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2022-2023学年江苏省苏州市张家港市梁丰中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省苏州市张家港市梁丰中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市张家港市梁丰中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题（共8题，每题3分，共24分）.
1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．实数0，，﹣π，0.1010010001…，，其中无理数出现的频率是（ ）
A．20% B．40% C．60% D．80%
3．为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查了100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指（ ）
A．1000名学生
B．被抽取的100名学生
C．1000名学生的身高
D．被抽取的100名学生的身高
4．下列事件属于确定事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
5．在▱ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠D的度数等于（ ）
A．60° B．120° C．30° D．150°
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．已知，则代数式的值为（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6+ D．
二、填空题（共8题，每题3分，共24分）
9．当x＝ 时，分式的值为0．
10．有一个数值转换器，原理如图：
当输入的x＝4时，输出的y等于 ．
11．当x 时，分式的值为正．
12．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为 ．
13．关于x的分式方程+2＝的解为正实数，则k的取值范围是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6．将矩形ABCD沿BE翻折，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则DE的长为 ．
15．如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝85°，则∠A＝ ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．点E为CD的中点．将△BCE沿BE折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接DF，则DF的长为 ．
三、解答题（共9题，共76分）
17．计算：
（1）；
（2）+|﹣1|+（5﹣2π）0．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某校为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，问卷给出了四种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，学校准备的400个自行车停车位是否够用？
21．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 （精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有 只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
22．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：AF＝EC；
（2）连接AE，CF，若AC＝8，EF＝6，且EF⊥AC，求四边形AECF的周长．
23．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求BP的长．
24．为了我市创建全国文明城市，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成，若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是甲单独完成时间的1.5倍，如果甲、乙两工程队合作20天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需10天才能完成．
（1）问：甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲工程队做一天需付给工资4万元，乙工程队做一天需付给工资3万元，现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款170万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？
25．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是直线AD上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤7．
（1）如图1，M、N分别是AB，DC中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，与E，F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，则t的值是 ．
参考答案
一、单选题（共8题，每题3分，共24分）
1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2．实数0，，﹣π，0.1010010001…，，其中无理数出现的频率是（ ）
A．20% B．40% C．60% D．80%
【分析】由于开方开不尽的数、无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义即可判断选择项．
解：在实数0，，﹣π，0.1010010001…，，其中无理数有，﹣π，0.1010010001…这3个，
则无理数的频率为：3÷5×100%＝60%，
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义及频率、频数灵活运用的综合考查：频率、频数的关系频率＝频数÷频数总和．
3．为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查了100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指（ ）
A．1000名学生
B．被抽取的100名学生
C．1000名学生的身高
D．被抽取的100名学生的身高
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查了100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指1000名学生的身高情况．
故选：C．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4．下列事件属于确定事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故A不符合题意；
B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7是不可能事件，故C符合题意；
D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．在▱ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠D的度数等于（ ）
A．60° B．120° C．30° D．150°
【分析】根据平行四边形邻角互补可求出∠B，再根据对角相等即可得出答案．
解：在▱ABCD中，∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A＝60°，∠B＝120°，
∴∠D＝∠B＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形邻角互补、对角相等的性质是解题关键．
