2023年北京市中考各区数学一模试题分类汇编——简单几何证明

这是一份2023年北京市中考各区数学一模试题分类汇编——简单几何证明，共19页。
北京市各区一模考试试题分类——简单几何证明
（东城）20．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
已知：如图，点D，E分别是的边AB，AC的中点.
求证： DE∥BC，且DE=BC.


方法一
证明：如图，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．


方法二
证明：如图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接FC，DC，AF．


























（西城）20．下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC＝∠A＋∠C．

方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB

方法二
证明：如图，延长AE，交CD于点F．































（海淀）20. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
求证：.

方法一
证明：如图，延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD.

方法二
证明：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD.


























（朝阳）20. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.

方法一
证明：如图，作△ABC的中线AD.


方法二
证明：如图，作△ABC的角平分线AD.

























（丰台）20. 在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如下图所示. 你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程.
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简写成“等角对等边”）.
已知：如图，在△ABC中，∠B =∠C.
求证：AB = AC.

甲的方法：
证明：作∠BAC的平分线交BC于点D.
乙的方法：
证明：作AE⊥BC于点E.
丙的方法：
证明：取BC中点F，连接AF.
































（石景山）20．下面是证明等腰三角形性质定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等.
已知：如图，在△中，.
求证：.


方法一
证明：如图，作的平分线交
于点.




方法二
证明：如图，取的中点，连接.


































（通州）20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BD ＝2CD，E为AB的中点，请你用无刻度的直尺在图中画△ABD的边AD上的高线. 小蕊的画法如下.请你按照小蕊的画法完成画图，并填写证明的依据.

画法：
①连接ED，
②连接CE，交BD于点F,
③连接AF，交DE于点P
④作射线BP，交AD于点H，
∴BH即为所求△ABD的边AD上的高线
证明：
∵AB＝2CD，E为AB的中点，
∴BE＝CD.
∵AB∥CD，
∴四边形EBCD是平行四边形. .
∴点F是BD中点. .
∴AF、DE是△ABD的中线
∴BP是△ABD的中线
∵AB=BD
∴BH是AD边上的高线. .




















（门头沟）20．下面是证明等腰三角形性质定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
等腰三角形性质定理的文字表述：等腰三角形的两个底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB = AC，
求证：∠B =∠C．


方法一
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于D．





方法二
证明：如图，取BC中点D，连接AD．




























（房山）20．下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明.
等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）.
方法一：
已知：如图，△ABC中，
AB = AC，AD平分∠BAC.
求证：BD = CD，AD⊥BC.




方法二：
已知：如图，△ABC中，AB = AC，点D为BC中点.
求证：∠BAD =∠CAD，
AD⊥BC.






方法三：
已知：如图，△ABC中，AB = AC，AD⊥BC.
求证：BD = CD，
∠BAD =∠CAD.




























（顺义）20．在证明“等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线AD有以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
法一
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．

法二
证明：如图，取BC的中点D，连接AD．





























（大兴）20．下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明．
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
已知：如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c．
求证：．
方法一
如图，大正方形的边长为（），小正方形的边长为c.

证明：
方法二
如图，大正方形的边长为c，小正方形的边长为（）.

证明：















































（燕山）20．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．
方法一：
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
方法二：
证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF＝GE，连接AF．






























（东城）20．解：方法一：
证明：∵CF∥AB，
∴ ∠A=∠ECF，∠ADE=∠F.
又∵点E是AC的中点，
∴ AE=CE.
∴△ADE≌△CFE．
∴ AD=CF，DE=FE．
又∵ 点D是AB的中点，
∴ AD=BD.
∴ CF=BD.
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴ DF∥BC，DF=BC．
∴ DE∥BC，且DE＝BC. …………….5分
方法二：
证明：∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴CF∥DA，且CF=DA．
∴CF∥BD，且CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DF∥BC，且DF=BC．
又∵DE＝DF，
∴ DE∥BC，且DE=BC．…………….5分


（西城）20．方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB.
∴ ∠A=∠AEM． 2分
∵ AB∥CD，
∴ MN∥CD.
∴ ∠C=∠CEM． 4分
∵ ∠AEC＝∠AEM＋∠CEM，
∴ ∠AEC＝∠A＋∠C． 5分
方法二
证明：如图，延长AE，交CD于点F.
∵ AB∥CD，
∴ ∠A=∠AFC． 2分
∵ ∠AEC＝∠AFC＋∠C， 4分
∴ ∠AEC＝∠A＋∠C． 5分




