初中数学苏科版八年级下册10.3 分式的加减优秀同步训练题

专题08 分式的加减法和乘除法

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【典型例题】

【考点一 同分母分式加减法】

例题：（2022·江西上饶·八年级期末）计算：

【答案】

【分析】根据同分母分式的加减法计算即可．

【详解】解：原式=

=         

=

【点睛】本题考查同分母分式的加减，解题关键是掌握分式加减法法则．

【变式训练】

1．（2021·浙江湖州·模拟预测）化简：．

【答案】2

【分析】根据分式的加减运算法则进行化简即可；

【详解】原式=

=

＝2．

【点睛】本题主要考查分式的加减，掌握分式加减的运算法则是解题的关键．

2．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）已知：．

（1）对上式进行化简，得_______；

（2）若，则________．

【答案】         

【分析】（1）根据分式的减法进行计算即可求解；

（2）将代入（1）中即可求解．

【详解】解：（1），

故答案为：；

（2）当时，，

故答案为：．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的计算是解题的关键．

【考点二 异分母分式加减法】

例题:（2022·浙江舟山·七年级期末）化简：

言言同学的解答如下：

言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．

【答案】不正确，过程见解析

【分析】先进行通分，再进行化简计算．

【详解】不正确．解答如下：

．

【点睛】本题考查分式的加减运算，解决本题的关键是正确通分及熟练应用平方差公式．

【变式训练】

1．（2022·江苏南京·八年级期中）计算：

(1)                (2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可；

（2）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可．

（1）

解：

（2）

解：

【点睛】本题主要考查了异分母分式加减，熟练掌握异分母分式相加减运算法则，是解题的关键．

2．（2022·江苏泰州·八年级期中）计算：

(1)；              (2)．

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）根据同分母分式减法法则计算即可；

（2）先通分，再按同分母分式加法法则计算即可．

（1）

解：原式

=3；

（2）

解：原式

．

【点睛】本题考查分式加减运算，熟练掌握分式加减法法则是解题的关键．

【考点三 整式与分式相加减】

例题：（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校一模）化简：

【答案】

【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简

【详解】解：原式

【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键．

【变式训练】

1．（2021·全国·八年级课时练习）化简：．

【答案】．

【详解】．

2．（2021·陕西·九年级专题练习）计算

【答案】a

【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题.

【详解】原式=

=

=a

【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.

【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】

例题：（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）若，则_________，_________．

【答案】     2     1

【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．

【详解】解：

∴A=2，B=1

故答案为：2，1．

【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．

【变式训练】

1．（2022·江苏·八年级）已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．

【答案】0

【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可．

【详解】解：

＝

＝

＝，

∵＝，且A、B为常数，

∴，

∴，

解得：，

∴A+3B＝3+3×(-1)=0，

故答案为：0．

【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键．

2．（2020·江苏·南通田家炳中学八年级阶段练习）若恒成立，则A-B=__________．

【答案】2

【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．

【详解】解：等式整理得，

∴

∴A-B＝2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解．

【考点五 分式乘除混合运算】

例题：（2023秋·青海西宁·八年级校考期末）计算：

【答案】

【分析】先把除法转化为乘法，然后约分化简．

【详解】解：原式

【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

【变式训练】

1．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）计算：．

【答案】

【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．

【详解】解：原式=．

【点睛】本题考查分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．

2．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）计算：．

【答案】

【分析】根据分式的乘除混合运算法则求解即可．

【详解】．

【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除混合运算法则．

【考点六 分式乘方】

例题：（2021·吉林吉林·八年级期末）计算：_____．

【答案】

【分析】先计算分式的乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，再约分即可得到答案.

【详解】解：

故答案为：

【点睛】本题考查的是分式的乘方运算，分式的除法运算，掌握分式的乘方与除法运算的运算法则是解本题的关键.

【变式训练】

1．（2021·湖南常德·八年级期中）计算：＝______．

【答案】##

【分析】首先计算乘方，把分子分母分别乘方，然后再计算乘法，即可得答案．

【详解】解：原式＝．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．

2．（2022·福建省华安县第一中学八年级阶段练习）计算（）2•的结果是____．

【答案】

【分析】直接利用分式的乘方，分式的乘法运算法则化简得出答案．．

【详解】解：

故答案为：.

【点睛】此题主要考查了分式的乘方和分式的乘法运算，正确化简分式是解题关键.