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】如图，首先证明EF＝6，继而得到DE＝7；证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
解：如图，∵∠AFC＝90°，AE＝CE，
∴EF＝＝6，DE＝1+6＝7；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝14，
故选：C．
【点评】该题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
7．已知，则代数式的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】把﹣＝5变形为x﹣y＝﹣5xy，代入代数式计算即可得出答案．
解：∵﹣＝5，
∴＝5，
∴y﹣x＝5xy，
∴x﹣y＝﹣5xy，
∴
＝
＝
＝
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的化简和求值．解题的关键是能把﹣＝5变形为x﹣y＝﹣5xy，明确整体代入的计算方法．
8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6+ D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
二、填空题（共8题，每题3分，共24分）
9．当x＝ ﹣2 时，分式的值为0．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：∵＝0，
∴x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．
10．有一个数值转换器，原理如图：
当输入的x＝4时，输出的y等于 ．
【分析】根据转换程序把4代入求值即可．
解：4的算术平方根为：＝2，
则2的算术平方根为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握运算规律是解题关键．
11．当x ＜﹣ 时，分式的值为正．
【分析】根据分式的值为正，可得2x+1＜0，再解即可．
解：由题意得：2x+1＜0，
解得：x＜﹣．
故答案为：＜﹣．
【点评】此题主要考查了分式的值，关键是掌握两数相除，同号得正，异号得负．
12．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为 24 ．
【分析】因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为24．
解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为6×8÷2＝24
故答案为24
【点评】此题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．
13．关于x的分式方程+2＝的解为正实数，则k的取值范围是 k＞﹣2且k≠2 ．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
解：方程+2＝两边同乘（x﹣2），得
1+2（x﹣2）＝k﹣1，
解得，x＝，
∵≠2，
∴k≠2，
由题意得，＞0，
解得，k＞﹣2，
∴k的取值范围是k＞﹣2且k≠2．
故答案为：k＞﹣2且k≠2．
【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤方法是解题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6．将矩形ABCD沿BE翻折，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则DE的长为 5 ．
【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF＝x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，
在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10﹣6＝4，
设EF＝AE＝x，则有ED＝8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
则DE＝8﹣3＝5，
故答案为：5
【点评】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
15．如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝85°，则∠A＝ 55° ．
【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A'，∠ACA'＝40°，由三角形内角和定理可求∠A'＝60°，即可求解．
解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A'，∠ACA'＝40°，
∵∠A'＝180°﹣∠ACA'﹣∠A'DC＝180°﹣40°﹣85°＝55°，
∴∠A＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．点E为CD的中点．将△BCE沿BE折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接DF，则DF的长为 ．
【分析】根据三角形的面积公式求出FG，得到CF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
解：如图，连接CF交BE于点G，
由折叠得：BF＝BC＝2，EF＝EC＝CD＝AB＝，
∴BE是CF的中垂线，
∴BE⊥CF，FG＝CG，
∵BE＝＝，
∴S△CBE＝＝CG，
∴CG＝，
∴CF＝2CG＝，
∵DE＝EF＝CE＝，
∴∠EDF＝∠DFE，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFC中，∠DFC＝90°，
由勾股定理得：DF＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（共9题，共76分）
17．计算：
（1）；
（2）+|﹣1|+（5﹣2π）0．
【分析】（1）先把分子、分母分别分解因式，再约分；
（2）先化简，再计算求解．
解：（1）
＝•
＝；
（2）+|﹣1|+（5﹣2π）0
＝﹣2+﹣1+1
＝﹣2．
【点评】本题考查了分式的乘除法及实数的运算，掌握运算顺序是解题的关键．
18．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
解：（1），
x+2＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2），
2x+1＝5（x﹣1），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴x＝2是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
19．先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．
解：
＝÷
＝÷
＝•
＝
＝，
当时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20．某校为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，问卷给出了四种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，学校准备的400个自行车停车位是否够用？
【分析】（1）从两个统计图可知，样本中“乘公交车”的有32人，占调查人数的40%，可求出调查人数；
（2）求出“步行”的人数即可补全条形统计图；
（3）求出全校1200名学生中“骑自行车”的人数，再做出判断即可．
解：（1）32÷40%＝80（名），
答：在这次调查中，一共抽取了80名学生；
（2）80×20%＝16（名），补全条形统计图如图所示：
（3）80﹣16﹣32﹣8＝24（名），1200×＝360＜400，
因此，准备的400个自行车停车位够用，
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中的数量关系是正确解答的关键．
21．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 0.6 （精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有 12 只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；
（3）利用概率公式求解即可．
