2023届贵州省贵阳市高三二模理科数学试题及答案

贵阳市2023年高三适应性考试（二）

理科数学参考答案

2023年5月

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (1)由已知及正弦定理得

sin 24cosC - >/3 sin ^4 sin C - sin B + -^ sin C = 0, 因为 sin5 = sin(71 + C),

sinC^O,

整理有sin以+ —)=—,

6 2

又因为A主生，

2

冗

所以A=-,

6 ................................................6分

(2)(方法一)由(1)及余弦定理得

a2 =b2 -^-c2 -2bccosA = b2 +c2-\/3bc ①

b1 =a2 +ac ②

联立①②得

c — + tz = 0

由正弦定理得

sinC 一 占 sin 8 + ! = 0

sin(— - B) - >/3 sin 5 + — = 0

6 2

整理得 sin(5--) = -

6 2

B卫

3

TT

所以A+B=-

2

即是直角三角形

(方法二)

因为护_ a? =ac,

de 丄 4 b2+c2-a2

又因为cos A =--------

2bc

得 a + c = y/3b , 所以=a2 +ac = a(a + c),

得b = 0,所以b2=3a2,代入b2=a2+ac,得 2a2 = ac,即 c = 2a , 所以 c2=a2+b2, 即即C是直角三角形.

12分

18. (1)三个学习群人数比例为24000:24000:36000 = 2:2:3 因此，应从刀、B、C三个学习群分别匹配2,2,3人；

(2)设X所有可能的取值为0,1,2,3,故 P(X=°)=舍&

Pg=譬哇

12分

19.解:

(1)连结ACr,且AClC\AlC = E,又连结DE,

•.•如〃平面AfiD, 平面ABC. 且平面ABCrr\平面&CD = DE , :.AB//DE,又由E为线段/q的中点，于是，DE是△q如的中位线,

.・.£＞为线段及亳的中点，即2 = -,

2

故当48〃平面4CD时，人=?.

.........................................................6分

(2)以C为坐标原点，以CA.CB.CQ的方向分别为x，V，z轴的正方向，建立空间直角坐标

系，贝！!有以下坐标刀(4,0,0), 4(4,0,2),硏0,2,0), C(0,0?0),弓(0,0,2),

设 JV, z),由 BD =人BC］得(X, y — 29z) =人(0, —2,2),

x = 0

解得 v y = —2A + 2 ,即 Z)(0, —2人 + 2,2/1),

z — 2人

所以 ^D = (-4,-22 + 2,2人一2), 4Q = (-4,0,0),

令叫=(x,*,z)是平面4QD的一个法向量，贝!|

—4x + (―2 人 + 2)y + (2 人—2)z — 0

-4x + 0y + 0z = 0 '

令* = 1解得x = 0,z = l,艮卩 ％= (0,1,1),

42 同理求得平面4CD的一个法向量为％ =(1,              —2),

—2人 + 2

42 1

由平面4CD丄平面4QD得0xl + lx--------------2 = 0,解得九=—,

-22 + 2 2

即 Q(0,l,l), 〃2=(1，2,-2),

又因为而= (-4,2,0),从而可得平面ABB』】的一个法向量％ =(1,2,0),

设平面A.CD与平面ABBXAX所成二面角的大小为0,

则sin。= Jl-c。方=『(話溢)2 =启=：,

2 故，当平面48丄平面4GQ时，平面4CQ与平面ABBXAX所成二面角的正弦值的为耳.

........................................................12分

20.解：(1)椭圆 Q : — + ^2 = 1 (tz > /)> 0)与椭圆 C2 — + J/2 = 1 的咼心率相等，

a2 = 2b1,又由 a2 =1^ + = 4?62 = 2,

故，G的标准方程为—+ = 1

.........................................................6分

(2)设T(t,0),尸(4,/?) , /(Xi，/), B(x2,y2)，则直线 48 方程为x = my + t,即有mp = 4-t,

PA AT —^一 一• —•

由--=---,可得 PA • TB — PB - AT — 0 9

PB TB

于是有，(同 _4)(%2 T)+ (*1 _>)(*2 -0)+ (x2   4)(*1 一，)+ (*2 _>)侦1 _0)= 0

化简得：2*內 +2*1*2 -(，+4)(*1 +乂2)-#(*1+*2)+ 8，= 0,

变形得：（2m2 + 2）加2 + （m -4秫一#）31 + *2） = 0（*）

由 "了 n（秫2+2）j?+2秫〃+ （户 一4）= 0

X + V — 4

当八=4秫2户_4（秫2+2）（户一4）＞0时，＜

将上式与mp = 4-t共同代入（*）,化简得：（Sl）（＞2+l） = 0 ,即£ = 1,且此时△＞（）成立, PA AT

故存在x轴上定点T（l,0）,使得；.