【考点七 含乘方的分式乘除混合运算】

例题：（2021·全国·八年级课时练习）计算

（1）；            （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】先根据积的乘方运算法则去括号，再利用分式的乘除运算法则化简即可．

【详解】解：（1）原式＝；

（2）原式＝＝．

【点睛】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【变式训练】

1．（2021·山东·东营市东营区实验中学八年级阶段练习）计算：

(1)                    (2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先计算幂的乘方，然后进行同底数幂的乘法运算即可；

（2）先因式分解，然后进行乘除运算即可．

(1)

解：原式

(2)

解：原式

【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法运算，含平方差的分式乘除混合运算．解题的关键在于正确的计算．

2．（2021·全国·八年级课时练习）．

【答案】．

【分析】根据含乘方的分式乘除的混合计算法则进行求解即可．

【详解】解：．

【点睛】本题主要考查了含乘方的分式乘除的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．

【考点八 分式加减乘除混合运算】

例题：（2022·吉林·长春博硕学校八年级阶段练习）化简：

(1)；         (2)．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）先将括号里的通分，再将括号外的除法变成乘法，进行约分计算即可；

（2）根据分式的四则混合运算法则计算即可．

（1）

；

（2）

．

【点睛】本题考查了分式的四则混合运算，计算中注意，括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．

【变式训练】

1．（2022·陕西西安·八年级期末）计算：（）÷．

【答案】

【分析】先算括号内的分式减法，然后计算括号外的分式除法即可．

【详解】解：＝＝＝．

【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．

2．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）化简：．

【答案】

【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可得．

【详解】解：原式．

【点睛】本题考查了分式的加法与乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．

【考点九 分式化简求值】

例题：（2022·浙江舟山·七年级期末）先化简．再求值：，其中．

【答案】，

【分析】先通分，再把分子相加减，最后把x=3代入进行计算即可．

【详解】解：原式=

===，

 当x=3时，原式=

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的加减法则是解答此题的关键．

【变式训练】

1．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）化简并求值：其中．

【答案】；6

【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．

【详解】解：

，

当时，原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值，详解本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．

2．（2022·河南·商水县平店乡第一初级中学八年级阶段练习）先化简：(-a-2)÷，再从-3，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．

【答案】；当时，原式=1

【分析】括号内通分计算，再将除法转化为乘法计算，最后选择合适的a值代入求值即可．

【详解】解：原式＝

＝＝＝＝．

∵，，

∴，，

∴当时，原式＝．

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．

【过关检测】

一、选择题

1．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【详解】解：A．，故错误，不符合题意；

B．，故正确，符合题意；

C．，故错误，不符合题意；

D．，故错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是熟练掌握与应用分式的加减法法则．

2．（2023秋·湖南岳阳·八年级校联考期末）计算的结果为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先进行幂的乘方运算，再将除法转化为乘法运算，再乘除法运算即可求解．

【详解】解：

，

故选：B．

【点睛】本题考查幂的乘方、分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．

3．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）下列计算正确的是（　　）

A．        B．    C．     D．

【答案】C

【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可．

【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意；

B、，本选项错误，不符合题意；

C、，本选项正确，符合题意；

D、，本选项错误，不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键．

4．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）若   ，则 和 的值分别是（    ）

A．1 和 B． 和 1 C．3 和 D．和 3

【答案】C

【分析】先根据分式的加减法运算法则，将左边的式子通分，然后组成的二元一次方程组，求解即可．

【详解】解：

联立可以得到：,

解得，

故选C．

【点睛】本题考查了分式的加减法和二元一次方程的求解，先通分，再联立方程组求解即可得到答案．

5．（2022·浙江·九年级自主招生）已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【分析】先将的值进行化简，再进行比较．

【详解】解： ，，

∵，

∴，

故选B．

【点睛】本题考查异分母的分式的加减．熟练掌握异分母分式加减的运算法则，利用整体思想代入求值，是解题的关键．

二、填空题

6．（2023秋·陕西延安·八年级校考期末）计算：___________．

【答案】

【分析】将分式适当变形后，利用同分母分式的减法法则运算即可．

【详解】解：原式

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了分式的加减法，将分式适当变形后，利用同分母分式的减法法则运算是解题的关键．

