2023届广东省惠州市高三下学期一模试题数学

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惠州市2023届高三第一次模拟考试数学试题参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号12345678答案AABBDCAC1.【解析】两复数相乘为实数，则复数复数的虚部为-2.故选.2.【解析】由得，则其元素个数为3，故选.3.【解析】因为，所以该数学成绩的分位数为第2个数据70，选.4.【解析】由图2知无水部分体积与有水部分体积比为，所以图1中高度比为，得.选.5.【解析】因为，所以，即，所以，即，所以，故选.6.【解析】由图4可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除；又“心形”函数的最大值为1，而选项中时，，排除.故选.7.【解析】由已知得总项数7项，则，展开式的通项，当是偶数时该项为有理项，从中任取2项，则都是有理项的概率为.选.8.【解析】对于A，由函数是“类奇函数”，所以，且，所以当时，，即，故A正确；对于B，由，即随的增大而减小，若，则成立，故B正确；对于，由在上单调递增，所以，在上单调递减，设，在上单调递增，即在上单调递增，故C错误；对于D，由，所以，所以函数也是“类奇函数”，所以D正确；故选.二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号9101112全部正确答案ACABDBDBCD9.【解析】对于，由于，则，故正确；对于，故，故错误，对于的方差是3，则的方差不变，故正确；对于回归方程必过样本中心点，则，解得，故错误，10.【解析】，则对于，故正确，对于，且，故正确，对于，故错误，对于，故正确，故选：.11.【解析】数形结合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得，故错误；由图知为钝角知错误，故选：.12.【解析】对于，连接，可证得四点共面，又可证得，所以平面，故错误；对于，三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球的表面积为，故正确；对于，，故正确；对于，设二面角的平面角为，则，所以，于是，，且，故正确.故选.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.    14.    15.（答案一般形式）；    16.13.【解析】设公差为，故.故答案为：.14.【解析】因为弦将圆分成两段弧长之差最大，此时垂直，由圆半径为，由勾股定理得.15.【解析】由，故，令，即，【答案的一般形式】，对取特殊值即可，取，得；取，得（答案不唯一）.16.【解析】由，得，设，由，得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点），因为是的角平分线，且为的内心，设，由内切圆的性质得，，得，在上的投影长为，则在上的投影向量为.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，其中第一小问6分，第二小问4分）【解析】（1）当时，，解得，当时，.可得，整理得：，从而，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；所以，所以，（2）由（1）得，所以，所以，，.所以18.（本小题满分12分，其中第一小问5分，第二小问7分）【解析】（1）【解法一】在中，由余弦定理.得，即①，同理，在中，，即.②①-②得，所以当长度变化时，为定值，定值为1【解法二】在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以.化简得，即所以当长度变化时，为定值，定值为1.（2）.令（或写出，所以.所以，即时，.有最大值为14.19.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）【解法一】连接，由已知得，，且，所以四边形是平行四边形，..即，又平面平面，所以平面.【解法二】连接，由已知得，，即，又平面平面.所以平面.（2）取中点，连接，由题易得是正三角形，所以，即，.由于平面.分别以为轴，建立如图空间直角坐标系，假设点存在，设点的坐标为，设平面的法向量，则，即，可取，.又平面的法向量为，所以，解得：由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即.故上存在点，当时，二面角的余弦值为..20.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）当时，，.，又切点为切线方程为，化简得.（2）【解法一】当时，恒成立，故，也就是，即，由得，令，则，令，则，可知在单调递增，则，即在恒成立，.故在单调递增.所以，故在恒成立.所以在单调递增，而，所以，故.【解法二】因为当时，恒成立，故由，令，得或，①当，即时，在上恒成立，在上单调递减，，当时合题意，当时不合题意；.②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，设，则恒成立，在上单调递减，，即，合题意；..综上，.【解法三】因为当时，恒成立，也就是，即恒成立，令恒成立，在上单调递增，..①当，即时，在上单调递增，，合题意；②当，即时，存在，使得，即.在上单调递减，在上单调递增，..，不合题意.综上，.21.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）双曲线的渐近线方程为和，.所以有分由题意可得，又，则，解得分则双曲线的方程为..（2）【解法一】当直线斜率不存在时，易知此时，直线，不妨设，得；当直线斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线的方程联立，可得，直线与双曲线的右支相切，可得，故设直线与轴交于，则.又双曲线的渐近线方程为，联立，可得，.同理可得，综上，面积为2..【解法二】当直线斜率不存在时，易知此时，直线，不妨设，，得；.当直线斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线的方程联立，可得，直线与双曲线的右支相切，可得，故设直线与轴交于，则.又双曲线的渐近线方程为，联立，可得，同理可得，设渐近线的倾斜角为角则所以.又所以.综上，面积为2.22.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）设第1天选择米饭套餐”，=“第2天选择米饭套餐”，“第1天不选择米饭套餐”..根据题意，且由全概率公式，得..（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，根据题意.由全概率公式，得即，因此.因为，所以是以为首项，为公比的等比数列..（ii）由（i）可得.当为大于1的奇数时，...当为正偶数时，..因此当时，.