解：（1）∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，共有20只球，
∴则白球的个数为20×0.6＝12只；
（3）根据题意得：，
解得：m＝20．
故答案为：0.6；12．
【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
22．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：AF＝EC；
（2）连接AE，CF，若AC＝8，EF＝6，且EF⊥AC，求四边形AECF的周长．
【分析】（1）先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分确定OE＝3，OA＝4，然后求得AE＝5，从而求得答案．
【解答】（1）证明：连接AE，CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝EC；
（2）解∵四边形AECF是平行四边形，AC＝8，EF＝6，
∴OA＝OC＝4，OE＝OF＝3，
∵EF⊥AC，
∴AE＝EC＝CF＝FA＝＝5，
∴四边形AECF的周长为4×5＝20．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求BP的长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可，根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
（2）解直角三角形求出PB，OB，利用勾股定理即可解决问题．
解：（1）图形如图所示．四边形BPEQ是菱形．
理由：∵PQ垂直平分线段BE，
∴OE＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PE∥BQ，
∴∠PEO＝∠OBQ，
∵∠POE＝∠QOB，
∴△POE≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ，
∵OE＝OB，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
∵BE⊥PQ，
∴四边形BPEQ是菱形．
（2）∵AF＝BF，OE＝OB，
∴AE+BE＝2OF+2OB，
设AE＝x，则BE＝18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，
解得x＝8，
∴BE＝18﹣8＝10，
∴OB＝BE＝5，
设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，
解得y＝，
在Rt△BOP中，OP＝＝，
∴BP＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．为了我市创建全国文明城市，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成，若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是甲单独完成时间的1.5倍，如果甲、乙两工程队合作20天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需10天才能完成．
（1）问：甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲工程队做一天需付给工资4万元，乙工程队做一天需付给工资3万元，现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款170万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？
【分析】（1）本题是工程问题，也就是总工作量、效率与时间问题，根据题意，规定时间就是甲单独需要的时间，所以设规定时间是x天，那么甲单独完成的时间就是x天，乙单独完成的时间为1.5x，甲乙一天的工作效率分别为，，甲、乙两工程队合作20天的工作量表示为 20（+），乙又单独干了10天表示为，没交代具体工作量是多少的情况下，一般是总工作量为1，所以列方程：20（+）+＝1，解答即可．
（2）由（1）可以知道甲乙分别单独做需要的时间，用工作量除以两队合作一天的工作效率就是二者合作所用的时间，就可以进一步求出所需的工资款，作出判断，是否够用．
解：（1）设规定时间是x天，由题意得：
20（+）+＝1．
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的根，
乙：1.5x＝1.5×40＝60（天）．
答：甲需要40天，乙需要60天．
（2）由（1）知甲工程队单独做需40天，乙工程队单独做需60天，
则甲乙两工程队合作需要的天数是：1÷（+）＝24（天），
所需工程工资款为：（4+3）×24＝168万＜170万，
故该区里准备的工程工资款是够用．
答：该区里准备的工程工资款是够用．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
25．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是直线AD上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤7．
（1）如图1，M、N分别是AB，DC中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，与E，F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，则t的值是 或 ．
【分析】（1）先证四边形EMFN是平行四边形，则当EF＝MN＝4时，四边形EMFN是矩形，即可求解；
（2）①由菱形的性质可得GH⊥AC，由勾股定理可求解；
②由线段垂直平分线和勾股定理可求CQ的长，由面积和差关系可求解．
解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠MAE＝∠NCF，
∵M、N分别是AB，DC中点，
∴AM＝CN，
∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴ME＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵矩形ABCD，M，N分别是AB，DC中点，
∴四边形MBCN是矩形，
∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴MN＝BC＝4，AC＝5，
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF＝MN＝4时，四边形EMFN是矩形，
∴5﹣2t＝4或2t﹣5＝4
解得t＝或；
（2）①∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∴四边形EGFH的对角线EF的中点即是AC中点，
若四边形EGFH为菱形，则对角线垂直，且GH必经过AC中点，
过AC的中点O作GH⊥AC交BC于G，交AD于H，连接CH，如图2：
∵AO＝CO，GH⊥AC，
∴AH＝HC，
∵HC2＝CD2+DH2，
∴AH2＝9+（4﹣AH）2，
∴AH＝CH＝，
∴DH＝，
∴CD+DH＝3+＝，
∴t＝＝；
②如图3，当点G在AB上，点H在CD上，连接AQ，
∵PQ垂直平分AC，
∴AQ＝QC，
∵QA2＝AB2+BQ2，
∴AQ2＝9+（4﹣AQ）2，
∴AQ＝CQ＝，
∴BQ＝，
由①可得：AP＝，
∴AP＝CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG＝CH，
又∵∠GAP＝∠QCH＝90°，
∴△APG≌△CQH（SAS），
∴GP＝QH，
同理可证PH＝GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
∵四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半，
∴S△PGQ＝×S平行四边形PGQH＝S矩形ABCD＝3，
∴S△AGP+S△GBQ＝S△GPQ＝3，
∴×AG×+（3﹣AG）×＝3，
∴AG＝，
∴t＝．
当点H在AD上，点G在BC上时，
∵四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半，
∴GQ＝BC＝2，
∴t＝＝，
故答案为：或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2022-2023学年江苏省苏州市张家港市梁丰中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题（共8题，每题3分，共24分）.