（海淀）20．（本题满分5分）
方法一
证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴ AC⊥BD．
∵ CD＝BC，
∴ AB=AD．……………………………………2分
∵ ∠BAC＝30°，
∴ ∠B＝90°∠BAC＝60°．………………3分
∴ △ABD是等边三角形．…………………4分
∴ AB＝BD．
∴ ．…………………………………………………………5分
方法二
证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴ ∠B＝90°∠BAC＝60°. …………………1分
∵ BD＝BC，
∴ △BCD是等边三角形. ……………………2分
∴ ∠BDC＝60°，BD＝CD.
∴ ∠DCA＝∠BDC∠A＝30°＝∠A.
∴ CD＝AD. ………………………………………………………………………4分
∴ AD＝BD＝BC.
∴ . …………………………………………………………………5分

20. （朝阳）方法一
证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD.
∴∠B=∠C.
方法二
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD.
∴∠B=∠C.

（丰台）20.解：选择甲的方法；
证明：作∠BAC的平分线交BC于点D.
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD与△ACD中,

∴△ABD≌△ACD. （AAS）……4分
∴AB=AC. ……5分
（其他方法相应给分）

（石景山）20．方法一
证明：∵平分，
∴.
在和中，

∴≌.
∴. ………………………… 5分
方法二
证明：∵为的中点，
∴.
在和中，

∴≌.
∴. ………………………… 5分

（通州）20． ………………………………………(2分)
一组对边平行且相等得四边形是平行四边形………………………………(3分)
平行四边形对角线互相平分…………………………………………………(4分)
等腰三角形顶角的平分线，底边上中线，底边上的高线互相重合或者三线合一.………(5分)


（门头沟）解：方法一：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．………………………………………………………………2分
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD. ………………………………………………………………4分
∴∠B=∠C．………………………………………………………………………5分
方法二：
证明：∵D为BC的中点，
∴BD=CD．………………………………………………………………………2分
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD. ………………………………………………………………4分
∴∠B=∠C．………………………………………………………………………5分

（房山）方法一：
证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD， ………………………………1分
在△BAD与△CAD中，

∴△BAD≌△CAD ………………………………3分
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA， ………………………………4分
∵∠BDA+∠CDA=180°，
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC ………………………………5分

方法二：
证明：∵点D为BC中点，
∴BD=CD， ………………………………1分
在△BAD与△CAD中，

∴△BAD≌△CAD ………………………………3分
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA， ……………………4分
又∵∠BDA+∠CDA=180°，
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC ………………………………5分

方法三：
证明：∵AB=AC
∴∠B =∠C ………………………………1分
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠CDA=90° ………………………………2分
在△BAD与△CAD中，


∴△BAD≌△CAD ………………………………4分
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD. ………………………………5分

（其它证法酌情给分）

（顺义）方法一：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD. ………………………………………………………… 2分
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△CAD. ………………………………………………………… 4分
∴∠B=∠C. ……………………………………………………………… 5分
方法二：
∵D为BC中点，
∴BD=CD. ……………………………………………………………… 2分
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△CAD. ……………………………………………………… 4分
∴∠B=∠C. ……………………………………………………………… 5分

（大兴）20．选择方法一．
证明：∵， ……………………………………………………………3分
∴，……………………………………………………………………4分
∴．…………………………………………………………………………………5分
选择方法二．
证明：∵， ……………………………………………………………3分
∴， ……………………………………………………………………4分
∴．…………………………………………………………………………………5分

（燕山）20．(本题满分5分)
方法一
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
∵点D，E分别是AB，AC边的中点，
∴AE＝EC，AD＝BD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
CFAD，
∴CFBD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
DFBC．
又∵DE＝DF，
∴DE∥BC，且DE＝BC． ……………………………………………5分
方法二
证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF＝GE，连接AF．
∵点D，E分别是AB，AC边的中点，
∴AE＝EC，AD＝BD．
又∵∠AEF＝∠CEG，
∴△AEF≌△CEG，
∴AF＝CG，∠F＝∠CGE，
∴AF∥CG．
∵BG＝CG，
∴AFBG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴ABFG．
∵DB＝AB，GE＝GF，
∴DBGE，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE∥BC，且DE＝BG＝BC． ……………………………………………5分