天津市南开中学2023届高三统练24数学试题（含答案）

天津市南开中学2023届高三统练24数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

4．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（    ）

A．63.7 B．64.5 C．65.5 D．66.7

5．已知点在圆：上，直线：（），则点到直线的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，鳖臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．4

8．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为(    )

A．2 B． C． D．

9．已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

10．若复数满足，则______.

11．的展开式中的系数为______.（以数字作答）

12．在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设“试验结果为阳性”，“试验者患有此癌症”，据临床统计显示，．已知某地人群中患有此种癌症的概率为，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________．

13．已知正数满足，则的最小值是_________．

14．已知函数，，，在上单调，则正整数的最大值为____________．

15．在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，，则的取值范围是______.

三、解答题

16．已知的内角的对边分别为，满足，

(1)求；

(2)是线段边上的点，若，求的面积.

17．四棱锥中，面，，，是的中点，在线段上，且满足．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

18．已知过点的椭圆的离心率为. 如图所示，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点A作，垂足为.

(1)求四边形为坐标原点的面积的最大值；

(2)求证：直线过定点，并求出点的坐标.

19．设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则

(1)求数列和的通项公式；

(2)记为数列的前n项的和，证明：；

(3)任意，求数列的前项的和．

20．已知.

（1）若函数，求的单调区间;

（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围;

（3）设，且，求证:

参考答案：

1．B

2．D

3．C

4．C

5．A

6．A

7．B

8．C

9．A

10．2

11．-80

12．

13．

14．7

15．

16．(1)

(2)

17．(1)证明见解析；

(2)；

(3)存在，.

18．(1)最大值为

(2)证明见解析，

19．(1);.

(2)证明见解析.

(3).

20．（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.