1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．实数0，，﹣π，0.1010010001…，，其中无理数出现的频率是（ ）
A．20% B．40% C．60% D．80%
3．为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查了100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指（ ）
A．1000名学生
B．被抽取的100名学生
C．1000名学生的身高
D．被抽取的100名学生的身高
4．下列事件属于确定事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
5．在▱ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠D的度数等于（ ）
A．60° B．120° C．30° D．150°
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．已知，则代数式的值为（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6+ D．
二、填空题（共8题，每题3分，共24分）
9．当x＝ 时，分式的值为0．
10．有一个数值转换器，原理如图：
当输入的x＝4时，输出的y等于 ．
11．当x 时，分式的值为正．
12．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为 ．
13．关于x的分式方程+2＝的解为正实数，则k的取值范围是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6．将矩形ABCD沿BE翻折，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则DE的长为 ．
15．如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝85°，则∠A＝ ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．点E为CD的中点．将△BCE沿BE折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接DF，则DF的长为 ．
三、解答题（共9题，共76分）
17．计算：
（1）；
（2）+|﹣1|+（5﹣2π）0．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某校为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，问卷给出了四种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，学校准备的400个自行车停车位是否够用？
21．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 （精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有 只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
22．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：AF＝EC；
（2）连接AE，CF，若AC＝8，EF＝6，且EF⊥AC，求四边形AECF的周长．
23．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求BP的长．
24．为了我市创建全国文明城市，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成，若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是甲单独完成时间的1.5倍，如果甲、乙两工程队合作20天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需10天才能完成．
（1）问：甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲工程队做一天需付给工资4万元，乙工程队做一天需付给工资3万元，现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款170万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？
25．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是直线AD上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤7．
（1）如图1，M、N分别是AB，DC中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，与E，F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，则t的值是 ．
参考答案
一、单选题（共8题，每题3分，共24分）
1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2．实数0，，﹣π，0.1010010001…，，其中无理数出现的频率是（ ）
A．20% B．40% C．60% D．80%
【分析】由于开方开不尽的数、无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义即可判断选择项．
解：在实数0，，﹣π，0.1010010001…，，其中无理数有，﹣π，0.1010010001…这3个，
则无理数的频率为：3÷5×100%＝60%，
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义及频率、频数灵活运用的综合考查：频率、频数的关系频率＝频数÷频数总和．
3．为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查了100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指（ ）
A．1000名学生
B．被抽取的100名学生
C．1000名学生的身高
D．被抽取的100名学生的身高
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查了100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指1000名学生的身高情况．
故选：C．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4．下列事件属于确定事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故A不符合题意；
B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7是不可能事件，故C符合题意；
D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．在▱ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠D的度数等于（ ）
A．60° B．120° C．30° D．150°
【分析】根据平行四边形邻角互补可求出∠B，再根据对角相等即可得出答案．
解：在▱ABCD中，∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A＝60°，∠B＝120°，
∴∠D＝∠B＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形邻角互补、对角相等的性质是解题关键．
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】如图，首先证明EF＝6，继而得到DE＝7；证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
解：如图，∵∠AFC＝90°，AE＝CE，
∴EF＝＝6，DE＝1+6＝7；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝14，
故选：C．
