位，则两个8占第一、二位，再从四个位置中选两个位置给2，最后排7和1，共种；若8不排第一位，则7或者1排第一位，两个8捆绑，与两个2，以及7和1剩的数排列，共种，因此共36种，故选C．

7．C

解析：由题意，，．

设，因为△ABC是等边三角形，所以点C到直线AB的距离为，

则，．

根据中点坐标公式可得，

所以，所以，解得．故选C．

8．D

解析：因为且，所以MN是AB的中垂线，又，，

所以AB中点为，，故MN所在直线为，即，

根据题意，若直线与所给曲线有两个交点则存在M，N满足题意．

因为过原点，而原点在椭圆内部，故直线与椭圆必有两个交点，①符合题意；

因为的圆心为，，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，只有一个交点，②不符合题意；

把代入，可得，显然方程有两非负解，③符合题意；

因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，故④不符合题意．

综上，②④错误，①③正确，故选D．

9．ABD

解析：A选项，数据重排后如下：3，4，5，6，7，8，9，10共8个数，由可得第70百分位数为第6个数，即为8，故A正确；

B选项，线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，故B正确；

C选项，回归分析中残差平方和越小，决定系数越接近于1，拟合效果越好，故C错误；

D选项，由独立性检验可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为X与Y独立，即D正确．故选ABD．

10．BD

解析：

对于A，由C：，得，则焦点为，故A错误；

对于B，设，由抛物线的定义得，，解得，则点P的坐标为或，所以，故B正确；

对于C，在点P处的切线方程为，∴，故C错误；

对于D，抛物线焦点为，易知直线PQ的斜率存在，

设直线PQ方程为．

由得，则，，故D正确．故选BD．

11．ACD

解析：∵，∴为偶函数，故A正确；

∵，，∴的周期不是π，故B错误；

∵，

∴，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；

当时，，，，

又由C选项知函数的图象关于直线对称，故可知函数）在区间上的值域为，∵，故函数的值域为．故D正确．故选ACD．

12．ABD

解析：

对于A，，故在区间，上单调递减，

但在定义域上不递减，又，故A正确，B正确；

对于C，不妨设，结合的简图如右，

由知，或者，或者，

而，且，，

但当，时，从而此时，故C错误；

对于D，，因为在上单调递减，

所以，故D正确．故选ABD．

三、填空题

13．

解析：由题意知，所以，所以函数的定义域为．

14．

解析：连接，，则点F为的中点，如右图所示，

易知点E为的中点，又因为F为的中点，

所以，，

所以，EF和CD所成的角为．

15．2022

解析：因为，

所以，

因此．

16．（1） （2）【注】第（1）空2分，第（2）空3分

解析：

（1）若，则当时在上递增，在上递减，且；当时，，可知在上递增，由知的解集为；

（2）由题意，当时，当时，

从而；当时恒成立，即恒成立，由知在上递减，在上递增，故．综上．

四、解答题

17．

解析：

（1）设等差数列的公差为d，由，，

可得，解得，

故．

又，，，等比数列为递增数列，故，，．

所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．

因此．

（2）

．

18．

解析：

（1）如图，在三角形ABD中，

根据余弦定理可得，

，

由题得，所以

在三角形BCD中，根据余弦定理可得，

，所以．

（2）设，在三角形ABD中，根据余弦定理可得，

，

在三角形BCD中，根据余弦定理可得，

，

所以，得：或（舍），

则．

19．

解析：

（1）法一：记随机抽取一名学生分别来自高一、高二和高三为事件A，B，C，随机一名学生每周运动总时间超过5小时为事件E．

则，，，

，，．

根据全概率公式，，

即该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65．

法二：三个年级的学生人数之比为9：6：5，设1份人数为a，

所以高一年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，

高二年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，

高三年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，

因此该学生每周运动总时间超过5小时的概率为．

（2）因为该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且，

所以，

由（1）知，，有，

所以，

即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，因此，

所以．

20．

解析：

（1）在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，所以，

因为M，N是AD，BD的中点，

所以，且，所以，，

又因为，，所以，

且，BD，平面BCD，

故MN⊥平面BCD，

因为平面BCD，所以．

因为，所以．

所以△ABC为直角三角形．

（2）由（1），，

所以∠CBD即为二面角D-BA-C的平面角，故，

因此，，

又由（1），，，所以DC⊥平面ABC，

以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．

因为，，

所以AD的中点，．

，，

所以，．

设平面NMC的法向量，则，

即，

取，得，

设直线BM和平面MNC所成角为θ，

所以，

所以，

因此直线B和平面MNC所成角的正弦值等．

21．

解析：

（1）函数在上单调递减，所以在上恒成立，

又，

所以要使在上恒成立，

则，

解得，即所求实的取值范围为．

（2）由（1）知在上单调递增，

且，，

故在上存在唯一零点，

即，

所以当时，，单调递减；

，，单调递增；

所以，

令，，

则，

所以在上单调递减，

所以，

所以．

又，，

所以存在，使得，，

即函数在上有两个零点．

22．

解析：

（1）设动点P的坐标为，则，，

化简得．

（2）（ⅰ）设直线l：，，．

把直线与椭圆联立得．

则，．

∴．

（ⅱ）设点，则直线AC：，

令．

∴．

当，即位于椭圆上顶点时，△ADF的面积最大，最大值为．