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2021年北京市丰台区普通高中数学合格性调研数学试卷及答案

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这是一份2021年北京市丰台区普通高中数学合格性调研数学试卷及答案，共16页。

2021年北京市丰台区普通高中高考数学合格性调研试卷（6月份）

已知集合，集合，则

A. B. C. D.

函数的定义域是

A. B. C. D.

在复平面内，复数对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是

A. B. C. D.

已知角的终边经过点，则

A. B. C. D.

某学校高二年级选择“史政地”、“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210、90和若采用分层抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为

A. 7 B. 6 C. 3 D. 2

已知函数，下列说法正确的是

A. B.
C. D.

下列命题正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则

已知，则

A. B. C. D.

已知函数，在下列区间中包含零点的区间是

A. B. C. D.

设，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. B. C. D.

已知向量，向量，若，则

A. B. 5 C. D.

如图所示，在正方体中，S是棱上任意一点，四棱锥
的体积与正方体的体积之比为

A. B. C. D. 不确定

已知不等式的解集为R，则a的取值范围是

A. B.
C. D.

在中，已知，，，则角B为

A. 或 B. C. D. 或

一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A互斥而不互为对立的是

A. 都是黑球 B. 恰好有1个黑球 C. 恰好有1个红球 D. 至少有2个红球

已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，那么下列命题正确的是

A. 如果，，，那么
B. 如果，，且l，m共面，那么
C. 如果，，那么
D. 如果，，那么

斐波那契数列因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为

A. B. C. D.

函数，若，且，则的取值范围是

A. B. C. D.

若，则函数的最小值为______ .
函数的最小正周期是______ ，最大值是______ .
在中，已知，则______ .
如图，正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点E，P是EB的中点，Q为AC上任
意一点，则______ .

如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，E，F分别是PA，PC的中点．求证：
平面BEF；
平面

已知函数
求，；
求在区间上的最大值和零点.
解：______ ；
______ ；
因为，所以，
所以当______ ；即______ 时，取得最大值，为______ ；
由和得，，
所以在区间上的零点为______ .

空格序号	选项
①
②
③	，，
④
⑤

已知函数是定义在R上的奇函数，当时，
求函数的解析式；
写出函数的单调递增区间只需写出结论
5G技术的价值和意义是在自动驾驶、物联网等领域.其数学原理之一是香农公式：，其中：单位：是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；是信道的带宽，单位：是平均信号率，单位：是平均噪声功率，叫做信噪比.
根据香农公式，如果不改变带宽W，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量C能提升？
已知信号功率，证明：；
现有3个并行的信道上，，，它们的信号功率分别为，，，
这3个信道上已经有一些噪声或者信号功率.根据中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？只需写出结论

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：，，
故选：
由已知直接利用交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
2.【答案】A

【解析】解：要使原函数有意义，则，解得，
原函数的定义域是
故选：
可看出，要使得原函数有意义，则需满足，然后解出x的范围即可．
本题考查了对数函数的定义域，函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】C

【解析】解：，
复数z对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4.【答案】D

【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；
函数为非奇非偶函数，不满足条件；
函数为偶函数，不满足条件；
只有函数既是奇函数，又是增函数，满足条件；
故选D
根据指数函数，幂函数，对数函数及函数对折变换法则，我们逐一分析四个答案中的四个函数的性质，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案．
本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键．
5.【答案】C

【解析】解：角的终边经过点，则
故选：
直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．
本题考查三角函数的定义的应用，是基础题．
6.【答案】C

【解析】解：由题意可知，史政地”、“电政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210，90和60，
故“史政生”所占的比例为，
由分层抽样是按比例抽取可得，“史政生”组合中抽取的学生人数为
故选：
先求出“史政生”所占的比例，然后按比例抽取人数，即可得到答案．
本题考查了分层抽样的理解和应用，解题的关键是掌握分层抽样的特点，即按比例抽取，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】D

【解析】解：因为，
所以，而，
故选项A，B错误，选项D正确；
，，故选项C错误．
故选：
利用函数解析式的含义以及指数的运算性质进行判断即可．
本题考查了函数解析式的理解和应用，指数运算性质的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
8.【答案】C

【解析】解：对于A，若时，，故A错误；
对于B，若，当时，，当时，，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，，取，，，，则，故D错误．
故选：
利用不等式的基本性质和特殊值法，分别判断各选项即可．
本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
9.【答案】B

【解析】解：，
故选：
先根据诱导公式求得进而根据二倍角公式把的值代入即可求得答案．
本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．
10.【答案】C

【解析】解：函数是连续增函数，又，
，
可得，由零点判定定理可知：函数的零点在内．
故选：
判断函数的单调性，求出，函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．
本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意的单调性的判断，是基础题．
11.【答案】A

【解析】解：记，，
，
“”是“”的充分而不必要条件，
故选：
记，，根据集合的关系判断充分、必要条件．
本题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题．
12.【答案】C

