2023届山东省滨州市高三数学二模考试模拟试卷含解析

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 山东省滨州市2023届高三数学二模考试模拟试卷
2023.5
一、单选题
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（    ）

A． B． C． D．
4．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（    ）
A． B． C． D．
5．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如，等，在所有小于的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动， 与水平面的所成角为，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位；）与时间（单位： ）之间的函数关系式的图象可能是

A． B． C． D．
7．设，，，则下列关系正确的是（    ）．
A． B．
C． D．
8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的为

A．
B．截面
C．
D．异面直线与所成的角为
10．已知函数，下列说法正确的有（   ）
A．的单调递增区间为(－∞，1)
B．在处的切线方程为y=1
C．若方程有两个不相等的实数根，则
D．的极大值点为(1，1)
11．已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）
A．点F的坐标为 B．若A，F，B三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点F D．若，则的中点到x轴距离的最小值为2
12．已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（    ）
A．f（0）＝0
B．f(x)是R上的奇函数
C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6
D．不等式的解集为

三、填空题
13．的展开式中的系数为12，则_________．
14．写出与两圆均相切的一条直线方程为___________.
15．过点且与曲线相切的直线方程为______．
16．过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，当的周长最大时，的面积为__________．
四、解答题
17．已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，其前项和为，证明.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若，且的面积为，求b的值.
19．如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．

（1）证明：平面平面；
（2）若，求点到面的距离．
20．第五届中国国际进口博览会于2022年11月4日在上海开幕，本次进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：

男
女
总计
了解
80


不了解

160

总计

200
400
(1)完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；
(2)据调查，上海某高校学生会宣传部6人中有3人了解进口博览会展区设置情况，现从这6人中随机抽取4人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：，.
参考数据：

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

21．在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．

(1)若以MN所在直线为轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
(2)在（1）中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线，分别交直线，于S，T两点，求证：的面积为定值，并求出该定值；
(3)在（1）基础上，在直线，上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若，，求面积的取值范围．
22．设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；
（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.


山东省滨州市2023届高三数学二模考试模拟试卷
2023.5
一、单选题
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：解得，故.
考点：一元二次不等式，集合交集．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍.
2．已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数相等列方程组，解方程组求得，由此求得的虚部.
【详解】设，，则，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
故复数的虚部为.
故选：D
3．如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的基本定理，利用向量的线性运算进行向量的基底表示，即可得的值.
【详解】因为是的一个三等分点（），所以.因为是边的中点，所以.又，所以.
故选：C.
4．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆台的体积公式先求高，再利用勾股定理可求母线长.
【详解】依题意，圆台的体积，解得，
故圆台的母线长，
故选：B.
5．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如，等，在所有小于的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先列举所有的回文数，再利用古典概型求概率.
【详解】列出所有小于的三位回文数如下：，，，，，，，，，共个，从中任取两个数共有种情况，
其中两个回文数的三位数字之和均大于有种情况，
故所求概率为.
故选:B．
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题型，本题的关键是正确列举所有的回文数.
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动， 与水平面的所成角为，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位；）与时间（单位： ）之间的函数关系式的图象可能是

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒距离水面的高度与时间之间的函数关系式，再根据关系式即可判断.
【详解】解：以为圆心，过点的水平直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

，
在内转过的角为：，
以轴正半轴为始边，以为终边的角为：，
点的纵坐标为：，
与之间的函数关系式为：，
当时，，
当时，，
对A，B，由图像易知，故A，B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出与之间的函数关系式.
7．设，，，则下列关系正确的是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较，再构造函数，判断函数在上的单调性，即可比较，从而可得出答案.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，
所以，
令，则，
令，
则，
所以在上递减，
所以，所以，
所以在上递减，
所以，
即当时，，
所以，
即，
所以．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数和，即，当且仅当时，取等号，当时，.
8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】等价于.构造，根据导函数知函数单调递增，只需，分离可得恒成立.构造，求出函数的最大值即可得出实数的取值范围.
【详解】等价于.
令函数，则，故是增函数.
所以等价于，即.
令函数，则.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，故实数的取值范围为.
故选：A.