【点评】该题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
7．已知，则代数式的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】把﹣＝5变形为x﹣y＝﹣5xy，代入代数式计算即可得出答案．
解：∵﹣＝5，
∴＝5，
∴y﹣x＝5xy，
∴x﹣y＝﹣5xy，
∴
＝
＝
＝
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的化简和求值．解题的关键是能把﹣＝5变形为x﹣y＝﹣5xy，明确整体代入的计算方法．
8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6+ D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
二、填空题（共8题，每题3分，共24分）
9．当x＝ ﹣2 时，分式的值为0．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：∵＝0，
∴x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．
10．有一个数值转换器，原理如图：
当输入的x＝4时，输出的y等于 ．
【分析】根据转换程序把4代入求值即可．
解：4的算术平方根为：＝2，
则2的算术平方根为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握运算规律是解题关键．
11．当x ＜﹣ 时，分式的值为正．
【分析】根据分式的值为正，可得2x+1＜0，再解即可．
解：由题意得：2x+1＜0，
解得：x＜﹣．
故答案为：＜﹣．
【点评】此题主要考查了分式的值，关键是掌握两数相除，同号得正，异号得负．
12．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为 24 ．
【分析】因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为24．
解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为6×8÷2＝24
故答案为24
【点评】此题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．
13．关于x的分式方程+2＝的解为正实数，则k的取值范围是 k＞﹣2且k≠2 ．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
解：方程+2＝两边同乘（x﹣2），得
1+2（x﹣2）＝k﹣1，
解得，x＝，
∵≠2，
∴k≠2，
由题意得，＞0，
解得，k＞﹣2，
∴k的取值范围是k＞﹣2且k≠2．
故答案为：k＞﹣2且k≠2．
【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤方法是解题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6．将矩形ABCD沿BE翻折，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则DE的长为 5 ．
【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF＝x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，
在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10﹣6＝4，
设EF＝AE＝x，则有ED＝8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
则DE＝8﹣3＝5，
故答案为：5
【点评】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
15．如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝85°，则∠A＝ 55° ．
【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A'，∠ACA'＝40°，由三角形内角和定理可求∠A'＝60°，即可求解．
解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A'，∠ACA'＝40°，
∵∠A'＝180°﹣∠ACA'﹣∠A'DC＝180°﹣40°﹣85°＝55°，
∴∠A＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．点E为CD的中点．将△BCE沿BE折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接DF，则DF的长为 ．
【分析】根据三角形的面积公式求出FG，得到CF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
解：如图，连接CF交BE于点G，
由折叠得：BF＝BC＝2，EF＝EC＝CD＝AB＝，
∴BE是CF的中垂线，
∴BE⊥CF，FG＝CG，
∵BE＝＝，
∴S△CBE＝＝CG，
∴CG＝，
∴CF＝2CG＝，
∵DE＝EF＝CE＝，
∴∠EDF＝∠DFE，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFC中，∠DFC＝90°，
由勾股定理得：DF＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（共9题，共76分）
17．计算：
（1）；
（2）+|﹣1|+（5﹣2π）0．
【分析】（1）先把分子、分母分别分解因式，再约分；
（2）先化简，再计算求解．
解：（1）
＝•
＝；
（2）+|﹣1|+（5﹣2π）0
＝﹣2+﹣1+1
＝﹣2．
【点评】本题考查了分式的乘除法及实数的运算，掌握运算顺序是解题的关键．
18．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
解：（1），
x+2＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2），
2x+1＝5（x﹣1），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴x＝2是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
19．先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．
解：
＝÷
＝÷
＝•
＝
＝，
当时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20．某校为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，问卷给出了四种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，学校准备的400个自行车停车位是否够用？
【分析】（1）从两个统计图可知，样本中“乘公交车”的有32人，占调查人数的40%，可求出调查人数；
（2）求出“步行”的人数即可补全条形统计图；
（3）求出全校1200名学生中“骑自行车”的人数，再做出判断即可．
解：（1）32÷40%＝80（名），
答：在这次调查中，一共抽取了80名学生；
（2）80×20%＝16（名），补全条形统计图如图所示：
（3）80﹣16﹣32﹣8＝24（名），1200×＝360＜400，
因此，准备的400个自行车停车位够用，
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中的数量关系是正确解答的关键．
21．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 0.6 （精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有 12 只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；
（3）利用概率公式求解即可．
解：（1）∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，共有20只球，
∴则白球的个数为20×0.6＝12只；