PB TB

........................................................12分

2i.解：⑴设切点M（xo,y）,贝|j由e）=y,可得尸（沪（2"1）峪，

X — 0

"•* /\x0) = kPM^ (2xo +1)^2x° =—----,化简得：2x^-2txQ-t = 0,

XL

依题意△ = 4户+& = 0,解得£ = 0或，=-2 ,

故，，=0或/ = -2时，过点尸作曲线f(x) = xe2x的切线有且仅有一条.

.........................................................6分

（2）解法一：

依题意，由xc（0,+8）,所以，/（x）Ng（x）o〃W殴一虹口

、 2* lnx + 1 柯 7”、 2x e + Inx

设 fl(x) =峪-----,贝l]h'(x) =---z---,

X X

设m(x) = 2x2e2x +lnx，易知 ％，(x) = (4x2 + 4x)e2x + 丄 > 0 ,即 m(x)在 xg(O, +oo)单调递增,

X

且 XT。时，m(x) -00 , x->+00 时，m(x) -> +oo ,

.••令m(x) = 2x2e2x + Inx = 0 ,则该方程有唯一解吒,

使得在 x e (05 x0)5 h \x) < 0, A(x)单调递减,在 x e (x0, + oo)5 h '(x)> 0, h(x)单调递增，

即x =吒是函数h(x)极小值点,且有2蚌殴+ inXo = 0,

. 1 1对数恒等式 1 In— 1

上式变形得:2xQe2x°=—ln— n 2x0-e2x° =ln—-e =>/(2x0) = /(ln—) , (*)

气气 吒 吒

由(1)可知尸3)>0,即/'(x)在xg(05+oo)单调递增，

则(*)可得2此=111丄，即有=—与血气二―2x°

x()

:.h(x)^h(x0) = e2」些厘=--主卍=2,即応2,

*0 X。 Xq

故，综上所述，a的取值范围是(-8,2].

解法二：

由xg(0,-ko),以及切线不等式：ex>x + l, 3 = 0时取等号)

/(x) = xe2x = etox-e2x = etox+2x>lnx + 2x +1

.•.当 aW2 时，y(x)Nlnx + 2x + lNlnx + ax + l = g(x),即此时，/"(x)Ng(x)成立

又当a>2时，存在气〉0满足lnx0 =-2x0 ,即x0e2x° = 1,

此时，/(x)-g(x) = x0e2x° -ax0-lnx0-l = (2-a)x0 <0 ,不合题意.

综上所述，a的取值范围是（-8,2].

12分

22. (1)由G的参数方程得

x2=t2 + 64+16

< t2

矿=『+?-16

所以 x2-y2=32

故C\的极坐标方程为p2cos20 = 32

(2)

e = -

< 6 q』=8,

p2 cos 20 = 32

\^\ ~ \Pa -扇=5

又•.•点尸(4,0)到射线的距离为2

.••，父加=!“•期 1 = 5

23. (1)由柯西不等式得

[a2 +(2b)2 + (2c)2 ].(12+12 + l2)^(a + 2b + 2c)2 /. (〃 + 23 + 2c)2W81

* + 2b + 2cW9

当且仅当a = 2b = 2c时取等号

3 3

即a = 3,b = -,c = -时取等号

2 2

/. a + 2b + 2cW9

(2) / b = c,a>0, bX),c>0 由(1) tz + 4ZW9 得

1 >1

a + 4广 9

Z1 1、/ 八、仃 4b a 〜~ l4b a

(- + -)(a + 46) = 5 + — + -N5 + 2J--------=9

a b a b Nab

3

当且仅蝴=2河，軌=3,%时取等号, 丄土丄x9

a b a + 4b 即択习