二、多选题
9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的为

A．
B．截面
C．
D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【解析】根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.
【详解】解：因为截面是正方形 ，所以，
又平面
所以平面
又平面,平面平面

截面，故B正确
同理可证
因为，所以，故A正确
又
所以异面直线与所成的角为，故D正确
和 不一定相等，故C错误
故选：ABD
【点睛】考查线线、线面平行的判定和性质以及异面直线所成的角；基础题.
10．已知函数，下列说法正确的有（   ）
A．的单调递增区间为(－∞，1)
B．在处的切线方程为y=1
C．若方程有两个不相等的实数根，则
D．的极大值点为(1，1)
【答案】BC
【分析】由函数的定义域，可判定A不正确；根据导数的几何意义求得切线方程，可判定B正确；利用导数求得函数的单调性与极值，结合图象可判定C正确；根据极值点的定义，可判定D不正确.
【详解】由题意，函数的定义域为，所以A不正确；
又由，所以，，
所以在的切线方程为，即，所以B正确；
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
又由当时，；当时，，
要使得方程有两个不相等的实数根，如图所示，则，所以C正确；
其中是函数的极大值点，所以D不正确.
故选：BC.

11．已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）
A．点F的坐标为 B．若A，F，B三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点F D．若，则的中点到x轴距离的最小值为2
【答案】ACD
【分析】根据抛物线方程求得，利用向量数量积运算、斜率乘积、弦长等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】抛物线的焦点为，A选项正确.
若三点共线，则直线的斜率存在，设直线的方程为，
，，所以，B选项错误.
，
设直线的方程为，
，，，
（舍去）或.
所以直线的方程为，过，C选项正确.
，
，
，
所以的中点到轴的距离
，
当且仅当时等号成立.
故AB的中点到轴的距离的最小值为，D选项正确.
故选：ACD
12．已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（    ）
A．f（0）＝0
B．f(x)是R上的奇函数
C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6
D．不等式的解集为
【答案】ABC
【分析】根据函数对任意实数恒有，令，可得，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；
【详解】解：对于A，函数对任意实数恒有，
令，可得，A正确；
对于B，令，可得，所以，
所以是奇函数；B正确；
对于C，令，则，
因为当x＞0时，f(x)＜0，
所以，即，
所以在均递减，
因为，所以在上递减；
，可得；
令，
可得
，
；
，
在，上的最大值是6，C正确；
对于D，由不等式的可得，
即，
，
，
则，
，
解得：或；
D不对；
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键．

三、填空题
13．的展开式中的系数为12，则_________．
【答案】
【分析】应用二项式定理写出含项，结合已知项系数列方程求值即可.
【详解】由的展开式通项为，
所以，含项为，
故，可得.
故答案为：
14．写出与两圆均相切的一条直线方程为___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据圆的方程判断圆的位置关系，公切线斜率存在，设为，应用点线距离公式求参数，即可写出直线方程.
【详解】由，圆心为，半径为1；
由，圆心为，半径为4；
所以圆心距为，故两圆外切，如下图，

公切线斜率存在，设为，
所以，解得或或，
所以，公切线方程有或或.
故答案为：（答案不唯一）
15．过点且与曲线相切的直线方程为______．
【答案】或
【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得的值，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
16．过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，当的周长最大时，的面积为__________．
【答案】
【详解】分析：根据椭圆的定义和性质可得右焦点，设左焦点为,当且仅当共线时周长最长，再根据两点式求出直线的方程，进而求解面积.
详解：由题意，椭圆的左右焦点坐标分别为，
又由椭圆的定义可得,
所以的周长为,
显然，当且仅当共线时周长最长，最大值为，
此时直线的方程为，
联立方程组，可得，
则，所以，
所以此时的面积为.
点睛：本题主要考查了椭圆的定义域标准方程及几何性质，以及直线与椭圆的位置关系应用，其中根据椭圆的定义，得到当且仅当共线时周长最长是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

四、解答题
17．已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，其前项和为，证明.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入通项公式可得；
（2）由（1）可知，由裂项相消法可得其和．
【详解】解：（1）设数列的公差为，依题意得，
∴，∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴，
∴
，
∵，∴，∴.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及裂项相消法求数列的和，属于中档题．
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若，且的面积为，求b的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由，利用正弦定理得到求解；
（2）根据的面积为，得到，然后利用余弦定理求解.
(1)
解：因为，
所以，
即，
因为，
所以，
所以；
(2)
因为的面积为，
所以，
解得，
由余弦定理得，
，
所以.
19．如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．