（3）根据题意得：，
解得：m＝20．
故答案为：0.6；12．
【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
22．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：AF＝EC；
（2）连接AE，CF，若AC＝8，EF＝6，且EF⊥AC，求四边形AECF的周长．
【分析】（1）先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分确定OE＝3，OA＝4，然后求得AE＝5，从而求得答案．
【解答】（1）证明：连接AE，CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝EC；
（2）解∵四边形AECF是平行四边形，AC＝8，EF＝6，
∴OA＝OC＝4，OE＝OF＝3，
∵EF⊥AC，
∴AE＝EC＝CF＝FA＝＝5，
∴四边形AECF的周长为4×5＝20．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求BP的长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可，根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
（2）解直角三角形求出PB，OB，利用勾股定理即可解决问题．
解：（1）图形如图所示．四边形BPEQ是菱形．
理由：∵PQ垂直平分线段BE，
∴OE＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PE∥BQ，
∴∠PEO＝∠OBQ，
∵∠POE＝∠QOB，
∴△POE≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ，
∵OE＝OB，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
∵BE⊥PQ，
∴四边形BPEQ是菱形．
（2）∵AF＝BF，OE＝OB，
∴AE+BE＝2OF+2OB，
设AE＝x，则BE＝18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，
解得x＝8，
∴BE＝18﹣8＝10，
∴OB＝BE＝5，
设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，
解得y＝，
在Rt△BOP中，OP＝＝，
∴BP＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．为了我市创建全国文明城市，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成，若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是甲单独完成时间的1.5倍，如果甲、乙两工程队合作20天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需10天才能完成．
（1）问：甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲工程队做一天需付给工资4万元，乙工程队做一天需付给工资3万元，现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款170万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？
【分析】（1）本题是工程问题，也就是总工作量、效率与时间问题，根据题意，规定时间就是甲单独需要的时间，所以设规定时间是x天，那么甲单独完成的时间就是x天，乙单独完成的时间为1.5x，甲乙一天的工作效率分别为，，甲、乙两工程队合作20天的工作量表示为 20（+），乙又单独干了10天表示为，没交代具体工作量是多少的情况下，一般是总工作量为1，所以列方程：20（+）+＝1，解答即可．
（2）由（1）可以知道甲乙分别单独做需要的时间，用工作量除以两队合作一天的工作效率就是二者合作所用的时间，就可以进一步求出所需的工资款，作出判断，是否够用．
解：（1）设规定时间是x天，由题意得：
20（+）+＝1．
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的根，
乙：1.5x＝1.5×40＝60（天）．
答：甲需要40天，乙需要60天．
（2）由（1）知甲工程队单独做需40天，乙工程队单独做需60天，
则甲乙两工程队合作需要的天数是：1÷（+）＝24（天），
所需工程工资款为：（4+3）×24＝168万＜170万，
故该区里准备的工程工资款是够用．
答：该区里准备的工程工资款是够用．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
25．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是直线AD上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤7．
（1）如图1，M、N分别是AB，DC中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，与E，F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，则t的值是 或 ．
【分析】（1）先证四边形EMFN是平行四边形，则当EF＝MN＝4时，四边形EMFN是矩形，即可求解；
（2）①由菱形的性质可得GH⊥AC，由勾股定理可求解；
②由线段垂直平分线和勾股定理可求CQ的长，由面积和差关系可求解．
解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠MAE＝∠NCF，
∵M、N分别是AB，DC中点，
∴AM＝CN，
∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴ME＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵矩形ABCD，M，N分别是AB，DC中点，
∴四边形MBCN是矩形，
∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴MN＝BC＝4，AC＝5，
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF＝MN＝4时，四边形EMFN是矩形，
∴5﹣2t＝4或2t﹣5＝4
解得t＝或；
（2）①∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∴四边形EGFH的对角线EF的中点即是AC中点，
若四边形EGFH为菱形，则对角线垂直，且GH必经过AC中点，
过AC的中点O作GH⊥AC交BC于G，交AD于H，连接CH，如图2：
∵AO＝CO，GH⊥AC，
∴AH＝HC，
∵HC2＝CD2+DH2，
∴AH2＝9+（4﹣AH）2，
∴AH＝CH＝，
∴DH＝，
∴CD+DH＝3+＝，
∴t＝＝；
②如图3，当点G在AB上，点H在CD上，连接AQ，
∵PQ垂直平分AC，
∴AQ＝QC，
∵QA2＝AB2+BQ2，
∴AQ2＝9+（4﹣AQ）2，
∴AQ＝CQ＝，
∴BQ＝，
由①可得：AP＝，
∴AP＝CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG＝CH，
又∵∠GAP＝∠QCH＝90°，
∴△APG≌△CQH（SAS），
∴GP＝QH，
同理可证PH＝GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
∵四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半，
∴S△PGQ＝×S平行四边形PGQH＝S矩形ABCD＝3，
∴S△AGP+S△GBQ＝S△GPQ＝3，
∴×AG×+（3﹣AG）×＝3，
∴AG＝，
∴t＝．
当点H在AD上，点G在BC上时，
∵四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半，
∴GQ＝BC＝2，
∴t＝＝，
故答案为：或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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