【解析】解：
故选：
直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
13.【答案】A

【解析】解：向量，向量，且，
所以，解得，
所以，所以
故选：
根据平面向量的共线定理与坐标表示列方程求出x，再求模长的值．
本题考查了平面向量的共线定理与模长计算问题，是基础题．
14.【答案】B

【解析】解：由题意可得，平面，
所以点P到平面的距离为点A到平面的距离，
因为，，，BD，平面，
所以平面，
设正方体的棱长为a，则正方体的体积，
四棱锥的体积为，
所以
故四棱锥的体积与正方体的体积之比为
故选：
利用线面平行的关系将所求四棱锥的高转化为点A到平面的距离，关键正方体的几何性质求出距离，然后由正方体和锥体的体积公式求解，计算比值即可．
本题考查了空间几何体体积的求解问题，关键是能够通过平行关系确定几何体的高，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
15.【答案】A

【解析】解：不等式的解集为R，
所以，
解得；
所以a的取值范围是
故选：
利用判别式，列出不等式求得a的取值范围．
本题考查了利用判别式判断一元二次不等式恒成立问题，是基础题．
16.【答案】C

【解析】解：在中，，
根据正弦定理得：，解得，
，，
故选：
根据正弦定理即可求出的值，并可知，这样即可求出角B的值．
本题考查了正弦定理，大边对大角定理，已知三角函数值求角的方法，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】B

【解析】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，
在A中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A错误，
在B中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B正确，
在C中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C错误，
在D中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D错误．
故选：
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义，是基础题．
18.【答案】B

【解析】解：对于A，如图，，，，m与l异面，故A错误；

对于B，如果，，故l与m无公共点，又l，m共面，故，故B正确；
对于C，如果，，那么或⊂，故C错误；
对于D，如果，，那么或，故D错误；
故选：
利用线面平行、面面平行、面面垂直的判定与性质，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．
19.【答案】C

【解析】解：由题意可知“兔子数列”满足，，
所以该数列前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
其中是奇数的有：1，1，3，5，13，21，55，89，
故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为
故选：
由题中给出的递推公式，求出数列的前12项，然后找出其中是奇数的个数，由古典概型的概率公式求解即可．
本题考查了古典概型概率公式的运用，数列递推公式的运用，解题的关键是出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，考查了运算能力，属于基础题．
20.【答案】B

【解析】解：作出函数的图象如图，

不妨设，则，
，
由，得，
，
，
故选：
由题意画出图形，不妨设，则，，把问题转化为关于的二次函数求解．
本题考查分段函数的应用，考查数形结合与数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】5

【解析】解：因为，
则函数，当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值
故答案为：
由已知结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
22.【答案】

【解析】解：
，
故答案为：，
将函数化简为：，可得答案．
本题主要考查三角函数的辅角公式和最小正周期的求法．属基础题．
23.【答案】

【解析】解：在中，已知，
则，
由于，
故
故答案为：
直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
24.【答案】2

【解析】解：正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点E，P是EB的中点，Q为AC上任意一点，，
故答案为：
利用已知条件，结合向量的数量积公式求解即可．
本题考查向量的数量积的求法，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
25.【答案】证明：在中，，F分别为PA，PC的中点，，
又平面BEF，平面BEF，
平面BEF；
在中，，，，
，，
平面ABC，平面ABC，，
又，平面PAC，平面PAC，
平面
平面PAC，
在中，，E为PA的中点，
，
又，，平面BCE，平面BCE，
平面

【解析】在中，由E，F分别为PA，PC的中点，由三角形的中位线定理可得，再由直线与平面平行的判定可得平面BEF；
在中，由已知结合勾股定理得，由平面ABC，得，再由直线与平面垂直的判定可得平面PAC，得到由已知证明，再由直线与平面垂直的判定可得平面
本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
26.【答案】① ② ③ ③ ④ ⑤

【解析】解：函数
；

因为，所以，
所以当；即时，取得最大值，为1；
由和得，，
所以在区间上的零点为
故答案为：①A；②B；③B；④A；⑤
利用已知条件求解函数值，推出①的选项；利用两角和与差的三角函数判断②判断选项；利用函数的最值判断③④的选项；利用函数的零点判断⑤的选项．
本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
27.【答案】解：因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
当，则，
当时，，
所以，
所以，
故，
函数的大致图像如图所示，
故函数的单调递增区间，

【解析】由已知结合奇函数的定义及时，可求出时函数解析，进而可求；
先作出函数的图形，结合图像可求函数的单调区间．
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式及二次函数单调区间的求解，体现了数形结合思想的应用．
28.【答案】解：当时，，
令，得，
解得，
所以若不改变带宽W，将将信噪比从1023提升到2047时，信道容量C能提升
证明：右边
左边，
所以，原式成立．
分配到信道上能获得最大的信道容量．