（1）证明：平面平面；
（2）若，求点到面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）要证面面垂直只要证明其中一个面内的一条直线垂直于另外一个平面即可；
（2）利用等体积法，根据所给条件求得各已知量，代入即可得解.
【详解】（1）∵平面，平面，
∴．∵是菱形，
∴，∵，
∴平面，∵平面，
∴平面平面；

（2）根据题意可得，所以，
，所以，
，
所以，
易知，
所以，由，，
设点到面的距离为，
根据等体积法可得
代入数据可得，
所以点到面的距离为.
20．第五届中国国际进口博览会于2022年11月4日在上海开幕，本次进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：

男
女
总计
了解
80


不了解

160

总计

200
400
(1)完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；
(2)据调查，上海某高校学生会宣传部6人中有3人了解进口博览会展区设置情况，现从这6人中随机抽取4人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：，.
参考数据：

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握
(2)分布列见解析，数学期望

【分析】（1）先根据已知完善列联表，再根据表中数据求出，从而比较与值查表得出答案；
（2）根据已知结合离散型随机分布的分布列与数学期望求法得出答案.
【详解】（1）根据已知完成列联表如下，

男
女
总计
了解
80
40
120
不了解
120
160
280
总计
200
200
400
则，
则，则有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；
（2）根据题意，的可能取值为1,2,3，
，
，
，
则的分布列为：

1
2
3




则.
21．在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．

(1)若以MN所在直线为轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
(2)在（1）中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线，分别交直线，于S，T两点，求证：的面积为定值，并求出该定值；
(3)在（1）基础上，在直线，上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若，，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为2
(3)

【分析】（1）结合几何关系将所求问题转化为求的定值问题即可求解曲线方程；
（2）先由斜率为0求出，当斜率不为0时，设直线方程为，联立直线与双曲线方程，由得，再由切割法得
，求出点，联立直线与渐近线方程求出，代入面积公式化简即可；
（3）设，，，由代换出点坐标，将代入双曲线方程化简得，再结合坐标面积公式进一步化简得关于的对勾函数，由对勾函数性质可求面积的取值范围．
【详解】（1）过点N作圆M的切线，切点分别为E，F．

由题意知，BC是线段AN的垂直平分线，
因为直线BC与直线AM交于点P，所以，
当点A在劣弧EF上时，点P在射线MA上，所以；
当点A在优弧EF上时，点P在射线AM上，所以．
所以，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线．
设该双曲线的标准方程为，
则，，
所以a＝2，，，
所以点P的轨迹方程为；
（2）双曲线的渐近线为．由题意知直线l的斜率存在，设
当直线l的斜率为0时，易知是以ST为底边的等腰三角形，
,，则，此时．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，
联立消去x得，
．①
设直线l与y轴交于点H，则，
则．
（直接求的面积不易求得，将进行拆分）
联立，
联立．
则（定值）．
综上所述，的面积为定值2；

（3）由题可设，，，，．
因为，所以
将点的坐标代入双曲线方程有，化简得．
故．
（三角形面积公式）
因为，所以由对勾函数性质得，
故．
22．设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；
（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
(3)见解析.
【详解】分析：（1）根据定义举任何常数都可以；（2）∵，∴，即证-在R上成立即可；（3）构造函数，因为是“超导函数”， ∴对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减， 故方程等价于，即，
设 ，分析函数单调性结合零点定理即可得出结论.
详解：
（1）举例：函数是“超导函数”，
因为，，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数”.
注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.
（2）∵，∴，
∴
   
因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故，，①     
而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，②
由①②得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”.
（3）∵，所以方程可化为，
设函数，，则原方程即为，③   
因为是“超导函数”， ∴对任意实数恒成立，
而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减，
故方程③等价于，即，                  
设 ，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
而，，且函数的图象在上连续不断，
故 在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.
点睛：考查函数的新定义，首先要读懂新定义，将新定义的知识与所学导函数的知识相联系是解题关键，本题的难点在于能否将新定义的语言转化为自己所熟悉的函数语言进行等价研究问题是解题关键，属于压轴题.