7．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）计算：______．

【答案】##

【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．

【详解】解：原式

，

故答案为：．

【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．

8．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）若，则代数式的值是___________．

【答案】

【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．

【详解】原式=

∵，

∴，

∴原式=．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想求值是解题的关键．

9．（2022秋·山东聊城·八年级统考期中）已知：，则___________．

【答案】6

【分析】先把等式的右边进行分式的加法运算，再根据等式左右两边的分式的分子的对应项相同，求出的值，在进行计算即可．

【详解】解：，

∵，即：

∴，

∴，

∴；

故答案为：6．

【点睛】本题考查异分母分式的加减．熟练掌握异分母的分式的加减法则，是解题的关键．

10．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）若分式的值为正整数，则整数的值为________．

【答案】0或1

【分析】先把分式进行约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出的值．

【详解】，

要使的值是正整数，则分母必须是4的约数，

即或或，

则或或(舍去)，

故答案为：0或1．

【点睛】本题考查了分式的化简、分式的值，利用约分的方法进行分析是解决问题的关键．

三、解答题

11．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）计算下列各式：

(1)；                 (2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分子因式分解，除法运算转化为乘法运算，约分化简即可求解；

（2）先乘方，再约分化简即可求解．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题主要考查分式的乘除法，掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．

12．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）计算：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

【分析】（1）根据整式的混合运算，同底数幂的乘除法法则即可求解；

（2）根据分式的加减法，因式分解，化简即可求解；

（3）根据实数的运算律，整式的混合运算即可求解；

（4）根据同底数幂的乘除法，分式的性质化简即可求解；

（5）运用乘法公式因式分解，分式的性质化简即可求解；

（6）运用乘法公式因式分解，分式的性质化简即可求解；

【详解】（1）解：

．

（2）解：

．

（3）解：

．

（4）解：

．

（5）解：

．

（6）解：

．

【点睛】本题主要考查整式、分式、因式分解，乘法公式的综合运算，掌握整式的混合运算，分式的性质，因式分解的方法，乘法公式是解题的关键．

13．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）先化简再求值：，其中．

【答案】；

【分析】根据分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可．

【详解】解：原式

；

当时，原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键．

14．（2023秋·陕西安康·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．

【答案】，；

【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．

【详解】解：

当时

原式

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等；理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．

15．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）先化简，再求值：，其中

【答案】，

【分析】先把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律计算，最后把所给字母的值代入代入计算．

【详解】

，

当时

原式．

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．

16．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）先化简，再求值：．

(1)化简分式．

(2)当时，求分式的值．

【答案】(1)

(2)6

【分析】对于（1），先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算；

对于（2），根据零指数次幂和负整数指数次幂求出x，再计算即可．

【详解】（1）原式；

（2），

∴原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．

17．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）（1）按要求填空：

小明计算的过程如下：

解：

……第一步

……第二步

……第三步

……第四步

①小明计算的第一步是___________（填“整式乘法”或“分解因式”）；

②计算过程的第___________步出现错误；

③直接写出正确的结果是___________．

（2）先化简，再求值：，其中

【答案】（1）①分解因式②三③（2），

【分析】（1）①将转化为：是因式分解；②第三步开始出现问题；③按照异分母的分式加减法则，进行计算即可；

（2）先进行除法运算，再进行减法运算进行化简，再代值计算即可．

【详解】解：（1）①将转化为：是因式分解；

故答案为：分解因式；

②第三步，分子相减的时候，没有变号，开始出错；

故答案为：三；

③解：解：

；

故答案为

（2）解：原式

；

当时，原式．

【点睛】本题考查分式的加减运算，以及分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键．

18．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：．

解决下列问题：

(1)下列分式中属于“真分式”的有________；（填序号）

①；②；③

(2)将假分式化为带分式的形式；

(3)如果的值为整数，求x的整数值．

【答案】(1)①

(2)

(3)的整数值为、、0、2

【分析】（1）根据题中所给新定义进行判断即可；

（2）由题中所给方法进行化为带分式的形式即可；

（3）先把分式化为带分式的形式，然后问题可求解．

【详解】（1）解：由题意可得：①是“真分式”；②③都是“假分式”；

故答案为①；

（2）解：；

（3）解：，

∵的值为整数，

∴的值为整数，

∴3是的倍数，

∴的整数值为、、0、2．

【点睛】本题主要考查分式，熟练掌握分式的性质是解题的关键．